Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si la suite (un)n∈ N est major´ee, minor´ee, born´ee : 1

Universit´e de Nantes D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 L2 Physique - Module S22P030

TD 1 : Suites num´eriques Exercice 1.

D´emontrer les affirmations suivantes : 1. 1 + (−1)ⁿ

n −−−−→

n→+∞ 1.

2. √

n−−−−→

n→+∞ +∞.

Exercice 2.

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si la suite (u_n)_n∈

N est major´ee, minor´ee, born´ee :

1. u_n= (−1)ⁿn.

2. u_n= sin(n³).

3. u_n=

(n si n est pair 0 si n est impair Exercice 3.

Dans chacun des cas suivants, ´etudier la convergence de la suite (un)_n∈N, et en donner la limite quand elle existe :

1. un= n³+ 4n+ 7 n+ 2 +n⁴ . 2. u_n= n+ 2

2n+ 1. 3. u_n= sin(n)

√n . 4. u_n=√

n+ 1−√ n.

5. u_n= 3ⁿ¹. Exercice 4.

Soit (u_n)_n∈

N une suite telle que pour tout n ∈ N^∗ on a : |u_n| ≤ 1

n. Montrer que : u_n−−−−→

n→+∞ 0.

Exercice 5.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On justifiera les r´e- ponses par une preuve ou un contre-exemple.

1. Une suite qui n’est pas major´ee tend vers +∞.

2. Si la suite (u_n)_n∈

N est convergente, alors on a : u_n+1−u_n −−−−→

n→+∞ 0.

3. Si on au_n+1−u_n−−−−→

n→+∞ 0, alors la suite (u_n)_n∈

N est convergente.

4. Si (u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

Nsont deux suites convergentes et qu’on au_n≤w_n≤ v_n pour toutn ∈N, alors la suite (w_n)_n∈

N est convergente.

Exercice 6.

Soient (u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

N deux suites de r´eels non nuls. On dit que ces deux suites sont ´equivalentes et on note :u_n ∼

n→+∞v_n si : un

v_n −−−−→

n→+∞ 1.

1. Montrer que :n ∼

n→+∞n+1,n²+n+3 ∼

n→+∞n²et 5n⁴+3n³+10 ln(n) ∼

n→+∞5n⁴. 2. A-t-on : u_n ∼

n→+∞v_n =⇒u_n−v_n −−−−→

n→+∞ 0 ? 3. A-t-on : un−vn −−−−→

n→+∞ 0 =⇒un ∼

n→+∞vn? 4. Montrer que siu_n ∼

n→+∞v_n et v_n ∼

n→+∞w_n, alors on a :u_n ∼

n→+∞w_n. 5. Montrer que siu_n ∼

n→+∞v_n et w_n ∼

n→+∞z_n, alors on a :u_nw_n ∼

n→+∞v_nz_n. 6. Montrer `a l’aide d’un contre-exemple qu’en g´en´eral on n’a pas : un+ w_n ∼

n→+∞v_n+z_n. Exercice 7.

Soient (u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

N deux suites r´eelles, l₁, l₂ ∈R. Montrer que : 1. Siu_n −−−−→

n→+∞ l₁ etv_n−−−−→

n→+∞ l₂, alors : u_n+v_n −−−−→

n→+∞ l₁+l₂. 2. Siun −−−−→

n→+∞ l1 etvn−−−−→

n→+∞ l2, alors : unvn−−−−→

n→+∞ l1l2. 3. Siu_n −−−−→

n→+∞ 0 et la suite (v_n)_n∈

N est born´ee, alors : u_nv_n−−−−→

n→+∞ 0.

Exercice 8.

1. Soit λ >0. Etudier la convergence de la suite (λⁿ)_n∈N. 2. Soit (u_n)_n∈

N une suite de r´eels strictement positifs telle que u_n+1 un

−−−−→

n→+∞

λ. Montrer que :

a) si λ∈[0,1[, alorsu_n −−−−→

n→+∞ 0.

b) si λ >1, alors u_n −−−−→

n→+∞ +∞.

3. Que peut-on dire siλ = 1 ? Exercice 9.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On justifiera les r´e- ponses par une preuve ou un contre-exemple.

1. Si u_n −−−−→

n→+∞ l ∈ R et f est une fonction de R dans R, alors on a : f(u_n)−−−−→

n→+∞ f(l).

2. Si|u_n| −−−−→

n→+∞ +∞ alors u_n−−−−→

n→+∞ +∞ ouu_n−−−−→

n→+∞ −∞

3. Siu²_n+v²_n−−−−→

n→+∞ 0, alors les suites (u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

N sont convergentes.

4. Si (u_n)_n∈

Nest une suite de r´eels strictement positifs qui tend vers 0, alors elle est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.