Probabilit´ es DM2 El´ ements de correction

L3 Probabilit´es. Ann´ee 2016-2017. Universit´e de Bordeaux

Probabilit´ es DM2 El´ ements de correction

Exercice 1.

Partie A)SoitX une variable al´eatoire de loi NormaleN(0,1). On note φ_X la fonction caract´eristique deX. 1)a) Montrer que φ_X est d´erivable sur Ret queφ_X v´erifie l’´equation diff´erentielle

y⁰(t) +ty(t) = 0.

R´esoudre l’´equation diff´erentielle puis en d´eduire que pour tout r´eelt,φX(t) =e^−t

2 2 .

∀t∈R φX(t) = 1

√2π Z

R

e^itxe^−x

2 2 dx On va appliquer le th´eor`eme de d´erivation des int´egrales `a param`etres.

— ∀t∈R,x7→e^itxe^−x22 est int´egrable surR. En effet,|e^itxe^−x22|=e^−x22 etx7→e^−x22 est int´egrable surR.

— ∀x∈R,t7→e^itxe^−x22 est continˆument d´erivable surRet de d´eriv´ee t7→ixe^itxe^−x22.

— ∀t∈R

ixe^itxe^−x

2 2

=|x|e^−x22 avecx7→ |x|e^−x22 dansL¹(R) φ_X est continˆument d´erivable sur Rde d´eriv´ee

∀t∈R φ⁰_X(t) = 1

√2π Z

R

ixe^itxe^−x

2 2 dx

Il reste `a faire une int´egration par parties pour v´erifier queφX est bien solution de l’´equation diff´erentielle.

Les fonctionsx7→ie^itxetx7→e^−x22 sontC¹surR, lim

x→+∞ie^itxe^−x22 = 0 ainsi que lim

x→−∞ie^itxe^−x22 = 0, d’o`u

∀t∈R

√

2πφ⁰_X(t) = Z

R

ixe^itxe^−x

2 2 dx=h

−ie^itxe^−x

2 2

i^+∞

−∞− Z

R

te^itxe^−x

2

2 dx=−√

2πtφX(t) φX v´erifie l’´equation diff´erentielley⁰(t) +ty(t) = 0.

Les solutions de cette ´equation diff´erentielle sont les fonctionst7→Ce^−t22 avecCr´eel. On sait queφ_X(0) = 1 doncC= 1 etφX(t) =e^−t

2 2.

b) Montrer queX a des moments de tous ordres donn´es par :

∀k∈N, E(X^2k+1) = 0 et E(X^2k) = (2k)!

2^k.k!.

On sait que pour tout j∈N,x7→x^je^−x22 est dansL¹(R), doncX a des moments de tous ordres et de plus (en appliquant `a nouveau le th´eor`eme de d´erivation des int´egrales `a param`etre)

∀j∈N E(X^j) = (−i)^jφ^(j)_X (0).

Nous savons queφX(t) =e^−t22 qui est une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0, de rayon de convergence infini, d’o`u

∀t∈R φX(t) =

+∞

X

k=0

1 k!(−t²

2)^k. Avec l’unicit´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere, nous avons que

∀k∈N (j= 2k+ 1⇒ φ^(j)_X

j! (0) = 0) et (j = 2k⇒ φ^(j)_X

j! (0) = 1 k!(−1

2)^k Soit

∀k∈N E(X^2k+1) = 0 etE(X^2k) = (−i)^2k(2k)!

k! (−1

2)^k= (2k)!

2^k.k!

Remarque : X suit une loi sym´etrique par rapport `a 0, on a retrouv´e que, d`es qu’ils existent, ses moments d’ordre impair sont nuls.

2)En d´eduire la fonction caract´eristique d’une loi NormaleN(m, σ²)pourm∈Ret σ >0.

Pour toute variable al´eatoireX, pour tous r´eelsaet b

φaX+b(t) =E(e^it(aX+b)) =e^itbφX(ta) SiX suit une loiN(0,1) alorsm+σX suit une loiN(m, σ²) et

∀t∈R φm+σX =e^itme^−σ2t

2 2

3) En d´eduire que si Y et Z sont deux variables al´eatoires suivant chacune une loi normale et ind´ependantes alorsY +Z suit encore une loi normale.

Supposons queY suit une loi N(m1, σ₁²) et que Z suit une loi N(m2, σ²₂). La fonction caract´eristique de la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes est le produit des fonctions caract´eristiques d’o`u

∀t∈R φY+Z(t) =e^itm1e^−σ12t

2

2e^itm2e^−σ22t

2

2 =e^it(m1+m2)e^{−(σ12+σ22)t}

2 2

La fonction caract´eristique caract´erise la loi doncY +Z suit une loiN(m₁+m₂, σ²₁+σ²₂).

Remarque : d`es que l’on sait que la somme de deux variables ind´ependants de loi normales est une variable al´eatoire de loi normale, on retrouve facilement ses param`etres en utilisant queE(Y +Z) =E(Y) +E(Z), et pour des variables ind´ependantsV(Y +Z) =V(Y) +V(Z).

Partie B)Dans le cours, on a vu que pour une variable al´eatoire born´ee, la connaissance de tous ses moments caract´erise sa loi. Dans cette partie, nous allons montrer que de mani`ere g´en´erale le r´esultat est faux : les mo- ments d’une variable al´eatoire ne caract´erisent pas sa loi.

On dit queZ suit la loi log-normale (de param`etres 0 et 1)si Z s’´ecritZ=e^X avecX de loiN(0,1).

1) Montrer queZ a pour densit´e

f(z) = 1

√ 2π

1

ze^−(ln2z)21_]0,+∞[(z).

Avec la fonction muette, soithune fonction continue et born´ee E(h(Z)) =E(h(e^X)) = 1

√2π Z

R

h(e^x)e^−x

2 2 dx

puis avec le changement de variable t = e^x (la fonction exponentielle est un C¹-diff´eomorphisme de R sur ]0,+∞[)

E(h(Z)) = 1

√2π Z

]0,+∞[

h(t)e^−(lnt)22 1 t dt Z a pour densit´e

f(t) = 1

√2π 1

te^−(lnt)22 1_]0,+∞[(t).

2)Soient a∈Ret α∈R, on pose alors : fa,α(x) =f(x) (1 +asin(αlnx)).

Donner les conditions n´ecessaires et suffisantes sur a et α pour que fa,α soit une densit´e de probabilit´e. (On pourra remarquer queR

Re^−u2/2sin(αu)du= 0.)

Il faut et suffit que fa,α soit positive, continue par morceaux surR, int´egrable et d’int´egrale ´egale `a 1. On sait d´ej`a que f est une densit´e de probabilit´e, de la continuit´e par morceaux def il d´ecoule celle de fa,α. En remarquant de plus que

|fa,α| ≤(1 +|a|)f

nous avons pour toutaetαl’int´egrabilit´e defa,α. De plus avec le changement de variablex= lnt Z

R

fa,α(t)dt= Z

R

f(t)dt+ a

√2π Z

R

e^−x

2

2 sin(αx)dx= 1 + 0 = 1 car dans la deuxi`eme int´egrale, on int`egre une fonction impaire.

Reste `a s’assurer de la positivit´e, elle est r´ealis´ee si et seulement sia∈[−1,1] quelque soit la valeur deα.

3)On prend maintenanta∈[−1,1]et α= 2π. Montrer que pour toutk∈N, Z

R

e^kue^−u2/2sin(2πu)du= 0.

(Indication : On pourra par exemple ´ecrireR

Re^kue^−u2/2e^iαudu`a l’aide de la fonction caract´eristique d’une loi normale bien choisie.)

e^kue^−u2/2e^iαu=e^k

2

2 e^−(u−k)22 e^iαu

Il en d´ecoule, en reconnaissant la fonction caract´eristique d’une loiN(k,1) calcul´ee au pointα, que Z

R

e^kue^−u2/2e^iαudu=√ 2πe^k

2

2 e^iαke^−α2/2 Puis

∀k∈N Z

R

e^kue^−u2/2sin(2πu)du=Im Z

R

e^kue^−u2/2e^i2πudu

=Im√ 2πe^k

2

2e^i2πke^−α2/2

= 0 4) En d´eduire que si Za est une variable al´eatoire de densit´efa,2π, alorsZa et Z ont mˆemes moments et que les moments ne caract´erisent pas la loi.

Avec la majoration |fa,α| ≤(1 +|a|)f, il est clair que si Z a des moments de tous ordres alors Z_a aussi.

Pour montrer que pour tout k ∈N^∗, le moment d’ordre k de Z existe on peut utiliser un th´eor`eme de com- paraison. La fonction t7→ ^t_t^ke^−(lnt)2/2 est prolongeable par continuit´e sur [0,+∞[ donc localement int´egrable.

t→+∞lim t^2t_t^ke^−(lnt)2/2 = 0, R+∞

1 1

t²dt converge, par comparaison entre fonctions positives, R+∞

1 t^k

te^−(lnt)2/2dt converge.

De plus, avec la question 3 et un changement de variable u= lnt on a pour toutk∈N^∗ E(Z_a^k) = 1

√2π Z

]0,+∞[

t^k

te^−(lnt)2/2(1 +asin(2πlnt))dt=E(Z^k) + a

√2π Z

R

e^kue^−u

2

2 sin(2πu)du=E(Z^k) + 0 Les moments ne caract´erisent pas la loi en g´en´eral.

Exercice 2.

X²1_{|X|≥^√_na}

→0 quandn→+∞.

2) Soit (Xn)_n≥1 une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On suppose que la loi commune poss`ede un moment d’ordre 2 fini. Pour toutn≥1, on pose

Mn= max

1≤k≤n|Xk|.

Le but de cette question est de montrer que (M_n/√

n) converge en probabilit´e vers 0.

a) Montrer que∀ε >0,P M_n

√n ≥ε

= 1−(P(|X1|< ε√ n))ⁿ. b) Pour tout ε >0 et toutn≥1, on noteαn(ε) :=E

X₁²1_{|X1|≥ε^√_n}

, montrer que P(|X1|< ε√

n)≥1−αn(ε) nε² . c) Conclure.

Exercice 3.

Soit X une variable al´eatoire r´eelle telle que : E[e^t|X|] est fini pour tout t ≥0. (Noter que ceci implique en particulier queX est int´egrable).

Soit (Xk)k≥1 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi queX. On noteSn=

n

X

k=1

Xk, le but est de montrer queSn/nconverge presque sˆurement versm=E[X]. Pour simplifier, on suppose ´egalement quem= 0.

a) Soitε >0. Montrer que, pour toutt≥0, P

Sn

n ≥ε

≤e^−εnt E[e^tX]ⁿ .

b) On poseα= inf_t≥0e^−εtE[e^tX], montrer queα <1 (on pourra d´eriver en 0 la fonctionh : t7→e^−εtE[e^tX]) et que

P Sn

n ≥ε

≤αⁿ.

c) En d´eduire queX

n≥1

P Sn

n ≥ε

<+∞. Puis justifier queX

n≥1

P |Sn|

n ≥ε

<+∞.

d) Conclure.

Exercice 4.

2 2

1 x− 1

x³

≤ Z +∞

x

e^−t

2

2 dt≤e^−x

2

2 1

x.

(Pour la minoration, on pourra commencer par faire une int´egration par parties. Pour les deux in´egalit´es on pourra penser `a faire apparaˆıtre _x^t.)

• On int`egree^−t2/2=t⁻¹×t e^−t2/2 par parties : (∗)

Z +∞

x

t⁻¹t e^−t2/2dt=− Z +∞

x

t⁻²e^−t2/2dt−

t⁻¹e^−t2/2+∞

x =−

Z +∞

x

t⁻²e^−t2/2dt+x⁻¹e^−x2/2.

D’o`u la majoration pour tout x >0 :

Z +∞

x

e^−t2/2dt≤x⁻¹e^−x2/2.

•En remarquant que pour toutt≥x, t⁻²≤x⁻³×t, nous avons la minoration :

− Z +∞

x

t⁻²e^−t2/2dt≥x⁻³ Z +∞

x

−te^−t2/2dt=−x⁻³e^−x2/2. On en d´eduit l’encadrement demand´e i.e. que pour toutx >0 :

x⁻¹e^−x2/2(1−x⁻²)≤ Z +∞

x

e^−t2/2dt≤x⁻¹e^−x2/2.

Remarque :Comme lim

x→+∞(1−x⁻²) = 0, on a : Z +∞

x

e^−t2/2dt ∼ x⁻¹e^−x2/2lorsque x→+∞.

2) Soit(Xn)_n≥1 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi N(0,1). Soit ε >0. Pour n≥1, on pose

An= Xn

√2 lnn ≥1−ε

Montrer queP(lim supA_n) = 1.

Soit 0< <1. On note An() :={(Xn/√

2 lnn)≥1−}.

En utilisant le 1), on obtient lorsquen→+∞(cf. Remarque du1)) : P(An()) =P

Xn≥(1−)√ 2 lnn

= 1

√2π Z +∞

(1−)√ 2 lnn

e^−t2/2dt∼ 1

√2π

1 (1−)√

2 lnne^{−(1−)2lnn} d’o`u P(An())∼ 1

√ 2π

1 (1−)√

2 lnn 1

n⁽¹⁻⁾² lorsquen→+∞.

Comme 0< <1, on peut consid´ererαtel que (1−)²< α <1.

On d´eduit alors que : n^αP(An())→+∞quandn→+∞. Mais comme la s´erie P

nn^−α diverge, il en est de mˆeme de la s´erie P

nP(A_n()). De plus, les variables al´eatoiresX_n´etant ind´ependantes, les ´ev`enementsA<sub>n</sub>() sont ind´ependants. Par le th´eor`eme de Borel-Cantelli, on conclut que : P(lim sup_n A_n()) = 1.

3)Soitε >0. Pourn≥1, on pose

B_n= Xn

√2 lnn ≥1 +ε

Montrer queP(lim supBn) = 0.

Soit 0< <1 et Bn() :={(Xn/√

2 lnn)≥1 +}. Comme pr´ec´edemment, P(Bn())∼ 1

√2π

1 (1 +)√

2 lnn 1

n⁽¹⁺⁾² lorsquen→+∞.

D’o`uP(B_n()) =o( 1

n⁽¹⁺⁾²). La s´erieP

nn⁻⁽¹⁺⁾² ´etant convergente, la s´erieP

nP(B_n()) l’est aussi.

Donc, par le th´eor`eme de Borel-Cantelli, on en conclut que : P(lim sup_n B_n()) = 0.

4)En d´eduire que

P

lim sup Xn

√ 2 lnn

= 1

= 1.

• Remarquons l’´equivalence lim sup

n

(X_n(ω)/√

2 lnn))>1 ⇐⇒ ∃r∈N^∗/ ω∈lim sup

n

B_n(1/r) On a donc l’´egalit´e entre ´ev`enements : {lim sup

n

(Xn/√

2 lnn)>1}= [

r∈N^∗

( lim sup

n

Bn(1/r) ).

On obtient alors, en utilisant la question3), P

lim sup

n

(Xn/

√

2 lnn)>1

≤ X

r∈N^∗

P( lim supBn(1/r) ) = 0

•Remarquons maintenant l’´equivalence : lim sup

n

(Xn(ω)/√

2 lnn)≥1⇐⇒ ∀r∈N^∗ / ω∈lim sup

n

An(1/r).

On a donc l’´egalit´e entre ´ev`enements : {lim sup

n

(Xn/

√

2 lnn)≥1}= \

r∈N^∗

( lim sup

n

An(1/r) ).

On obtient alors, en utilisant la question2)et la d´ecroissance de la suite d’´ev`enements lim sup

n

An(1/r)

r∈N^∗, P

lim sup

n

(X_n/√

2 lnn)≥1

= lim

r→+∞P( lim sup

n

A_n(1/r) ) = 1 De ces deux ´etapes de d´emonstration, on en conclut que :

P lim sup

n

(Xn/

√

2 lnn) = 1

=P lim sup

n

(Xn/

√

2 lnn)≥1

−P lim sup

n

(Xn/

√

2 lnn)>1

= 1.