Alg` ebres de Jordan et applications en statistique

Devoir en temps libre

Alg` ebres de Jordan et applications en statistique

Magist` ere 2` eme ann´ ee 2010-2011

Ce devoir est ` a r´ ediger pour le lundi 29 aoˆ ut 2011.

Il peut ˆ etre :

• d´ epos´ e dans mon casier ` a l’IRMA,

• rendu par voie ´ electronique ` a l’adresse ´ electronique : frederic.bertrand@math.u-strasbg.fr,

• rendu par voie postale ` a l’adresse suivante : Fr´ ed´ eric Bertrand

Universit´ e de Strasbourg IRMA

7, rue Descartes

67084 Strasbourg Cedex

Notation : Dans le probl` eme suivant, si ( M , ×) est un magma associatif, a, b des

´

el´ ements de M et S une partie de M alors l’´ egalit´ e aS b = 0 signifie que pour tout

´

el´ ement s de S, asb = 0. La matrice identit´ e d’ordre k ∈ N

sera d´ esign´ ee par I

. Partie 1. Inverses g´ en´ eralis´ es de Moore-Penrose.

Les r´ esultats suivants concernent les inverses g´ en´ eralis´ es de Moore-Penrose et sont admis. Ils ont ´ et´ e d´ emontr´ es lors d’une ´ etude d´ etaill´ ee des inverses g´ en´ eralis´ es qui a

´

et´ e m´ en´ ee dans le devoir en temps libre l’ann´ ee 2009-2010.

D´ efinition : Soit m, n ∈ N

et A une matrice d’ordre m × n ` a coefficients dans un corps K . Une matrice G est un inverse de Moore-Penrose de A si :

AGA = A

(1)

GAG = G

(2)

(AG)

= AG (3)

(GA)

= GA.

(4)

Th´ eor` eme 1 : Soit m, n ∈ N

et A une matrice d’ordre m × n. Il existe un unique inverse de Moore-Penrose de A. Il est not´ e A

.

Propri´ et´ es : Consid´ erons m, n ∈ N

et X une matrice d’ordre m × n. Les assertions suivantes sont vraies :

(1) Soit y ∈ R

. La projection orthogonale de y sur C (X), l’espace vectoriel engendr´ e par les colonnes de X, est ´ egale ` a X (X

X)

X

y.

(2) X (X

X)

X

X = X et X

X (X

X)

X

= X

. (3) X

= (X

X)

X

.

1

Partie 2. R´ esultats pr´ eliminaires.

Dans la suite K d´ esignera un corps et en particulier R ou C . Dans la suite nous appelons K -alg` ebre un K -espace-vectoriel (A, +, ·) muni d’une seconde loi de com- position interne appel´ ee multiplication, not´ ee ∗ et qui est distributive par rapport ` a l’addition. Par cons´ equent,

λ · (a + b) = λ · a + λ · b λ · (a ∗ b) = (λ · a) ∗ b = a ∗ (λ · b) a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a

pour tout λ ∈ K , (a, b, c) ∈ A

.

(A, +, ∗, ·) est une K -alg` ebre r´ eelle si K est un sous-corps de R et une K -alg` ebre complexe si K est un sous-corps de C .

Dans la suite, la dimension d’une K -alg` ebre A est sa dimension en tant que K - espace-vectoriel et est not´ ee dim A.

Remarque :

a) La multiplication n’est pas n´ ecessairement commutative a ∗ b = b ∗ a.

b) La multiplication n’est pas n´ ecessairement associative (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

Exemple : La K -alg` ebre M

( R ) est associative mais non commutative si n > 2.

Une alg` ebre de Jordan est une K -alg` ebre (A, +, •, ·) qui v´ erifie les deux conditions suppl´ ementaires suivantes :

J1 : a • b = b • a, ∀ (a, b) ∈ A

.

J2 : a

• (b • a) = (a

• b) • a, ∀ (a, b) ∈ A

avec a

= a • a.

Remarque : Une alg` ebre de Jordan est donc commutative mais non n´ ecessairement associative pour la loi •.

Exemple : L’ensemble des matrices sym´ etriques r´ eelles, not´ e S

( R ), muni du pro- duit de Jordan d´ efini, pour tout (a, b) ∈ S

( R )

, par :

a • b = 1

2 (ab + ba)

o` u, pour deux ´ el´ ements c et d de M

( R ), cd d´ esigne le produit de c par d au sens de la multiplication usuelle des matrices dans M

( R ) est une alg` ebre de Jordan.

La dimension de S

( R ) est : dim S

( R ) =

n(n + 1).

Dans la suite, lorsque le produit de deux matrices de M

( K ) est not´ e implicitement, il d´ esignera toujours le produit usuel dans M

( K ).

Rien n’empˆ eche d’´ etendre la d´ efinition du produit de Jordan au cas d’un corps de base K de caract´ eristique diff´ erente de deux. Le produit de Jordan de deux ´ el´ ements a et b de S

( K ) est d´ efini par :

a • b = 1

2 (ab + ba).

Remarque : Une alg` ebre de Jordan r´ eelle (A, +, ∗, ·) n’est pas n´ ecessairement iso-

morphe, en tant qu’alg` ebre, ` a une sous-alg` ebre de (S

( R ), +, •, ·) o` u • est le produit

de Jordan d´ efini ci-dessus. Lorsqu’un tel isomorphisme existe, l’alg` ebre (A, +, ∗, ·)

est dite sp´ eciale. Rien n’empˆ eche ´ egalement d’´ etendre cette d´ efinition au cas d’un corps de base K de caract´ eristique diff´ erente de deux.

L’´ egalit´ e suivante est v´ erifi´ ee pour toutes les alg` ebres sp´ eciales de Jordan : a

= a • a = 1

2 (a

+ a

) = a

. Exemples :

1. Soit S le sous-espace vectoriel de S

( R ) engendr´ e par la matrice identit´ e d’ordre 2, I

, et a =

1 2 2 1

. Donner la forme g´ en´ erale des ´ el´ ements s de S puis montrer que (S , +, •) est une alg` ebre sp´ eciale de Jordan r´ eelle.

2. Soit T le sous-espace vectoriel de S

( R ) engendr´ e par la matrice identit´ e d’ordre 3, I

, et b =





1 2 3 2 1 2 3 2 1



. Donner la forme g´ en´ erale des ´ el´ ements t de T , examiner si les propri´ et´ es J1 et J2 sont v´ erifi´ ees. En d´ eduire que (T , +, •) n’est pas une alg` ebre de Jordan r´ eelle.

D´ efinition : Un ´ el´ ement e d’un sous-espace vectoriel S de M

( R ) est une unit´ e associative de S si, pour tout s ∈ S, es = se = s.

Remarque : Si S est un sous-espace propre de M

( R ), il n’est pas possible d’af- firmer que l’unit´ e associative de S est I

, la matrice identit´ e d’ordre n, comme le montre l’exemple suivant qui est associ´ e ` a une probl´ ematique statistique.

Soit Y un vecteur al´ eatoire ` a n composantes d’esp´ erance Xµ et de matrice de variance-covariance V . Supposons que rgX < n et que V soit d´ efinie positive et puisse s’´ ecrire

V =

k

X

i=1

λ

G

avec G

∈ S

( R ) et λ

∈ R pour 1 > i > k. Consid´ erons S = Vect(G

, . . . , G

) et M = I

− X(

XX)

X

o` u (

XX)

est l’inverse g´ en´ eralis´ e de Moore-Penrose de

XX. M est la projection sur le suppl´ ementaire orthogonal de l’espace vectoriel engendr´ e par les colonnes de X.

3. Montrer que le vecteur al´ eatoire Y

= M Y est d’esp´ erance nulle et de matrice de variance-covariance V

´ egale ` a M V M .

V

est un ´ el´ ement de S

, l’ensemble des matrices de la forme M sM lorsque s d´ ecrit S .

4. Montrer que M est une unit´ e associative de S

et que I

6∈ S

.

D´ efinition : Un ´ el´ ement e de M

( K ) tel que e

= e est dit idempotent associatif.

D´ efinition : Un ´ el´ ement e d’une alg` ebre de Jordan (A, +, ∗, ·) tel que e

= e est dit idempotent de Jordan.

5. Montrer que, dans une alg` ebre de Jordan sp´ eciale (A, +, •, ·), les ´ el´ ements idempotents de Jordan et associatifs sont identiques.

3

Lemme 1 : Soit S un sous-espace vectoriel de S

( R ) et e ∈ S un ´ el´ ement idem- potent. Si e • s = s pour un s ∈ S , alors e • s = es = se = s.

6. Montrer le Lemme 1. Indication : Commencer par montrer aba = 2a • (a • b) − a

• b.

7. En d´ eduire que les unit´ es associatives et les unit´ es de Jordan d’un sous-espace vectoriel de S

( R ) sont identiques.

8. Montrer le Lemme 2 suivant.

Lemme 2 : Soit S un sous-espace vectoriel de S

( R ) et e ∈ S.

a) e • s = s pour tout s ∈ S si et seulement si es = s = se pour tout s ∈ S . b) Dans les alg` ebres sp´ eciales de Jordan, les ´ el´ ements idempotents sont Jordan-

orthogonaux si et seulement s’ils sont orthogonaux au sens usuel : si e

, e

sont des ´ el´ ements idempotents alors e

• e

= 0 ⇔ e

e

= 0.

c) Des sous-espaces vectoriels S et T sont dits Jordan-orthogonaux si pour tout s ∈ S et tout t ∈ T , s • t = 0, cette propri´ et´ e est not´ ee S • T = 0.

Des sous-espaces vectoriels S et T poss´ edant une unit´ e s

∈ S et t

∈ T sont Jordan-orthogonaux si et seulement s’ils sont orthogonaux pour la loi multiplicative usuelle : ST = T S = 0 ou encore st = ts = 0, pour tout s ∈ S et tout t ∈ T .

Partie 3. D´ efinitions ´ equivalentes d’une alg` ebre de Jordan.

Lemme 3 : Soit S un sous-espace vectoriel de S

( R ). Supposons que S poss` ede une unit´ e e. S est une alg` ebre de Jordan si et seulement si l’une des conditions

´

equivalentes suivantes est v´ erifi´ ee :

a) ab + ba ∈ S, pour tout a et b dans S . b) aba ∈ S, pour tout a et b dans S .

c) a

∈ S , pour tout a ∈ S.

9. Montrer le Lemme 3.

10. Montrer que si a appartient ` a une alg` ebre de Jordan r´ eelle S , alors R [a] ⊂ S, o` u K [a] d´ esigne l’ensemble de tous les polynˆ omes en a ` a coefficients dans K . Lemme 4 : Soit S un sous-espace vectoriel de S

( R ). Si la matrice identit´ e d’ordre n, I

, appartient ` a S alors :

a) S est une alg` ebre sp´ eciale de Jordan si et seulement elle contient l’inverse g´ en´ eralis´ e de Moore-Penrose s

de chaque ´ el´ ement s ∈ S.

b) S contient tous les inverses s

des ´ el´ ements inversibles s ∈ S si et seulement si elle contient tous les inverses g´ en´ eralis´ es de Moore-Penrose s

des ´ el´ ements s ∈ S .

c) S contient tous les inverses s

des ´ el´ ements inversibles s ∈ S si et seulement si elle contient les inverses d

de tous les ´ el´ ements d´ efinis positifs de d ∈ S.

L’objectif des questions 11. ` a 14. est de montrer le Lemme 4.

11. V´ erifier que si S contient tous les inverses g´ en´ eralis´ es de Moore-Penrose des

´ el´ ements s de S alors S contient tous les inverses s

des ´ el´ ements inversibles s ∈ S et que si S contient tous les inverses s

des ´ el´ ements inversibles s ∈ S elle contient les inverses d

de tous les ´ el´ ements d´ efinis positifs de d ∈ S.

12. Soient a et b deux ´ el´ ements inversibles de S avec a 6= b

. Montrer l’identit´ e de Hua :

a − (a

+ (b

− a)

)

= aba.

13. Soit c ∈ S

( R ). En utilisant l’´ egalit´ e max

x∈Rⁿ\{0}

t

xcx

t

xx = λ

o` u λ

est la plus grande des valeurs propres de c, montrer que, pour ζ ∈ R

suffisamment petit, I

− ζc est d´ efinie positive. Soit ζ

l’une de ces valeurs.

De la mˆ eme mani` ere, montrer que, pour t ∈ R

suffisamment petit, I

− t(I

− ζ

c) est d´ efinie positive et que, pour tout t ∈ R

, t(I

− ζ

c) est d´ efinie positive. Appliquer l’identit´ e de Hua avec b = I

et a = t(I

− ζ

)c et en d´ eduire que

a − (a

+ (I − a)

)

∈ S .

Remarquer alors que a

= t

(I − 2ζ

c + ζ

c

). En d´ eduire que S est une alg` ebre sp´ eciale de Jordan.

14. Montrer que si s ∈ S

( R ) alors s

= (s

)

s. En d´ eduire que a

=

n

X

αi∈SpecA\{0}

1 α

h

g

a o` u SpecA d´ esigne le spectre de A,

g

= Y

j6=i

a

− α

I

et h

= Y

j6=i

α

− α

.

15. En d´ eduire que si S est une alg` ebre sp´ eciale de Jordan, alors elle contient tous les inverses g´ en´ eralis´ es de Moore-Penrose de ses ´ el´ ements.

Partie 4. Classification des alg` ebres de Jordan.

D´ efinition : Une alg` ebre de Jordan S est dite formellement r´ eelle si l’´ equivalence suivante est v´ erifi´ ee :

a

+ b

= 0 ⇔ a = b = 0, ∀a, b ∈ S.

16. Montrer que les alg` ebres sp´ eciales de Jordan r´ eelles sont formellement r´ eelles.

D´ efinition : Un id´ eal de Jordan C d’une alg` ebre A de Jordan est un sous-espace vectoriel de A qui est une alg` ebre de Jordan telle que

a ∗ c ∈ C et c ∗ a ∈ C, ∀a ∈ A, c ∈ C.

D´ efinition : Une alg` ebre A de Jordan est simple si A

= A ∗ A n’est pas r´ eduit ` a {0} et ne contient aucun id´ eal de Jordan propre non r´ eduit ` a {0}.

17. Montrer que S

( R ) est une alg` ebre de Jordan simple.

5

D´ efinition : Deux sous-espaces vectoriels S

et S

de M

( R ) sont orthogonalement

´

equivalents s’il existe une matrice u orthogonale telle que S

= uS

u

Th´ eor` eme 2 (admis) : Soit S une alg` ebre sp´ eciale de Jordan formellement r´ eelle et de dimension finie. Il existe un entier n tel que S est isomorphe ` a une sous- alg` ebre de S

( R ). De plus, S est orthogonalement ´ equivalente ` a une somme directe d’id´ eaux de Jordan simples I et a une unit´ e e telle que e • a = a pour tout a ∈ I.

Chacun des id´ eaux simples de Jordan est isomorphe en tant qu’alg` ebre de Jordan et orthogonalement ´ equivalent ` a l’un des quatre types ci-dessous, chacun de ces types pouvant ˆ etre construit ` a partir d’espaces de matrices sym´ etriques r´ eelles :

a) S

( R ), l’ensemble des matrices r´ eelles sym´ etriques d’ordre m ;

b) H

( C ), l’ensemble des matrices complexes auto-adjointes d’ordre m > 3 ; c) Q

( H ), l’ensemble des matrices quaternioniques auto-adjointes d’ordre m >

3 ;

d) L’alg` ebre de Jordan I(V, f ) d’un produit scalaire f d´ efini sur un R -espace vectoriel V, avec dim V > 2. Un ´ el´ ement de a ∈ I(V , f) s’´ ecrit alors a = (α1 + x) o` u α ∈ R et x ∈ V . Le produit • de deux ´ el´ ements a = (α1 + x) et b = (β1 + y) est d´ efini par

(α1 + x) • (β1 + y) = (αβ + f (x, y))1 + (βx + αy).

Plus pr´ ecis´ ement, l’´ equivalence orthogonale mentionn´ ee dans le Th´ eor` eme 2 signifie qu’il existe une matrice u orthogonale et diagonale par bloc u = diag(u

, . . . , u

), avec u

orthogonale pour 1 6 i 6 k, telle que

uI

u = diag(I

, . . . , I

)

o` u diag(0, . . . , I

, . . . , 0) est la i-` eme composante simple de I et est ` a choisir parmi les quatre types pr´ ec´ edents.

Partie 5. Alg` ebres de Jordan associ´ ees aux matrices sym´ etriques r´ eelles.

Notation : Pour un ensemble {a

, i ∈ I} ⊆ S

( R ), S{a

} d´ esigne Vect(a

, i ∈ I) et {m

, i ∈ I} ⊆ S

( R ) une base de S {a

}.

18. Montrer que si I

∈ S{a

}, il est possible de supposer que toutes les matrices {m

, i ∈ I} sont d´ efinies positives.

Dans la suite de cette partie, S d´ esigne une alg` ebre sp´ eciale de Jordan r´ eelle et formellement positive. Le Th´ eor` eme 2 permet d’affirmer que S contient une unit´ e e.

Consid´ erons une partie S = S {m

}. Nous proposons de construire trois nouveaux objets alg´ ebriques ` a partir de S.

(I) Soit A = A(S ) la plus petite alg` ebre associative incluse dans M

( R ) et qui

contient S. D’un point de vue pratique, cette alg` ebre peut ˆ etre vue comme

l’espace de tous les polynˆ omes de tous les degr´ es en les ´ el´ ements de S puisque

S contient une unit´ e e.

(II) Soit B = B(S ) le sous-espace de S d´ efini par :

B = B(S ) = {b ∈ S | sbs ∈ S, ∀s ∈ S}.

19. Montrer que B = B(S ) est le sous-espace maximal de S tel que : bsb ∈ B, ∀s ∈ S, b ∈ B.

20. Montrer que B = B(S) est une alg` ebre sp´ eciale de Jordan de dimension finie et formellement r´ eelle.

(III) Soit J = J (S) la plus petite alg` ebre de Jordan incluse dans S

( R ), appel´ ee fermeture de Jordan de S.

21. Montrer que, pour S fix´ ee, J (S) est unique et que tout sous-espace E dans J poss` ede un suppl´ ementaire E

inclus dans J (S ) et orthogonal ` a E au sens suivant :

tr(EE

) = 0 et J = E ⊕ E

.

Proposition 1 : L’ensemble A(S) ∩ S

( R ) est l’alg` ebre de Jordan engendr´ ee par les {m

} et tous les t´ etrades en les m

, m

6= I, de la forme :

m

m

m

m

+ m

m

m

m

, pour i

< i

< i

< i

. 22. Montrer que si S = {m

, m

, m

, I}, alors J (S ) = A(S) ∩ S

( R ).

Le r´ esultat suivant est utile pour d´ eterminer la fermeture de Jordan d’un espace S de petite dimension.

Th´ eor` eme 3 : Soit {m

} une base de S , avec 1 6 i 6 k. Supposons de plus que m

= I. Alors :

(i) Si k = 1, alors S = J (S ) ∼ = R .

(ii) Si k = 2, alors J (S ) est l’alg` ebre commutative et associative : A = A(S) ∼ = M

R ,

o` u la somme directe comporte n termes, chacun ´ egaux ` a R , et o` u n est le degr´ e du polynˆ ome minimal de m

. La i-` eme composante de la somme est le sous-espace propre de dimension 1

S

= S({E

}) ∼ = R

pour E

le projecteur associ´ e ` a la i-` eme valeur propre de m

.

(iii) Soient a et b des idempotents sym´ etriques et S = S (a, b). Alors J (S ) se d´ ecompose de la mani` ere suivante. Soient t

= aba, t

= bab, λ

, 1 6 i 6 n, les valeurs propres non nulles de t

. Posons :

f

= (t

− λ

) · · · (t

− λ

)

[(−1)

λ

. . . λ

] f

= (t

− λ

) · · · (t

− λ

)

[(−1)

λ

. . . λ

] g

= af

+ f

a, g

= bf

+ f

b ξ

= t

Q

j6=α

(t

− λ

) λ

Q

j6=α

(λ

− λ

) ξ

= t

Q

j6=α

(t

− λ

) λ

Q

j6=α

(λ

− λ

) ψ

= ξ

si λ

= 1,

ψ

=

ξ

− ξ

(1 − λ

) si λ

6= 1.

7

La d´ ecomposition en somme directe de J = J (S (a, b)) en id´ eaux simples est alors :

J (S ) = R g

⊕ R g

⊕ (⊕Ψ

),

o` u Ψ

est l’id´ eal de J (S) engendr´ e par Ψ

. L’un ou les deux termes R g

ou R g

peuvent ˆ etre nuls.

Si λ

= 1, Ψ

est l’alg` ebre de dimension 1 R (ξ

).

Si λ

6= 1, Ψ

est isomorphe ` a ∈

( R ) et a une base form´ ee des ´ el´ ements v

, v

et v

:

v

= (1 − λ

)

h

ξ

− ξ

ξ

i v

= (1 − λ

)

h

ξ

ξ

+ ξ

ξ

− λ

ξ

+ ξ

i v

= (1 − λ

)

h

ξ

− ξ

ξ

i 23. D´ emontrer les deux premi` eres assertions du Th´ eor` eme 3.

24. Justifier la chaˆıne d’inclusions suivantes :

B(S) ⊆ S ⊆ J (S) ⊆ A(S ) ∩ S

( R ) ⊆ A(S ).

25. Afin de d´ emontrer la derni` ere assertion du Th´ eor` eme 3, commencer par cal- culer A(S ) puis utiliser la Proposition 1 pour ´ etablir l’´ egalit´ e :

J (S) = {a +

a | a ∈ A(S )}.

Partie 6. ´ Etude alg´ ebrique des formes quadratiques al´ eatoires D´ efinition : Si S = L

S

, le support d’un ´ el´ ement a ∈ S, a = P

i

a

avec a

∈ S

, est l’ensemble des indices i tels que a

6= 0.

D´ efinition : Deux ´ el´ ements a et b appartenant ` a S = L

S

ont un support disjoint si a

6= 0 ⇒ b

= 0 et b

6= 0 ⇒ a

= 0.

Th´ eor` eme 4 : Soient S ⊆ S

( R ) et B = B(S ) = {b ∈ S | sbs ∈ S, ∀s ∈ S}. Si S a une unit´ e alors pour tous ´ el´ ements a et b de B, les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

a) sasbs = 0, ∀s ∈ S ; b) aS b = 0 ;

c) aBb = 0 ;

d) a et b ont un support disjoint dans B.

26. Soit G une partie d’une alg` ebre associative A telle que G contienne une unit´ e e. Soient a et b deux ´ el´ ements de G. Montrer que s’il existe deux constantes r´ eelles α, β > 0, α 6= β telles que pour tout g ∈ G :

(α + 1)

[αg + e] ∈ G et (β + 1)

[βg + e] ∈ G

alors gagbg = 0 pour tout g ∈ G si et seulement si aGb = 0. En d´ eduire

l’´ equivalence des deux premi` eres assertions du Th´ eor` eme 4.

Th´ eor` eme 5 : Soient S ⊆ S

( R ) et J = J (S) la fermeture de Jordan de S. Si S a une unit´ e alors pour tous ´ el´ ements a et b de J , les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

a) sasbs = 0, ∀s ∈ J ; b) aS b = 0 ;

c) a et b ont un support disjoint dans J = L J

.

27. Montrer que si a, b, c et d sont des ´ el´ ements de M

( R ), avec b et d sym´ etriques semi-d´ efinies positives alors :

[tr(abcd)]

= tr(abad)tr(bcbd).

Th´ eor` eme 6 : Soient S ⊆ S

( R ) et J = J (S) la fermeture de Jordan de S . Si I appartient ` a S alors pour tous ´ el´ ements a et b de J , l’´ equivalence suivante est vraie :

aSb = 0 si et seulement si aJ (S)b = 0.

27. Montrer, ` a l’aide de l’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente, que l’implication suivante est vraie :

aS b = 0 implique as

b = 0.

En s’int´ eressant ` a la construction de J (S ) ` a partir de S, il est possible de de montrer que le r´ esultat pr´ ec´ edent suffit pour affirmer que :

aSb = 0 implique aJ (S)b = 0.

28. Achever la d´ emonstration du Th´ eor` eme 6.

Une combinaison des r´ esultats pr´ ec´ edents aboutit aux Th´ eor` emes 7 et 8 suivants.

Th´ eor` eme 7 : Soient S ⊆ S

( R ) tel que I ∈ S et a et b des ´ el´ ements de J (S), les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

a) sasbs = 0, ∀s ∈ J ; b) aS b = 0 ;

c) aJ b = 0 ;

d) a et b ont un support disjoint dans B.

Th´ eor` eme 8 : Soient S ⊆ S

( R ), J = J (S ) = ⊕J

pour des id´ eaux J

⊆ J , alors :

sasas = sas pour tout s ∈ S si et seulement si

sa

sa

s = sa

s pour tout i et tout s de S

avec a = P

a

, a

∈ J

.

29. D´ emontrer les Th´ eor` emes 7 et 8.

Partie 7. ´ Etude statistique des formes quadratiques al´ eatoires

Dans cette propri´ et´ e, nous utilisons les r´ esultats pr´ ec´ edents pour s’int´ eresser aux propri´ et´ es d’ind´ ependance et ` a la distribution de formes quadratiques de vecteurs al´ eatoires gaussiens. Commen¸cons par rappeler deux r´ esultats classiques sur les formes quadratiques al´ eatoires. Soit Y un vecteur al´ eatoire gaussien ` a valeur dans un espace vectoriel r´ eel de dimension m, Y ∼ N (µ, V ), d’esp´ erance µ et de matrice

9

de variance-covariance V semi-d´ efinie positive.

Th´ eor` eme 9 (Rao et Mitra 1971) : Soit a, b deux matrices sym´ etriques r´ eelles d’ordre m, Y ∼ N (µ, V ). Les formes quadratiques al´ eatoires

Y aY et

Y bY sont statistiquement ind´ ependantes si et seulement si :

V aV bV = 0, V aV bµ = V bV aµ,

µaV bµ = 0.

Th´ eor` eme 10 (Rao et Mitra 1971) : Soit Y ∼ N (µ, V ). Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que la forme quadratique al´ eatoire

Y aY soit distribu´ ee suivant une loi du χ

` a k = tr(aV ) degr´ es de libert´ e est :

V aV aV = V aV.

L’extension des Th´ eor` emes 9 et 10, qui va ˆ etre ´ etudi´ ee dans la suite, consiste

`

a s’int´ eresser aux propri´ et´ es d’ind´ ependance ou ` a la loi de formes quadratiques al´ eatoires non plus en particulier par rapport ` a une matrice de variance-covariance connue semi-d´ efinie positive mais ` a une famille de matrices semi-d´ efinies positives V . Cette situation se rencontre extrˆ emement souvent en statistique et en particu- lier lors de l’utilisation des mod` eles lin´ eaires mixtes pour mod´ eliser des donn´ ees longitudinales qui servent ` a d´ ecrire par exemple l’´ evolution au cours du temps des caract´ eristiques de patients.

A la famille ` V de matrices semi-d´ efinies positives ´ etudi´ ee, nous associons S (V ) l’espace vectoriel engendr´ e par cette famille. Tous les ´ el´ ements de S(V ) ne sont bien sˆ ur pas des ´ el´ ements V mais nous allons montrer dans la suite que si les propri´ et´ es d’ind´ ependance ou de la loi des formes quadratiques al´ eatoires ´ etudi´ ees sont v´ erifi´ ees sont une partie convexe de S , elles le sont sur S en entier. Remarquons que l’enveloppe convexe de matrices (semi)d´ efinies positives est form´ ee de matrices (semi)d´ efinies positives alors qu’il n’en va pas de mˆ eme pour le sous-espace vectoriel engendr´ e par une famille de matrices (semi)d´ efinies positives. D’un point de vue statistique, il est ´ egalement souvent raisonnable de consid´ erer des famille V de matrices de variance-covariance convexes.

Th´ eor` eme 11 : Soit S(S (V ))) = ⊕(B

) une d´ ecomposition de B en id´ eaux de Jordan simples. Cette d´ ecomposition est une d´ ecomposition maximale de S vis ` a vis de la propri´ et´ e d’ind´ ependance statistique.

(i) Soient b

, b

∈ B

\ {0},

Y b

Y et

Y b

Y ne peuvent ˆ etre statistiquement ind´ ependants pour tout V ∈ S.

(ii) Soient b

∈ B

\ {0}, b

∈ B

\ {0}, i 6= j,

Y b

Y et

Y b

Y sont statistique- ment ind´ ependants pour tout V ∈ S .

30. D´ emontrer le Th´ eor` eme 11.

Th´ eor` eme 12 : Soit a, b ∈ J (S). Les formes quadratiques al´ eatoires

Y aY et

Y bY sont statistiquement ind´ ependantes si et seulement si a et b ont un support disjoint dans :

J = J (S) = ⊕J

.

31. En consid´ erant la d´ ecomposition de S = ⊕S

induite par celle de J , d´ emontrer

le Th´ eor` eme 12.

Il est souvent plus pratique d’utiliser la caract´ erisation suivante.

Proposition : Les formes quadratiques

Y aY et

Y bY sont statistiquement ind´ ependantes pour tout ´ el´ ement V de V , l’ensemble des matrices de variance-covariance consid´ er´ ees, si et seulement si am

b = 0 pour tout m

lorsque les m

forment une base du sous- espace vectoriel engendr´ e par V .

32. Montrer la proposition ci-dessus.

Proposition : Soit S un sous-espace de S

( R ) et a, b des ´ el´ ements de S

( R ). Alors l’´ equivalence suivante est v´ erifi´ ee :

aSb = 0 si et seulement si (aa

)S(bb

) = 0.

33. Montrer la proposition ci-dessus.

Th´ eor` eme 13 : Soit Y ∼ N (µ, V ) et a ∈ J (S(V )). La forme quadratique al´ eatoire

t

Y aY suit une loi du χ

` a tr(aV ) degr´ es de libert´ e si et seulement si chaque membre de la d´ ecomposition de

Y aY induite par celle de a dans J suit une loi du χ

, c’est-

`

a-dire si et seulement si tous les termes

Y a

Y , avec a = P

a

, a

∈ J

suivent une loi du χ

. Les degr´ es de libert´ e associ´ es ` a chacune de ces lois du χ

sont tr(a

V

). En

´

egalant les degr´ es de libert´ e il vient que tr(aV ) = P

tr(a

V

).

34. En consid´ erant la d´ ecomposition de S = ⊕S

induite par celle de J , d´ emontrer le Th´ eor` eme 12.

Partie 8. Utilisation de la convexit´ e Lemme : Soit a et b de S

( R ) tels que

cacbc = 0, ∀c ∈ C,

o` u C est une partie convexe de S

( R ) qui contient une unit´ e, c’est-` a-dire un ´ el´ ement e tel que ec = ce = c pour tout c ∈ C.

L’´ egalit´ e

sasbs = 0

est vraie pour tout s ∈ S, o` u S est le sous-espace vectoriel engendr´ e par C.

34. Montrer le lemme pr´ ec´ edent.

Th´ eor` eme 14 : Soient Y ∼ N (µ, V ), C l’ensemble des matrice de variance- covariance V consid´ er´ e et S le sous-espace vectoriel qu’il engendre. L’ensemble {m

}

d´ esigne une base de S et a, b des ´ el´ ements de J (S). Les formes quadra- tiques al´ eatoires

Y aY et

Y bY sont statistiquement ind´ ependantes si et seulement si am

b = 0 pour tout i.

34. D´ emontrer le Th´ eor` eme 14.

11