DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Th´ eor` eme de Darboux
Dans tout ce probl`eme, I d´esigne un intervalle d’int´erieur non vide, et f est une fonction d´efinie surI, `a valeurs r´eelles. On noteτ(f) l’ensemble des taux d’accroissement def entre deux points deI. Plus pr´ecis´ement :
τ(f) =
f(y)−f(x)
y−x , (x, y)∈I2, x < y
=
f(y)−f(x)
y−x , (x, y)∈I2, x6=y
1Donner (sans justification), pour chacune des assertions suivantes portant surf, une assertion logiquement
´equivalente portant surτ(f) : 1. f est injective ;
2. f est croissante ;
3. f est strictement monotone ; 4. f est lipschitzienne.
2On suppose dans cette questionf continue surI.
a Soit (x, y) et (x0, y0) deux couples de points deI, avecx < yetx0< y0. Montrer que pour toutt∈[0,1], t(y0−x0) + (1−t)(y−x)6= 0.
b En consid´erant l’application
θ : [0,1] → R
t 7→ f(ty0+(1−t)y)−f(tx0+(1−t)x) ty0+(1−t)y−(tx0+(1−t)x)
,
montrer queτ(f) contient le segment d’extr´emit´es f(y)−f(x)y−x et f(yy0)−f(x0−x0 0). c En d´eduire queτ(f) est un intervalle.
d En d´eduire que sif est en outre injective, alorsf est strictement monotone : une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.
e On suppose que I=]a, b[, o`u a∈R,b ∈R¯, a < b. Montrer que si limaf =−∞, alorsτ(f) n’est pas major´e.
3Dans cette question, on supposef d´erivable sur I.
a Montrer queτ(f)⊂f0(I). Montrer quef0(I) poss`ede au plus deux autres points que l’on explicitera.
a Comparerτ(f) etf0(I) lorsque f est la fonction cube sur I, o`uI vaut successivement [0,1], ]0,1[ et [−1,2].
b Montrer le th´eor`eme de Darboux :f0(I) est un intervalle.
