Test 1 - Alg`ebre CPBX
Exercice 1
• Soit B la base canonique, alors
detB(v1, v2, v3) =
1 2 −1
1 1 0
−1 −2 1
Au choix, en d´eveloppant par rapport `a la troisi`eme colonne ou bien en utilisant la r`egle de Sarrus, on trouve detB(v1, v2, v3) = 0. Une autre possibilit´e ´etait de remarquer que la troisi`eme est colin´eaire `a la premi`ere.
• Le d´eterminant de la famille (v1, v2, v3) vaut 0, donc cette famille n’est pas libre, elle est donc li´ee. Par ailleurs, on peut noter quev1−v2 =v3, ce qui confirme bien que la famille est li´ee.
• La famille (v1, v2, v3) est form´ee de trois vecteurs de R3, qui est de dimension 3.
Donc elle est g´en´eratrice si et seulement si elle est libre. Or elle est li´ee. Donc elle n’est pas g´en´eratrice. Le rang de la matrice est aussi le rang de la famille (v1, v2, v3). Celui-ci est compris entre 0 et 3. Puisque (v1, v2) sont clairement libres (car non colin´eaires), le rang est au moins 2. Mais si le rang ´etait 3, la famille serait g´en´eratrice. D’o`u : le rang est 2.
Exercice 2
Voir le cours. Ne pas oublier d’´enoncer les hypoth`eses : Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, et f :E →F une application lin´eaire. Alors...
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel.
• Un projecteur deE est un endomorphisme p deE qui v´erifie p◦p=p.
• Voir TD.
Best of (anonyme)
Comme toujours, beaucoup ´ecrivent des choses qui n’ont aucun sens, et ne peuvent ˆetre corrig´ees. Quelques exemples parmi beaucoup d’autres :
1
• Quel sens puis-je donner `a :
p: E →E p◦p→p Quel sens puis-je donner `a :
u: E →F f →f
• Il est essentiel de ne pas utiliser les =⇒ et ⇐⇒ `a tout bout de champ. Par exemple :
p:E →E =⇒ p◦p=p ne veut rien dire.
• Soit E un ev. Alors
dim(E) = dim(ker(E)) + rg(E).
Parler du noyau d’un ev n’a aucun sens...
• Le rang de la matrice est 6 car c’est une matrice carr´ee 3×3.
• rg = 2 car 2 sys`emes lin´eairement ind´ependants. Remarque : en fait beaucoup m’ont parl´e de “syst`eme” ou ”d’´equations indpendantes” pour parler du rang. Il n’y avait aucun syst`eme ni aucune ´equation dans ce test...
• Soit A∈ker(p), alorsA = 0 car ker(p) = 0 ∀p. De plus Im p= 0 =⇒ p(x) = 0.
• Si x ∈ ker(p) =⇒ x = 0. Au dela de la logique mutil´ee, la d´efinition du noyau n’est pas sue.
• De mˆeme, x∈ Im p, alors y=p(x). Ici la notion d’image n’est pas comprise.
• x∈ ker(p) et x ∈ imp alors x2 =x. Donc x = 0 ou x = 1. Un vecteur ne se met pas au carr´e. De plus, conclure par x = 1 montre que l’on m´elange un ev abstrait et le monde des scalaires.
Assurez-vous d’´ecrire des choses qui ont un sens. Relisez-vous pour ˆetre sˆur de la gram- maire. Ne parlez pas de la dimension d’une famille (ou d’un vecteur), ni de la taille (ou du rang) d’un ev... En cas d’h´esitations sur des notations (concernant la d´efinition d’une fonction en particulier), posez des questions!
2/2
