Th´eor`eme de De Rham simplicial et contraction de Dupont

Th´eor`eme de De Rham simplicial et contraction de Dupont

Notes d’expos´ e du groupe de travail Topologie Alg´ ebrique

(Nantes) Salim RIVIERE

F´ evrier 2012

La r´ ef´ erence principale pour cet expos´ e est [Get04].

e

, ..., e

d´ esigne la base canonique de R

, K est un corps de caract´ eristique 0.

Rappelons qu’un ensemble simplicial est la donn´ ee d’un foncteur X

: ∆

→ Ens

n 7→ X

o` u ∆ est la cat´ egorie simpliciale dont les objets sont les ensembles finis ordonn´ es n := {0, · · · , n} et les morphismes sont les applications croissantes, et Ens est la cat´ egories des ensembles. Une alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee simpliciale est d´ efinie de la mˆ eme mani` ere, en rempla¸ cant la cat´ egorie Ens par celle des alg` ebres diff´ erentielles gradu´ ees. La cat´ egorie des ensembles simpliciaux sera not´ ee Sset.

Le n-simplexe g´ eom´ etrique standard est le ferm´ e ∆

de R

d´ efini par

∆

:= {t :=

n

X

i=0

t

e

, X

i

t

= 1 , t

∈ [0, 1]}

Le notation ∆

d´ esigne l’ensemble simplicial repr´ esentable Hom

(•, n). Les k- simplexes de ∆

est celui des applications croissantes de k dans n.

1 Formes diff´ erentielles polynomiales simpliciales

D´ efinition 1.0.1. L’alg` ebre des formes diff´ erentiel les est l’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee commutative simpliciale Ω

dont les n-simplexes (lorsque K = R ) sont les formes diff´ erentielles polynomiales sur le n-simplexe g´ eom´ etrique standard.

En d’autre termes,

Ω

:= S

V /I

est le quotient de l’alg` ebre commutative diff´ erentielle gradu´ ee libre S

V , o` u V = (V

, d

) est l’espace vectoriel gradu´ e d´ efini par

V

= vect

(t

, · · · , t

) , V

= vect

(dt

, · · · , dt

) , V

= {0} ∀k > 2 , d

t

= dt

∀i ∈ n,

par l’id´ eal I engendr´ e par les relations

1 −

n

X

i=0

t

et

X

i=0

dt

Si X

est un ensemble simplicial, l’alg` ebre diff´ erentielle gradu´ ee commutative des formes diff´ erentielles polynomiales sur X

, not´ ee Ω

(X

), est d´ efinie en degr´ e k par

Ω

(X

) := sSet(X

, Ω

)

Remarque 1.0.2. 1. La structure simpliciale sur Ω

provient du fait que n → ∆

est un espace cosimplicial qui envoie chaque morphisme f ∈ Hom

(m, n) sur l’application affine

f : ∆

→ ∆

P

k

= 0

t

e

7→ P

P

k∈f⁻¹({j})

t

e

En particulier la i-eme face simpliciale d

: n-1 → n est envoy´ ee sur l’inclusion de la i-` eme face g´ eom´ etrique

d

: ∆

→ ∆

P

k

= 0

t

e

7→ t

e

+ t

e

+ · · · + t

e

+ t

e

+ · · · + t

e

En post-composant par le foncteur Ω

des formes polynomiales, ces derni` eres induisent des faces d

:= (d

)

: Ω

→ Ω

qui sont les op´ erations de tirage en arri` ere des formes par les inclusions de faces. Les d´ eg´ en´ erescences s’obtiennent de mani` ere analogue.

2. Lorsque K = R , Ω

(X

) peut s’interpr´ eter comme l’alg` ebre des formes diff´ erentielles polynomiales sur la r´ ealisation g´ eom´ etrique |X

| de X

. Supposons que |X

| est une vari´ et´ e

. Une k-forme diff´ erentielle ω sur |X

| est dite polynomiale lorsque pour tout n-simplexe x ∈ X

, le tir´ e en arri` ere σ

ω de ω par le simplexe canonique σ

: ∆

→ {x} × ∆

→ |X

| est une forme polynomiale sur ∆

. Ainsi, ` a toute k-forme polynomiale sur |X

| est associ´ ee une famille ψ

(ω) := (ψ

(ω))

d’applications ψ

(ω) : X

→ Ω

d´ efinies par ψ

(ω)(x) := σ

ω pour tout x dans X

. Pour voir que ψ(ω) est un morphisme d’ensembles pr´ esimpliciaux, il suffit de remarquer que comme

∆

dⁱ

σ_{di x}

## G

G G G G G G G

∆

// |X

|

commute pour tout n-simplexe x ∈ X

et pour tout i dans {0, · · · , n}, ψ

(ω)(d

x) := σ

ix

ω = (d

)

σ

ω = d

ψ(ω)(x)

1. Dont la structure de variet´e fait des simplexes canoniques de |X•|des applications diff´erentiables

La commutation aux d´ eg´ en´ erescences s’obtient de mani` ere analogue ce qui montre que ψ(ω) est un morphisme d’ensembles simpliciaux. Nous avons donc construit une correspondance ψ : Ω

(|X

|) → Hom

(X

, Ω

) qui est injective.

D´ efinition 1.0.3. Le sous-complexe simplicial des formes ´ el´ ementaires C

⊂ Ω

est celui engendr´ e (comme complexe de K -espaces vectoriels) par les formes

´

el´ ementaires ω

d´ efinies par

ω

:= k!

n

X

j=0

(−1)

t

dt

dt

· · · dt d

· · · dt

lorsque n et k parcourent N , et (i

, · · · , i

) parcourt les (k + 1)-uplets d’´ el´ ements de n = {0, · · · , n}.

Proposition 1.0.4. Le complexe C

est effictivement un sous-complexe sim- plicial de Ω

.

D´ emonstration. Admettons la partie simpliciale. Pour v´ erifier que C

est stable par la diff´ erentielle de De Rham, il suffit de calculer l’image d’un g´ en´ erateur :

d

(ω

) =k!

k

X

j=0

(−1)

dt

dt

· · · dt d

· · · dt

=(k + 1)!dt

· · · dt

=

n

X

i=0

(k + 1)!t

dt

· · · dt

=

n

X

i=0

ω

− (k + 1)!

k

X

j=0

(−1)

t

(

n

X

i=0

dt

)dt

· · · dt d

· · · dt

=

n

X

i=0

ω

Remarque 1.0.5. ω

est nulle d` es lors que les i

ne sont pas distincts deux ` a deux. De plus, si τ est une permutation du (k + 1)-uplet (i

, · · · , i

),

ω

= sgn(τ)ω

D´ efinition 1.0.6. Le complexe simplicial d’un ensemble simplicial X

, not´ e C

(X

), est le complexe de cochaˆınes d´ efini en degr´ e k par

C

(X

) := Hom

(X

, C

)

Rappelons qu’il existe un complexe simplicial (normalis´ e) usuel C

(X

) associ´ e ` a tout ensemble simplicial X

, d´ efini par C

(X

) := ( K X

/ P

i∈

k K σ

X

)

et d

:= P

i=0

(−1)

d

: C

(X

) → C

(X

).

Proposition 1.0.7. L’application d’int´ egration I : C

→ C

(∆

) d´ efinie par

I(ω) :=

K ∆

/ P

i

K s

∆

→ K

σ 7→ I

(ω) := R

σ

ω

pour toute k-forme ω dans C

, est un isomorphisme de complexes de cochaˆınes simpliciaux.

D´ emonstration. Commen¸ cons par pr´ eciser le sens de l’int´ egrale apparaissant dans la d´ efinition de I. ` A toute k-forme polynomiale ω := t

· · · t

dt

· · · dt

sur ∆

et ` a tout k-simplexe σ :=< e

, · · · , e

> de ∆

est associ´ ee l’int´ egrale I

(ω) :=

Z

σ=<ei0,···e_ik>

ω :=

Z

∆^k

σ

ω

o` u l’int´ egrale des k-formes sur le k-simplexe standard (qui correspond ` a l’int´ egrale Riemannienne usuelle si K = R ) ∆

est l’unique courant R

∆^k

: Ω

→ K v´ erifiant Z

∆^k

t

· · · t

dt

· · · dt

= a

! · · · a

!

(a

+ · · · + a

+ k)! ∀a

, · · · , a

∈ N et l’application σ

: Ω

→ Ω

est le morphisme d’alg` ebres d´ efini par

σ

(t

) =

t

si i = i

0 si i / ∈ {i

, · · · , i

} pour tout i dans n := {0, · · · , n}.

Remarquons que la famille F constitu´ ee des ω

:= ω

lorsque σ :=

(i

, . . . , i

) parcourt tous les k-simplexes non d´ eg´ en´ er´ es de ∆

(i.e les (k + 1)- uplets (i

, · · · , i

) d’´ el´ ements de n tels que i

< i

< · · · < i

) est une famille g´ en´ eratrice de C

. D’autre part, le complexe des chaˆınes normalis´ ees admet pour base la famille F

des classes de ces mˆ emes simplexes non d´ eg´ en´ er´ es. Or il est facile de voir que pour tout k-simplexe non d´ eg´ en´ er´ e σ := (i

, · · · , i

), I

(ω

) = 0 d` es lors que σ 6= σ

(en particulier lorsque σ

est d´ eg´ en´ er´ e). De plus

I

(ω

) =k!

Z

∆^k

(t

dt

· · · dt

+

k

X

j=1

(−1)

t

dt

dt

· · · dt c

· · · dt

)

=k!( 1

k! − k

(k + 1)! + k (k + 1)! )

=1

Ceci montre non seulement que I(ω

) reste bien d´ efinie modulo les simplexes d´ eg´ en´ er´ es, mais ´ egalement que l’image de la famille g´ en´ eratrice F n’est rien d’autre que la base de C

(∆

) duale de F

. Ceci implique que l’in´ egalit´ e dim

C

= dim

FF 6 dim

F

= dim

C

(∆

) est en fait une ´ egalit´ e, prou- vant ainsi la bijectivit´ e de I.

Corollaire 1.0.8. Les complexes de cochaˆınes C

(X

) et C

(X

) sont iso- morphes.

D´ emonstration. Il s’agit de montrer que Hom

(X

, C

(∆

)) ∼ = C

(X

)

ce qui est fait dans [FHT01]. L’isomorphisme associe ` a un homomorphisme

simplicial f ∈ Hom

(X

, C

) la n-cochaˆıne simpliciale σ ∈ X

7→ f (σ)(Id n),

o` u Id n ∈ ∆

est la classe fondamentale de ∆

.

2 Th´ eor` eme de De Rham simplicial

Si X

est un ensemble simplicial, ¯ X

d´ esigne le sous-ensemble de X

con- stitu´ e des simplexes non d´ eg´ en´ er´ es.

Maintenant que le complexe des cochaˆınes simpliciales a ´ et´ e identifi´ e au sous-complexe des formes polynomiales engendr´ e par les formes ´ el´ ementaires, d´ efinissons une projection associ´ ee ` a cette inclusion.

D´ efinition 2.0.9. Sous les notations de la section pr´ ec´ edente, la projection P

: Ω

→ C

est le morphisme de complexes de cochaˆınes simpliciaux d´ efini par

P

(ω) := X

σ∈∆¯ⁿ_k

I

(ω)ω

pour toute k-forme ω sur ∆

D´ efinition 2.0.10. Soit i dans n. L’application φ

: [0, 1]×∆

→ ∆

est d´ efinie par

φ

(u, t) := ut + (1 − u)e

L’homotopie h

: Ω

→ Ω

est le morphisme de complexes de cochaˆınes simpliciaux d´ efini par

h

(ω) :=

Z

0

du ι

∂u

φ

ω .

Enfin, l’´ evaluation sur le i-` eme sommet ε

: Ω

→ K est donn´ ee par ε

(ω) :=

ω(e

) si ω ∈ Ω

, 0 sinon.

Proposition 2.0.11. [Lemme de Poincar´ e] h

est une homotopie entre entre Id

et ε

, i.e

dh

+ h

d = Id − ε

De plus, en notant E

le champ de vecteurs auquel φ

est associ´ ee, qui v´ erifie E

(t) := t − e

,

h

(ω) = Z

0

u

du φ

ι

ω (1) D´ emonstration. L’´ egalit´ e est vraie dans le cas K = R , il reste ` a voir que h

est bien d´ efinie pour K arbitraire ce dont on se convainc en ´ evaluant formellement h

sur une forme polynomiale puis en ´ evaluant le r´ esultat sur des vecteurs tangents en remarquant que la fonction obtenue est un polynome en u et en les t

` a coefficients dans K et que son int´ egrale a alg´ ebriquement un sens (puisque K contient Q .)

Pour l’´ egalit´ e (1), remarquons que pour toute forme ω sur ∆

, ι

∂u

φ

ω = ω

( ∂φ

∂u , T φ

−, · · · , T φ

−)

Or ∂φ

∂u (u, t) = t − e

= u

E

(φ

(u, t)) donc

ι

∂u

φ

ω = u

φ

ι

ω

Remarque 2.0.12. En particulier, la valeur de ι

est bien d´ et´ ermin´ ee sur les formes ´ el´ ementaires :

ι

ω

=

k

X

p=0

(−1)

δ

ω

(2)

pour tout k-simplexe non d´ eg´ en´ er´ e σ : k → n. En effet, i 6= σ : ι

ω

=(k + 1)!

k

X

j=0

( X

p<j

(−1)

t

t

dt

· · · dt d

· · · dt d

· · · dt

+ X

p>j

(−1)

t

t

dt

· · · dt d

· · · dt d

· · · dt

)

= 0 Et dans le cas o` u i = i

: ι

ω

=(k + 1)!( X

j<q

(−1)

t

dt

· · · dt d

· · · dt d

· · · dt

+ X

j>q

(−1)

t

dt

· · · dt d

· · · dt d

· · · dt

)

=k(−1)

ω

0,···,iˆ_q,···,i_k

De la remarque pr´ ec´ edente d´ ecoule le lemme Lemme 2.0.13. Pour tout σ dans ∆ ¯

:

h

ω

=

k

X

p=0

(−1)

δ

ω

(3)

Nous pouvons maintenant ´ enoncer le th´ eor` eme principal de cet expos´ e : Th´ eor` eme 2.0.14. [Getzler, thm 3.7] La projection P

: Ω

→ C

d´ efinie pr´ ec´ edemment fait de C

un r´ etract par d´ eformation de Ω

. Plus pr´ ecis´ ement, l’application simpliciale s

: Ω

→ Ω

d´ efinie par

s

:= X

k>0

X

σ∈∆¯^•_k

ω

h

avec h

:= h

h

· · · h

pour tout k-simplexe σ = (i

, · · · , i

) dans ∆

, est une contraction, i.e v´ erifie

[s

, d] := s

d + ds

= Id

− P

Corollaire 2.0.15. [Thm de De Rham simplicial] Pour tout ensemble simplicial X

, les complexes Ω

(X

) et C

(X

) sont quasi-isomorphes.

D´ emonstration du th´ eor` eme. Commen¸ cons par ´ etablir le lemme technique Lemme 2.0.16.

I

= (−1)

ε

h

Alors

[d, s

] = X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k n

X

i=0

ω

h

+ X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k

ω

(h

d + (−1)

dh

)

= X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k n

X

i=0

ω

h

+ X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k k

X

j=0

(−1)

ω

h

· · · [h

, d] · · · h

= X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k n

X

i=0

ω

h

+ X

k>1

X

σ∈∆ⁿ_k k

X

j=0

(−1)

ω

h

· · · h [

· · · h

+

n

X

i=0

t

Id

− X

k>0

X

σ∈∆ⁿ_k

(−1)

ω

ε

· · · h

Le dernier terme est −P

par le lemme. Le premier et le second se simplifient pour k > 1. Le troisi` eme (qui provient de k = 0) est l’identit´ e.

R´ ef´ erences

[FHT01] Yves F´ elix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. Rational homotopy theory, volume 205. Springer Verlag, 2001.

[Get04] Ezra Getzler. Lie theory for nilpotent l-infinity algebras. arXiv

preprint math/0404003, 2004.