Alg`ebres de Hopf et Probl`emes Diophantiens

Alg` ebres de Hopf et

Probl` emes Diophantiens

Michel Waldschmidt

Groupes alg´ ebriques - lin´ eaires, commutatifs, sur

Polynˆ omes exponentiels

Transcendance de valeurs de polynˆ omes exponentiels

Alg` ebres de Hopf - commutatives, co-commutatives, de type fini

Alg` ebre des nombres multizˆ eta

Groupes alg´ ebriques - lin´ eaires, commutatifs, sur

G =

×

d = d

+ d

G(Q) =

× (Q

)

exp

: T

(G) =

−→ G(C) =

× (C

)

(z

, . . . , z

) 7−→ (z

, . . . , z

, e

, . . . , e

) Pour α

et β

dans

exp

(β

, . . . , β

, log α

, . . . , log α

) ∈ G(Q)

Th´ eor` eme de Baker. Si

β

+ β

log α

+ · · · + β

log α

= 0 avec β

et α

alg´ ebriques, alors

1. β

= 0

2. Si (β

, . . . , β

) 6= (0, . . . , 0), alors log α

, . . . , log α

sont lin´ eairement d´ ependants sur

3. Si (log α

, . . . , log α

) 6= (0, . . . , 0), alors β

, . . . , β

sont

lin´ eairement d´ ependants sur

Exemple: (3 − 2 √

2) log 2 + √

2 log 4 − log 8 = 0.

Corollaires.

1. Hermite-Lindemann (n = 1): transcendance de

e, π, log 2, e

√2

.

2. Gel’fond-Schneider (n = 2): transcendance de

2

√2

, log 2/ log 3, e

.

(cf. expos´e de Noriko Hirata Kohno le 21 mai)

Th´ eor` eme fort des six exponentielles. Si x

, x

sont deux nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

y

, y

, y

sont trois nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

β

sont six nombres alg´ ebriques tels que

e

∈

pour i = 1, 2, j = 1, 2, 3, alors x

y

= β

pour i = 1, 2, j = 1, 2, 3.

Corollaire 1 (Th´ eor` eme des six exponentielles). Un au moins des six nombres

e

i = 1, 2, j = 1, 2, 3

est transcendant.

Corollaire 2 (Th´ eor` eme des cinq exponentielles). Si x

, x

sont deux nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

y

, y

sont deux nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

et si γ est un nombre alg´ ebrique non nul, alors un au moins des cinq nombres

e

, e

, e

, e

, e

est transcendant.

D´ emonstration. Poser y

= γ/x

de sorte que

x

y

= γ et x

y

= γx

/x

.

Enonc´ ´ e plus g´ en´ eral (D. Roy). Si x

, x

sont deux nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

et si y

, y

, y

sont trois nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

au moins des six nombres

x

y

(i = 1, 2, j = 1, 2, 3) n’est pas de la forme

β

+

`

X

h=1

β

log α

.

Valeurs de polynˆ omes exponentiels

D´ emonstration du Th´ eor` eme de Baker. On suppose

β

+ β

log α

+ · · · + β

log α

= log α

M´ ethode (B

) (Gel’fond–Baker)

Fonctions: z

, e

, . . . , e

, e

Points:

log α

, . . . , log α

) ∈

D´ eriv´ ees: ∂/∂z

, (0 ≤ i ≤ n − 1).

Autre d´ emonstration du Th´ eor` eme de Baker. On suppose encore

β

+ β

log α

+ · · · + β

log α

= log α

M´ ethode (B

) (G´ en´ eralisation de la m´ ethode de Schneider) Fonctions: z

, z

, . . . , z

,

e

α

· · · α

= exp{z

+ z

log α

+ · · · + z

log α

}

Points: {0} ×

+

, , . . . , β

) ∈

D´ eriv´ ee: ∂/∂z

.

D´ emonstration du Th´ eor` eme fort des six exponentielles

On suppose que x

, . . . , x

sont des nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

y

, . . . , y

sont des nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur

β

sont des nombres alg´ ebriques tels que

e

∈

pour i = 1, . . . , a, , j = 1, . . . , b avec ab > a + b.

Fonctions: z

, e

(1 ≤ i ≤ a)

Points: (β

, . . . , β

, y

− β

) ∈

(1 ≤ j ≤ b)

D´ eriv´ ees: ∂/∂z

(2 ≤ i ≤ a) et ∂/∂z

− ∂/∂z

.

Th´ eor` eme du sous-groupe lin´ eaire

G =

×

d = d

+ d

W ⊂ T

(G) sous-C-espace vectoriel rationnel sur

dimension `

.

Y ⊂ T

(G) sous groupe de type fini, tel que Γ = exp(Y ) soit contenu dans G(Q) =

× (Q

)

. Soit `

le rang de Γ.

V ⊂ T

(G) sous-C- espace vectoriel contenant W et Y . Soit n la dimension de V .

Hypoth` ese:

n(`

+ d

) < `

d

+ `

d

+ `

d

d

d

`

`

n

Baker B

1 n n 1 n

Baker B

n 1 1 n n

Six exponentielles a a a b a + 1 Baker:

n(`

+ d

) = n

+ n

`

d

+ `

d

+ `

d

= n

+ n + 1 Six exponentielles: a + b < ab

n(`

+ d

) = a

+ ab + a + b

`

d

+ `

d

+ `

d

= a

+ 2ab

Dualit´ e de Fourier-Borel:

(d

, d

, `

, `

) ←→ (`

, `

, d

, d

)

d dz

^s

z

e

z=y

=

d dz

^t

z

e

z=x

.

L

: f 7−→

d dz

^s

f (y ).

f

(z ) = e

, L

(f

) = ζ

e

. L

(z

f

) =

d dζ

^t

L

(f

).

Pour v = (v

, . . . , v

) ∈

, on pose D

= v

∂

∂z

+ · · · + v

∂

∂z

· Soient w

, . . . , w

0

, u

, . . . , u

0

, x et y dans

, t ∈

et s ∈

. Pour z ∈

, ´ ecrivons

(uz )

= (u

z )

· · · (u

0

z )

et D

= D

1

· · · D

0

. Alors

D

(uz )

e

z=y

= D

(wz )

e

z=x

Alg` ebres de Hopf

Alg` ebres

Une k-alg` ebre A est un k -module muni d’une multiplication m : A ⊗ A → A et d’une unit´ e η : k −→ A qui sont k -lin´ eaires et telles que les diagrammes suivants commutent

(Associativit´ e)

A ⊗ A ⊗ A

−−→ A ⊗ A

Id⊗m

↓ ↓

A ⊗ A − →

m

A

k ⊗ A

−−→ A ⊗ A

←−− A ⊗ k

↓ ↓

↓

A = A = A

Cog` ebres

Une k -cog` ebre A est un k -module muni d’une comultiplication

∆ : A → A ⊗ A et d’une counit´ e : A −→ k qui sont k -lin´ eaires telles que les diagrammes suivants commutent

(Coassociativit´ e)

A − →

A ⊗ A

∆

↓ ↓

A ⊗ A −−→

Id⊗∆

A ⊗ A ⊗ A

A = A = A

↓ ↓

↓

k ⊗ A ←−−

⊗Id

A ⊗ A −−→

Id⊗

A ⊗ k

Big` ebres

Une big` ebre est une k-alg` ebre (A, m, η) avec une structure de cog` ebre (A, ∆, ) qui est compatible: ∆ et sont des morphismes d’alg` ebres

∆(xy ) = ∆(x)∆(y), (xy ) = (x)(y).

Alg` ebres de Hopf

Une alg` ebre de Hopf est une big` ebre munie d’une antipode S : A → A qui est k -lin´ eaire et telle que le diagramme suivant commute:

A ⊗ A ←

− A − →

A ⊗ A

Id⊗S

↓

↓ ↓

A ⊗ A − →

m

A ← −

m

A ⊗ A

Dans une alg` ebre de Hopf les ´ el´ ements primitifs

∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x forment une alg` ebre de Lie pour le crochet

[x, y] = xy − yx et les ´ el´ ements group-like

∆(x) = x ⊗ x

forment un groupe.

Exemples

H =

], ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, (x) = 0, S (x) = −x.

H =

], ∆(x) = x ⊗ x, (x) = 1, S (x) = x

.

La cat´ egorie des groupes alg´ ebriques lin´ eaires commutatifs est anti-´ equivalente ` a celle des alg` ebres de Hopf de type fini, commutatives et co-commutatives

H =

×

].

Autres exemples

Si W est un

Sym(W ) est une alg` ebre de Hopf de type fini commutative et co-commutative.

Si Γ est un

ebre

du groupe Γ est aussi une alg` ebre de Hopf de type fini commutative et co-commutative.

Enfin Sym(W ) ⊗

est encore une alg` ebre de Hopf de type fini

commutative et co-commutative.

Interpr´ etation de la dualit´ e en termes d’Alg` ebres de Hopf

d’apr` es St´ ephane Fischler

Soit H une alg` ebre de Hopf sur

de type fini et ab´ elienne (commutative et cocommutative).

Soit W le

e des ´ el´ ements primitifs et Γ le groupe des ´ el´ ements group-like.

On note

d

= dim

W, d

= rang

Γ.

Soit H

une autre alg` ebre de Hopf sur

de type fini et ab´ elienne, W

ses ´ el´ ements primitifs et Γ

ses ´ el´ ements group-like. On note

`

= dim

W

, `

= rang

Γ

. Soit

h·i : H × H

−→

un produit bilin´ eaire telle que

hx, yy

i = h∆x, y ⊗ y

i et hxx

, yi = hx ⊗ x

, ∆yi.

La dualit´ e revient ` a permuter H et H

.

Alg` ebre des nombres multizˆ eta

Soit X = {x

, x

} un alphabet ` a deux lettres et

=

i l’alg` ebre libre sur X (polynˆ omes non commutatifs en x

et x

,

X

).

On code les suites s = (s

, . . . , s

) ∈

avec s

≥ 2, s

≥ 1 (2 ≤ i ≤ k ) par les mots

y

= x

x

· · · x

x

de x

X

x

. Pour y

∈ x

X

x

, on pose

ζ ˆ (y

) = ζ (s) =

n₁>···>n_k≥1

n

· · · n

.

On prolonge ζ ˆ en une application

eaire

→

Une structure naturelle d’alg` ebre de Hopf non commutative sur

est donn´ ee par le coproduit

∆P = P (x

⊗ 1 + 1 ⊗ x

, x

⊗ 1 + 1 ⊗ x

)

la co-unit´ e (x) = 0 et l’antipode (Sf )(x) = f (x

) pour x ∈ X .

Crit` ere de Friedrichs. Les ´ el´ ements primitifs de

constituent

l’alg` ebre de Lie libre Lie(X ) sur X .

En notant

P =

u∈X^∗

(P |u)u on a

∆P =

u,v∈X^∗

(P |u

v )u ⊗ v.

Donc

P ∈ Lie(X ) ⇐⇒ (P |u

v) = 0 pour tout u, v dans X

\ {e}.

Dual de la concat´ enation: Φ :

→

⊗

d´ efini par hΦ(w)|u ⊗ vi = hw|uvi.

S´ eries formelles non commutatives.

Alg` ebre de Hopf de factorisation :

( ˆ

,

, , Φ, e, S ) Alg` ebre de Hopf de d´ ecomposition:

( ˆ

, ·, , ∆, e, S )

Alg` ebre Harmonique M. Hoffmann On code les suites s = (s

, . . . , s

) ∈

par les mots

y

= y

· · · y

∈ x

X

x

= Y

sur l’alphabet Y = {y

, y

, . . .} avec y

= x

x

. Alg` ebre de Hopf de quasi-m´ elange sur

i:

∆(y

) = y

⊗ 1 + 1 ⊗ y

, (P ) = (P |1),

S(y

· · · y

) = (−1)

y

· · · y

.