Montrer que y est born´ee

Ref 12-1

Justifier l’existence et l’unicit´e d’une solution maximale au probl`eme de Cauchy : y^′ = cosy

1 +y², y(0) = 0.

On note I sont intervalle de d´efinition. Tracer y avec le logiciel de calcul formel.

Montrer que y est born´ee. Quelles sont ses variations ?

Pr´eciser I. ´Etudier la parit´e et la concavit´e de y. A-t-elle une limite en +∞? Si oui, laquelle ? Donner son d´eveloppement limit´e `a l’ordre 9.

Ref 12-2

Calculer les 200 premiers termes de la suite d´efinie paru_n= CardE_n

n² o`uE_n ={(i, j)∈Z²|i²+j² 6n²}. Que peut-on conjecturer ?

En raisonnant sur les sym´etries, montrer que CardE_n = 1 + 4n+ 4CardE_n⁺⁺ o`uE_n⁺⁺ =E_n∩(N^∗)². Montrer que CardE_n⁺⁺ =

∑n i=1

E(√

n²−i²) o`u E d´esigne la partie enti`ere, puis que 1 n²

∑n i=1

√n²−i² converge et calculer sa limite. En d´eduire la limite de (un).

Donner le rayon de convergence de la s´erie ^∑

n>1

xⁿ². Soit f(x) sa somme sur ]−1,1[ ; `a l’aide de Maple, faire une conjecture sur la limite en 1⁻ de (1−x)(f(x))².

Montrer que 1

1−x(f(x))²est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−1,1[ et vaut^∑

r>1

a_rx^ro`ua_r = CardE_r⁺⁺. Montrer qu’en +∞, a_r ∼ r²π

4 .

On admet que si a_n ∼ b_n, si la s´erie de terme g´en´eral b_nxⁿ diverge en 1⁻ et si ^∑a_nxⁿ admet 1 pour rayon de convergence, alors ^∑a_nxⁿ diverge en 1⁻ et ´equivaut `a ^∑b_nxⁿ en 1⁻.

Donner la limite en 1⁻ de (1−x)(f(x))². Ref 12-3

On d´efinit les suites (α_n) et (β_n) par α₀ = 1, α_n+1= (n+ 1)α_n+ (−1)ⁿ⁺¹ etβ_n = α_n n!.

D´eterminer des valeurs exactes et approch´ees de β_i pour 1 6 i 6 6, β₁₀, β₂₀ et β₃₀. Conjecturer et prouver la conjecture.

D´evelopper f(x) = e^−x

1−x en s´erie enti`ere, d’abord en utilisant un produit de Cauchy puis en utilisant la suite (β_n).

D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue puis celui de la s´erie <sup>∑</sup>βnx<sup>n</sup>. Sur quel intervalle f est-elle ´egale `a la somme de son d´eveloppement en s´erie enti`ere ?

Ecrire une proc´´ edure qui donne ^≪true^≫si une liste est une permutation de [[1, n]] et ^≪false^≫sinon.

Ref 12-4 Soit A= 1

6





√2 2 −3√ 2 2√

2 4 0

√2 2 3√ 2



 d’endomorphisme canoniquement associ´e f.

D´eterminer g´eom´etriquementg de matrice Q= ^tAA.

Soit λ3 6 λ2 6 λ1 les valeurs propres de Q; trouver une base orthonormale (v1, v2, v3) de vecteurs propres associ´es.

Montrer que (f(v₁), f(v₂)) est une base orthonormale de Imf et trouver un vecteur w qui la compl`ete en une base orthonormale de R³.

On cherche `a montrer qu’il existe une matrice P de projection orthogonale et une matrice orthogonale O telles que A=P O.

Si elles existent, ´ecrire une relation entreA,O etQ. Montrer que sir est l’endomorphisme associ´e `aO, r(v₁) =f(v₁) et r(v₂) = f(v₂).

En d´eduireO, puis d´eterminer les matrices P solutions du probl`eme.

Montrer plus g´en´eralement que, si f^∗ ◦f est un projecteur orthogonal de Rⁿ, il existe un projecteur orthogonal p et un automorphisme orthogonalr tels que f =p◦r.

Ref 12-5

Repr´esenter (C) d’´equation√ x+√

y= 1.

Montrer que c’est une portion de conique dont on pr´ecisera le foyer et la directrice. Calculer la longueur de (C).

D´eterminer les points d’intersections de deux tangentes `a C orthogonales.

Mˆeme question si ces deux tangentes font un angle de π 4. Ref 12-6

Donner l’ensemble de d´efinition de F(x) =

∫ _x

0

√ dt

t(1−t²)

et tracer sa courbe `a l’aide du logiciel.

Montrer qu’il existe un suite (a_n) telle que F(x) = √ x

+∑∞ n=0

a_nx²ⁿ. Tracer quelques sommes partielles de ^∑an et montrer que F(1) =

+∑∞ n=0

an. Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par F.

Ref 12-7

Donner l’ensemble de d´efinition de f(x) = ^∑

n>1

cos(nx) n² . Etudier la continuit´´ e de f et tracer son graphe.

Sur quel intervalle sont d´efinies les solutions maximales de l’´equationEk :y^′′+ky =f(x) ? Combien de solutions v´erifient y(0) =y^′(0) = 1 ?

R´esoudre, avec Maple, E_1/4 avec les conditions initiales pr´ec´edentes et tracer le graphe de la solution, not´ee Φ.

Calculer les valeurs de f en 0, π 2 etπ.

Trouver un polynˆome P de degr´e minimal qui prend les mˆemes valeurs que f en ces trois points.

Montrer, `a l’aide d’une s´erie de Fourier, quef etP co¨ıncident sur [0, π].

La restriction de f `a [0,2π] est-elle polynomiale ?