DM de MP2
Devoir non surveill´ e
Sous-alg` ebres sur lesquelles la transposition induit un automorphisme
Dans ce probl`eme,nd´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2,Kd´esigneRouC. D´efinitions et rappels (qu’il est inutile de montrer).
SoitA= (ai,j)∈ Mn(K).
- On dit queAestnilpotente s’il existem∈N∗ tel queAm= 0n. - On appelle trace de A et on note tr(A) le scalaire Pn
i=1ai,i. On rappelle que la trace (vue comme application de Mn(K) dansK) est une forme lin´eaire surMn(K), et que pour toute matriceB de taille n, tr(AB) = tr(BA).
- SoitP =Pm
k=0akXk∈K[X] (o`um∈Net (a0, . . . , am)∈Km+1). On note P(A) la matricePm k=0akAk (o`u A0 =In et, pour tout k∈N,Ak+1 =A Ak). On dit que lepolynˆomeP annuleA (ou queP est un polynˆome annulateur de A) si P(A) = 0n. On d´efinit des notions analogues pour des endomorphismes d’unK-espace vectoriel.
- On dit1 qu’un ensemble Aest une K-alg`ebre s’il admet des lois lui conf´erant une structure deK-espace vectoriel, et s’il est ´egalement muni d’une loi de composition interne (not´ee multiplicativement) bilin´eaire, associative, et pour laquelle il existe un ´el´ement neutre. Cela revient `a dire queAest `a la fois unK-espace vectoriel, un anneau, et que, pour tout (λ, a, b)∈K× A × A:
λ(ab) = (λa)b=a(λb).
Une K-alg`ebre est dite commutative si sa loi de multiplication interne est commutative, ce qui revient `a dire qu’en tant qu’anneau, elle soit commutative.
On peut citer, comme exemples deK-alg`ebres (pour les lois usuelles) : Kn,F(A,K) (o`uAest un ensemble), Mn(K),K[X], le produit cart´esien de deuxK-alg`ebres.
- On dit qu’une partieB deAest unesous-alg`ebre deAsi c’en est `a la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau.
Comme exemple de sous-alg`ebre (commutative), on peut citerK[M] = Vect(Mk, k∈N), o`uM ∈ Mn(K) : c’est la sous-alg`ebre de Mn(K) des polynˆomes en M.
- On dit qu’une application entre deux K-alg`ebres est un morphisme d’alg`ebres si elle est lin´eaire et si c’est un morphisme d’anneaux. On d´efinit naturellement les notions d’isomorphisme, d’endomorphisme, et d’automorphisme d’alg`ebre(s).
Comme exemple d’automorphisme de K-alg`ebre, on peut donner M 7→ P−1M P dansMn(K), o`u P ∈ GLn(K).
- On dit qu’uneK-alg`ebre estdiagonalesi elle est isomorphe (en tant queK-alg`ebre) `aKm, pour un certain m∈N∗
Dans la suite, et sauf mention contraire,Ad´esignera une sous-alg`ebre deMn(R).
La notion principalement ´etudi´ee dans ce probl`eme
On dit que Aest de type T si la transposition (dans Mn(R)) induit un automorphisme deA, i.e. A est stable par transposition, et l’application deAdans elle-mˆeme qui `aM ∈ AassocietM est un automorphisme de l’alg`ebreA.
Le but de ce probl`eme est de montrer que siAest de type T, alors elle est diagonale.
1il existe d’autres d´efinitions
Partie A – G´ en´ eralit´ es
A.1SoitAetB deuxK-alg`ebres, A0 une partie deA, Φ une application deAdansB.
aMontrer queA0 est une sous-alg`ebre deAsi et seulement si elle comprend l’´el´ement unit´e 1AdeA, est stable par combinaison lin´eaire et par produit.
bMontrer que Φ est un morphisme deK-alg`ebres si et seulement si Φ(1A) = 1B, et pour tout (a, a0)∈ A2, tout (λ, λ0)∈K2 :
Φ(λa+λ0a0) =λΦ(a) +λ0Φ(a0) et Φ(aa0) = Φ(a)Φ(a0).
A.2Montrer queAest de type T si et seulement si elle est stable par transposition et commutative.
A.3 Soit (M, N) ∈ Mn(K)2 tel que N soit nilpotente et M et N commutent. Montrer que M N est nilpotente.
A.4SoitM = (mi,j)∈ Mn(R) v´erifiant tr(MtM) = 0. Montrer queM est nulle.
A.5
aDonner une sous-alg`ebre deMn(K) stable par transposition, mais pas de typeT. On justifiera bri`eve- ment sa r´eponse.
b Donner une sous-alg`ebre de Mn(K) commutative, mais pas de type T. On justifiera bri`evement sa r´eponse.
A.6SoitM ∈ Mn(C).
a Montrer que l’ensemble
NM ={Q∈C[X], Q(M) = 0}
des polynˆomes annulateurs deM poss`ede un ´el´ement non nul.
bMontrer qu’il existe un unique polynˆome unitaireP ∈C[X] tel queNM soit ´egal `a l’ensemblePC[X]
des multiples du polynˆomeP.
Ce polynˆome sera not´eµM et appel´epolynˆome minimal deM.
Partie B – Sur les matrices nilpotentes
SoitN ∈ Mn(K) une matrice nilpotente.
B.1Montrer queN est semblable `a une matrice dont la premi`ere colonne est nulle.
B.2Montrer que toute matrice nilpotente est de trace nulle.
B.3(Question non essentielle pour la suite)
On consid`ere M ∈ Mn(K), telle que tr(Mk) = 0 pour tout k ∈ N∗. On souhaite montrer que M est nilpotente.
a Montrer que siP∈K[X] annuleM, alors 0 est racine deP. bMontrer queM n’est pas inversible.
cEn d´eduire queM est nilpotente (on pourra raisonner par r´ecurrence).
Partie C – A est diagonale
Ad´esigne ici une sous-alg`ebre de type T. On souhaite montrer qu’elle est diagonale.
C.1
a Montrer queAne poss`ede pas de matrice nilpotente non nulle.
bSoitM ∈ A. Montrer que les racines (complexes) du polynˆome minimal deM sont simples.
C.2 On fixe un ´el´ement M de A, et on note λ1, . . . , λm les diff´erentes racines complexes de µM, de sorte que, d’apr`es ce qui pr´ec`ede,
µM =
m
Y
i=1
(X−λi).
On notef l’endomorphisme deCn canoniquement associ´e `a M, et on pose, pour touti∈[[1, m]] : Pi= Y
j∈[[1,m]]\{i}
(X−λj).
Ici, Id d´esigne IdCn.
a Montrer que pour touti∈[[1, m]], Im(Pi(f))⊂Ker(f−λiId ), et que Ker(f−λiId )6={0}.
bMontrer que 1∈Vect(P1, . . . , Pm).
cEn d´eduire que
Cn= Ker(f−λ1Id ) +· · ·+ Ker(f−λmId ).
d Montrer queM est diagonalisable dans Mn(C), i.e. M est semblable `a une matrice diagonale dans Mn(C).
En travaillant encore un peu, on peut montrer que, tous les ´el´ements deA´etant diagonalisables, etA´etant commutative, les ´el´ements de A sont codiagonalisables, i.e. il existe P ∈ GLn(C) tel que, pour tout M ∈ A, P M P−1soit diagonale. Nous admettons ce r´esultat.
C.3Montrer queAest diagonale.
C.4Montrer qu’il existe un ´el´ementZ deAtel que A=R[Z] (on dit que cetteR-alg`ebre estmonog`ene).
C.5Toute sous-alg`ebre diagonale deMn(R) est-elle de type T ?
