DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Sous-alg` ebres irr´ eductibles de L(E)
Dans ce probl`eme, on se donne n∈N∗et on travaille avec unC-espace vectorielE de dimensionn.
On rappelle qu’un sous-espace vectorielF deE eststable par un endomorphismef deE sif(F)⊂F. Par exemple, pour toutf ∈ L(E), les espaces vectoriels triviaux deE, c’est-`a-dire {0E}et E, sont stables parf.
On rappelle qu’unesous-alg`ebre deL(E) est une partie deL(E) qui en est `a la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau.
SoitAune partie deL(Cn). On dit queAest irr´eductible si les seuls sous-espaces vectoriels deCn stables par tous les ´el´ements deAsont les sous-espaces vectoriels triviaux{0E}et E.
Partie A –
A.1Soitf et gdeux endomorphismes deE tels quef◦g=g◦f. Montrer que Im(f) et ker(f) sont stables parg.
A.2 On se donne ici une partie irr´eductible Ade L(E). Soit f un endomorphisme de E commutant avec chaque ´el´ement de A.
a Montrer que pour toutλ∈C,f−λIdE commute avec tout ´el´ement deA.
bOn admet l’existence deλ∈Ctel quef−λIdE ∈/ GL(E). Montrer quef =λIdE. On suppose d´esormais queAest une sous-alg`ebre irr´eductible deL(E).
A.3
a Soitx∈E\ {0E}. Montrer que{f(x), f ∈ A}=E.
bSoitϕune forme lin´eaire non nulle surE, et posons A0={ϕ◦f, f ∈ A}.
Montrer que T
ψ∈A0
ker(ψ) ={0E}, puis en d´eduire queA0=E∗, o`u E∗ d´esigne le dualL(E,C) deE.
Indication : on pourra consid´erer l’application
∆ : E → E??
x 7→ (f 7→f(x))
A.4 On suppose dans cette question queAcontient un ´el´ementu∈ L(E) de rang 1. On note y un vecteur non nul de Im(u).
a Montrer qu’il existe une forme lin´eaireϕsurEtelle que
∀x∈E, u(x) =ϕ(x)y.
bSoitvun endomorphisme deE de rang 1,z un vecteur non nul de Im(v), et ψ∈E∗ tels que
∀x∈E, v(x) =ψ(x)z.
Montrer qu’il existef ∈ Atel que f(y) =z et qu’il existeg∈ Atel que ϕ◦g=ψ.
En d´eduire quev∈ A.
cConclure queA=L(E).
A.5Dans cette question, on suppose disposer d’un ´el´ementudeAtel que rg(u)>2.
aMontrer l’existence dex, y∈Etels que (u(x), u(y)) soit libre, puis qu’il existef ∈ Atel quef◦u(x) =y.
bV´erifier que Im(u) est stable paru◦f.
On admet qu’il existeλ∈Ctel que l’endomorphismeginduit paru◦f−λIdEsur Im(u) ne soit pas injectif.
Montrer queg6= 0, puis que Im(g)) est un sous-espace vectoriel strict de Im(u). En d´eduire l’existence dev∈ A non nul tel que rg(v)<rg(u).
A.6D´eduire de ce qui pr´ec`ede queL(E) est la seule sous-alg`ebre irr´eductible deL(E).
