Partie B – Fonctions de longueur born´ ee

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Fonctions ` a variations born´ ees

Dans ce probl`eme, sauf mention contraire, n d´esigne un entier naturel non nul, I d´esignera un intervalle d’int´erieur non vide,f sera une fonction deI dansR,aet bseront des points deI, aveca < b.

On dit quef est `avariations born´eessi elle s’´ecrit comme somme d’une fonction croissante et d’une fonction d´ecroissante,i.e.s’il existeg, h∈R^I, respectivement croissante et d´ecroissante, telles quef =g+h.

On noteVB(I,R) l’ensemble des fonctions `a variations born´ees deI dansR. Soita, b∈I, o`u a < b,σ= (xk)_k∈[[0,p]] une subdivision de [a, b]. On pose :

l(σ, f) =

p−1

X

k=0

|f(x_k+1)−f(x_k)|.

On dit que f est de longueur born´ee sur le segment [a, b] s’il exite Λ ∈ R tel que, pour toute subdivision σ de [a, b], l(σ, f)6Λ,i.e.l’ensemble{l(σ, f), σsubdivision de [a, b]} est major´e. Dans ce cas, on note L^b_a(f) la borne sup´erieure de cet ensemble :

L^b_a(f) = sup{l(σ, f), σ subdivision de [a, b]}.

On pose ´egalementL^a_b(f) =−L^b_a(f) etL^a_a(f) = 0.

Partie A – G´ en´ eralit´ es

A.1Montrer que toute fonction monotone est `a variations born´ees.

A.2

a Montrer que sif est monotone, alorsf est de longueur born´ee sur [a, b], et que :

|f(b)−f(a)|=L^b_a(f).

bMontrer que toute fonction lipschitzienne deI dansRest de longueur born´ee sur [a, b].

cOn supposef de longueur born´ee sur [a, b]. Montrer :

|f(b)−f(a)|6L^b_a(f).

A.3Montrer queVB(I,R) est un sous-espace vectoriel deR^I, engendr´e par les fonctions croissantes.

Partie B – Fonctions de longueur born´ ee

On consid`ere des applicationsf etg deIdansR, trois ´el´ementsa,b etcdeI tels quea < c < b.

B.1On supposef etg de longueur born´ee sur [a, b]. Montrer quef+gest de longueur born´ee sur [a, b], et que :

L^b_a(f+g)6L^b_a(f) +L^b_a(g).

B.2Montrer quef est de longueur born´ee sur [a, b] si et seulement si elle l’est sur [a, c] et [c, b], et qu’alors : L^b_a(f) =L^c_a(f) +L^b_c(f).

On d´eduit (inutile de le d´emontrer) de la relation pr´ec´edente larelation de Chasles suivante, valable pour tout (α, β, γ)∈I³ (sif est de longueur born´ee) :

L^γ_α(f) =L^β_α(f) +L^γ_β(f).

Partie C – Variations born´ ees vs longueur born´ ee

C.1Montrer que sif est `a variations born´ees surI, alors elle est de longueur born´ee sur tout segment inclus dansI.

C.2Supposons, r´eciproquement, que f soit de longueur born´ee sur tout segment inclus dansI. On choisit λdansI, et on d´efinit les fonctionsg ethdeIdansRpar, pour toutt∈I :

g(t) = 1

2 f(t) +L^t_λ(f)

et h(t) =1

2 f(t)−L^t_λ(f) . Prouver `a l’aide de get h, quef est `a variations born´ees surI.

Ainsi, on a d´emontr´e que f est `a variations born´ees surI si et seulement si f est de longueur born´ee sur tout segment inclus dansI.

C.3Montrer que toute fonctionf de classeC¹surI (`a valeurs r´eelles) est `a variations born´ees.

Partie D – Un exemple de fonction d´ erivable et born´ ee mais non ` a variations born´ ees

Dans cette partief d´esigne la fonction deRdansR, continue en 0 et telle que

∀x∈R^∗, f(x) =x²sin(1/x²).

D.1

a Donner la valeur def en 0, montrer que f est d´erivable surR, et donnerf⁰(x) pour tout r´eel x.

bLa fonctionf est-elle de classe C¹ surR?

D.2 On consid`ere la suite de terme g´en´eral hn = Pn k=1

1

k (o`u n ∈ N^∗). Montrer que (hn) diverge et hn ∼ln(n).

Indication : on pourra utiliser, en le justifiant, l’encadrement (pour toutk∈N^∗) : 1

k+ 1 6 Z k+1

k

dt t 6 1

k. D.3On consid`ere la suite de terme g´en´eralv_n= ln

4n+1 4n−1

(o`un∈N^∗).

a Montrer :v_n ∼_2n¹.

bMontrer que la suite de terme g´en´eralw_n=Pn

k=1v_k diverge vers +∞.

Indication : on pourra consid´erer (en justifiant son existence) un rangN `a partir duquelv_n >4n¹. D.4On pose, pourn∈N^∗: u_n=q

2 (2n−1)π. a Etablir :´

Z u_n

u_n+1

1 t

cos 1

t²

dt>

√ 2 2

Z

q ₄

(4n−1)π

q 4 (4n+1)π

dt t . bMontrer

lim

x→0⁺

Z u₁

x

1 t

cos 1

t²

dt= +∞.

cMontrer

lim

x→0⁺

Z 1

x

|f⁰(t)|dt= +∞.

dEn d´eduire quef n’est pas de longueur born´ee sur [0,1].

Partie E – Extension au cas des fonctions vectorielles

Dans cette derni`ere partie, on munitRⁿ de sa structure euclidienne canonique et de sa norme associ´eek·k.

Si l’´etudiant le souhaite, il pourra ne traiter que le cas o`u n= 2.

Etant donn´´ ef ∈ F(I,Rⁿ), et une subdivisionσ= (x_k)k∈[[0,p−1]]de [a, b], on pose :

l(σ, f) =

p−1

X

k=0

kf(x_k+1)−f(x_k)k.

On dit que f est de longueur born´ee sur le segment [a, b] s’il exite Λ ∈ R tel que, pour toute subdivision σ de [a, b], l(σ, f)6Λ,i.e.l’ensemble{l(σ, f), σsubdivision de [a, b]} est major´e. Dans ce cas, on note L^b_a(f) la borne sup´erieure de cet ensemble :

L^b_a(f) = sup{l(σ, f), σ subdivision de[a, b]}.

On pose ´egalementL^a_b(f) =−L^b_a(f) etL^a_a(f) = 0.

Dans cette partie, on consid`ere deux ´el´ements aet b deI tels quea < b, etf ∈ F(I,R<sup>n</sup>). Pouri∈[[1, n]], on notefi lai-i`eme fonction composante def, de sorte que pour toutt∈I :

f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)).

E.1 Montrer que f est de longueur born´ee sur [a, b] si et seulement si ses fonctions composantes le sont (toutes), et qu’alors :

max

i∈[[1,n]]L^b_a(fi)6L^b_a(f)6

n

X

i=1

L^b_a(fi).

E.2 Soit R un automorphisme orthogonal de Rⁿ. Montrer que f est de longueur born´ee sur [a, b] si et seulement siR◦f l’est, et qu’alors :

L^b_a(R◦f) =L^b_a(f).

On peut montrer (inutile de le faire) comme en B.2, que sif est de longueur born´ee sur tout segment inclus dansI, alors on a la relation de Chasles suivante, valable pour tout (α, β, γ)∈I³ :

L^γ_α(f) =L^β_α(f) +L^γ_β(f).

On suppose d´esormaisf de classeC¹ i.e.toutes ses fonctions composantes le sont.

E.3Montrer quef est de longueur born´ee sur tout segment inclus dansI.

E.4SoitT un endomorphisme deRⁿ. Montrer queT◦f est de classeC¹ surI, et que (T◦f)⁰ =T◦f⁰. E.5On d´efinit la fonctionwpour x∈I, parw(x) =L^x_a(f) et on consid`eret∈I.

a Montrer qu’il existe~u∈Rⁿ unitaire tel quef⁰(t) =kf⁰(t)k~u.

bProuver qu’il existe un automorphisme orthogonalRdeRⁿ tel que : R(~u) = (1,0, . . . ,0).

On pose alorsg=R◦f et on ´ecritg= (g1, . . . , gn).

cMontrer queg est de classeC¹ surI et ´etablir :

g₁⁰(t) =kf⁰(t)k et ∀i∈[[2, n]], g⁰_i(t) = 0.

dSoitv∈R^∗ tel que t+v∈I. Prouver que : 1

vL^t+v_t (g1)6 1

vL^t+v_t (f)6 1 v

n

X

i=1

L^t+v_t (gi).

eEn d´eduire quewest d´erivable ent et quew⁰(t) =kf⁰(t)k.

f Etablir´

L^b_a(f) = Z b

a

kf⁰(t)kdt.