Corrig´e de l’exercice
Electrostatique, Th´ eor` eme de Gauss
Application de la loi de Gauss :
Il y a une sym´etrie dans ce probl`eme : l`a o`u il existe un champ ´electrique, ce dernier sera radial et dirig´e vers l’ext´erieur. Puisqu’on a la sym´etrie sph´erique, le champ E~ a le mˆeme module sur la surface de toute sph`ere de rayon r centr´ee `a l’origine, de sorte que
Z Z
E~ ·d~S = E Z Z
dS = 4πr2E.
Pour r < a, la charge renferm´ee par la surface de Gauss qui est une sph`ere de rayon r, est de q1(r/a)3. La loi de Gauss donne alors
4πr2E = q1
0 r
a 3
⇒ E = q1r 4π0a3 donc :
a) r = 0 ⇒ E = 0
b) r = a/2 : E = q1(a/2)
4π0a3 = 5,62×10−2N/C c) r = a E = q1
4π0a2 = 0,112N/C
Si a < r < b la charge renferm´ee par la surface de Gauss de rayon r est toujours q1, la loi de Gauss donne donc : 4πr2E =
q1 0
⇒ E = q1
4π0r2 donc : d) r = 1,50 E = q1
4π0r2 = 0,0499N/C
e) Dans la r´egion b < r < c, puisque la coquille est conductrice, le champ ´electrique y est nul : donc, pour r = 2,30a,E = 0 .
La coquille m´etallique a une charge nette q2 = −q1, donc :
f) Pour r > c, la charge renferm´ee par la surface de Gauss est nulle, par cons´equent, E = 0, donc E = 0 pour r = 3,50a.
Consid´erons une surface de Gauss qui se trouve enti`erement dans la coquille m´etallique conductrice. Comme dans un conducteur le champ est nul, la charge renferm´ee par la surface de Gausse est aussi nulle et on a :
qint+q1 = 0 ⇒ qint = −15×10−15C
Comme la coquille m´etallique porte une charge nette de −q1 = −15×10−15C, cette charge se trouve d´ej`a sur la surface int´erieure et `a la surface ext´erieure, qext = 0.
1
