L’alg`ebre des polytopes et le g-th´eor`eme
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Texte intégral
(2) 1. Un peu d’histoire. 2. g-théorème. 3. Équidécomposabilité. 4. Algèbre des polytopes. 5. Applications : équidécomposition, volume mixte, g-théorème. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 2 / 38.
(3) Un peu d’histoire. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 3 / 38.
(4) Équidécomposition 1807-1835 Wallace-Bolyai-Gerwien. −→. Matthieu PIQUEREZ. −→. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 4 / 38.
(5) Équidécomposition 1807-1835 Wallace-Bolyai-Gerwien 1900 3ème problème de Hilbert. −→. Matthieu PIQUEREZ. ?. − − →. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 4 / 38.
(6) Équidécomposition 1807-1835 Wallace-Bolyai-Gerwien 1900 3ème problème de Hilbert 1901 Invariant de Dehn, contre-exemple de Dehn. α ` X e∈tétraèdre. Matthieu PIQUEREZ. `(e) ⊗ α(e) 6=. X. `(e) ⊗ α(e). e∈cube. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 4 / 38.
(7) Équidécomposition 1807-1835 Wallace-Bolyai-Gerwien 1900 3ème problème de Hilbert 1901 Invariant de Dehn, contre-exemple de Dehn 1965 Sydler : suffisance de l’invariant de Dehn. α ` X e∈tétraèdre. Matthieu PIQUEREZ. `(e) ⊗ α(e) 6=. X. `(e) ⊗ α(e). e∈cube. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 4 / 38.
(8) Équidécomposition 1807-1835 Wallace-Bolyai-Gerwien 1900 3ème problème de Hilbert 1901 Invariant de Dehn, contre-exemple de Dehn 1965 Sydler : suffisance de l’invariant de Dehn 1989 (Peter) McMullen : algèbre des polytopes. +. =. ×. Matthieu PIQUEREZ. +. = •. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 4 / 38.
(9) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(10) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux 1905/1927 Équations de Dehn-Sommerville. f -vecteur : (6, 12, 8, 1). Pour les polytopes simpliciaux : caractéristique d’Euler, d’autres relations linéaires Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(11) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux 1905/1927 Équations de Dehn-Sommerville 1970 g-conjecture de McMullen. f -vecteur : (6, 12, 8, 1). Pour les polytopes simpliciaux : caractéristique d’Euler, d’autres relations linéaires, une série d’inégalités Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(12) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux 1905/1927 Équations de Dehn-Sommerville 1970 g-conjecture de McMullen 1980 Preuve de l’existence par Billera et Lee. f -vecteur : (6, 12, 8, 1). Pour les polytopes simpliciaux : caractéristique d’Euler, d’autres relations linéaires, une série d’inégalités Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(13) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux 1905/1927 Équations de Dehn-Sommerville 1970 g-conjecture de McMullen 1980 Preuve de l’existence par Billera et Lee 1980 Preuve de la nécessité par Stanley ↔ cohomologie d’une variété. f -vecteur : (6, 12, 8, 1). Pour les polytopes simpliciaux : caractéristique d’Euler, d’autres relations linéaires, une série d’inégalités Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(14) Classification du nombre de faces des polytopes simpliciaux 1905/1927 Équations de Dehn-Sommerville 1970 g-conjecture de McMullen 1980 Preuve de l’existence par Billera et Lee 1980 Preuve de la nécessité par Stanley ↔ cohomologie d’une variété 1993 Preuve combinatoire de la nécessité par McMullen avec l’algèbre des polytopes. f -vecteur : (6, 12, 8, 1). Pour les polytopes simpliciaux : caractéristique d’Euler, d’autres relations linéaires, une série d’inégalités Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 5 / 38.
(15) Histoire récente 2002 extension par Karu aux polytopes (éventails) non simples (mais plus relié au f -vecteur). Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 6 / 38.
(16) Histoire récente 2002 extension par Karu aux polytopes (éventails) non simples (mais plus relié au f -vecteur) 2012 Panina présente l’algèbre des polytopes à Lyon. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 6 / 38.
(17) Histoire récente 2002 extension par Karu aux polytopes (éventails) non simples (mais plus relié au f -vecteur) 2012 Panina présente l’algèbre des polytopes à Lyon 2015 Adiprasito, Huh et Katz prouvent un résultat analogue pour certains éventails non complets résolvant ainsi plusieurs conjectures combinatoires (polynôme chromatique). Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 6 / 38.
(18) Histoire récente 2002 extension par Karu aux polytopes (éventails) non simples (mais plus relié au f -vecteur) 2012 Panina présente l’algèbre des polytopes à Lyon 2015 Adiprasito, Huh et Katz prouvent un résultat analogue pour certains éventails non complets résolvant ainsi plusieurs conjectures combinatoires (polynôme chromatique) 2018 Adiprasito démontre le g-théorème pour les sphères simpliciales. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 6 / 38.
(19) Histoire récente 2002 extension par Karu aux polytopes (éventails) non simples (mais plus relié au f -vecteur) 2012 Panina présente l’algèbre des polytopes à Lyon 2015 Adiprasito, Huh et Katz prouvent un résultat analogue pour certains éventails non complets résolvant ainsi plusieurs conjectures combinatoires (polynôme chromatique) 2018 Adiprasito démontre le g-théorème pour les sphères simpliciales (2019) Amini-P. : le résultat d’Adiprasito, Huh et Katz est lié à la cohomologie d’une variété tropicale. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 6 / 38.
(20) g-théorème. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 7 / 38.
(21) f -vecteurs et h-vecteurs P polytope (convexe) de dimension d, fi nombre de faces de dimension i, F (x ) =. P. H(x ) =. P. i fi x i. i,. hi x i := F (x − 1). P. Matthieu PIQUEREZ. F (x ). H(x ). 4 + 6x + 4x 2 + x 3. 1 + x + x2 + x3. 8 + 12x + 6x 2 + x 3. 1 + 3x + 3x 2 + x 3. 10 + 15x + 7x 2 + x 3. 1 + 4x + 4x 2 + x 3. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 8 / 38.
(22) g-théorème. Théorème (g-théorème) Un vecteur entier (h0 , . . . , hd ) est le h-vecteur d’un polytope simple si et seulement si (positif) hi > 0, (symétrique, Dehn-Sommerville) hi = hd−i , (caractéristique d’Euler) h0 = 1, (unimodal) h0 6 h1 6 · · · 6 hbd/2c , une autre série d’inégalités.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 9 / 38.
(23) Un peu de théorie de Hodge. Soit X est une variété complexe projective lisse de dimension complexe d. H0. H1. H2. ···. Dualité de Poincaré :. Stanley :. Matthieu PIQUEREZ. H 2d−1. H 2d. H k ' H 2d−k. hi = dim(H 2i (PΣP )). L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 10 / 38.
(24) Théorème de Lefschetz H i est une algèbre graduée. Il existe ` ∈ H 2 tel que ∼ Hk − → H 2d−k . ·`d−k. ··· H0. H2. Matthieu PIQUEREZ. H4. H 2d−2. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. H 2d. 4 mars 2021. 11 / 38.
(25) Théorème de Lefschetz H i est une algèbre graduée. Il existe ` ∈ H 2 tel que ∼ Hk − → H 2d−k . ·`d−k. ··· H0. H2. H4. H 2d−2. H 2d. h0 6 h1 6 · · · 6 hbd/2c = hdd/2e > · · · > hd−1 > hd .. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 11 / 38.
(26) Théorème de Lefschetz H i est une algèbre graduée. Il existe ` ∈ H 2 tel que ∼ Hk − → H 2d−k . ·`d−k. ··· H0. H2. H4. H 2d−2. H 2d. h0 6 h1 6 · · · 6 hbd/2c = hdd/2e > · · · > hd−1 > hd . L’algèbre est engendrée par H 2 → toutes les autres inégalités.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 11 / 38.
(27) Équidécomposabilité. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 12 / 38.
(28) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(29) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(30) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(31) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(32) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(33) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(34) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(35) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(36) Congruence ciseaux. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 13 / 38.
(37) Théorème (Wallace-Bolyai-Gerwien) Deux polygones (pas forcément convexes) sont équidécomposables si et seulement s’ils ont la même aire.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 14 / 38.
(38) Théorème (Wallace-Bolyai-Gerwien) Deux polygones (pas forcément convexes) sont équidécomposables si et seulement s’ils ont la même aire.. Question (Troisième problème de Hilbert) Deux polytopes de dimension 3 de même volume sont-ils équidécomposable ?. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 14 / 38.
(39) Invariant de Dehn. α `. . ` ⊗ α ∈ R ⊗ R/πZ Z. Dehn(P) =. X. `(e) ⊗ α(e).. e arête de P. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 15 / 38.
(40) Exemples Exemple Pour un cube de côté 1: 12 × 1 ⊗ (π/2) = 6 × 1 ⊗ π = 0.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 16 / 38.
(41) Exemples Exemple Pour un cube de côté 1: 12 × 1 ⊗ (π/2) = 6 × 1 ⊗ π = 0.. Exemple Pour un tétraèdre de volume 1. q √ q √ 3 3 6× 6 2 ⊗ arccos(1/3) = 6 6 2 ⊗ arccos(1/3).. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 16 / 38.
(42) Exemples Exemple Pour un cube de côté 1: 12 × 1 ⊗ (π/2) = 6 × 1 ⊗ π = 0.. Exemple Pour un tétraèdre de volume 1. q √ q √ 3 3 6× 6 2 ⊗ arccos(1/3) = 6 6 2 ⊗ arccos(1/3). ` ⊗ α = (`/q) ⊗ (qα) pour tout q ∈ Z∗ . Donc ` ⊗ α = 0 si et seulement si α/π est rationnel.. Proposition arccos(1/3)/π n’est pas rationnel. En particulier, Dehn(Cube) 6= Dehn(Tétraèdre). Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 16 / 38.
(43) Invariance. `. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 17 / 38.
(44) Invariance. `1. `2. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 17 / 38.
(45) Algèbre des polytopes. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 18 / 38.
(46) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(47) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation,. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(48) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(49) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(50) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(51) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(52) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(53) Définition Soit P l’ensemble de tous les polytopes convexes non vides de Rd . L’algèbre des polytopes Π sur Rd est le groupe engendré par [P] pour tout P ∈ P quotienté par (T) [P + t] = [P] où t est un vecteur de translation, (V) Si P, Q ∈ P et P ∪ Q ∈ P, alors [P ∪ Q] + [P ∩ Q] = [P] + [Q].. [∅] = 0 Une fonction P → G qui induit un morphisme de groupe Π → G est appelée une valuation.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 19 / 38.
(54) Notations. =. Matthieu PIQUEREZ. −. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 20 / 38.
(55) Notations. −. =. =. Matthieu PIQUEREZ. −. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. − 1. 4 mars 2021. 20 / 38.
(56) Exemples. +. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 21 / 38.
(57) Exemples. +. Matthieu PIQUEREZ. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 21 / 38.
(58) Exemples. +. =. =. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. +. 4 mars 2021. 21 / 38.
(59) Exemples. +. =. =. =. Matthieu PIQUEREZ. +. +. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. −. 4 mars 2021. 21 / 38.
(60) Exemples. +. =. =. Matthieu PIQUEREZ. +. =. +. =. +. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. −. 4 mars 2021. 21 / 38.
(61) Exemples. =. Matthieu PIQUEREZ. ?. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 22 / 38.
(62) Exemples. =. −. Matthieu PIQUEREZ. ?. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 22 / 38.
(63) Exemples. =. −. Matthieu PIQUEREZ. +. ?. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 22 / 38.
(64) Exemples. =. −. Matthieu PIQUEREZ. +. ?. +. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. =. 2. 4 mars 2021. 22 / 38.
(65) Exemples. =. −. Matthieu PIQUEREZ. +. +. ?. −. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. =. 4 mars 2021. 22 / 38.
(66) Exemples. =. −. +. +. ?. −. =. Proposition Ces notations définissent bien un unique objet dans l’algèbre des polytopes.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 22 / 38.
(67) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(68) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(69) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. •. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(70) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. •. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(71) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. •. •. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(72) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. •. •. Matthieu PIQUEREZ. •. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(73) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(74) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}.. ×. Matthieu PIQUEREZ. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(75) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}. On étend la multiplication par linéarité sur Π.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(76) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}. On étend la multiplication par linéarité sur Π. 1. Matthieu PIQUEREZ. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(77) Multiplication Définition Soient P, Q ∈ P. Alors [P] · [Q] = [P + Q] où P + Q est la somme de Minkowski : P + Q = {p + q | p ∈ P, q ∈ Q}. On étend la multiplication par linéarité sur Π. 1. =. Exercice Montrer que la multiplication est bien définie.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 23 / 38.
(78) Exemples et contre-exemples ×. Matthieu PIQUEREZ. 6=. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(79) Exemples et contre-exemples ×. ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= . −. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 1. 2. 4 mars 2021. 24 / 38.
(80) Exemples et contre-exemples × ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= 2. −. 2 ·. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. +. 1. 4 mars 2021. 24 / 38.
(81) Exemples et contre-exemples × ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= −. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 2 ·. +. 4 mars 2021. 1. 24 / 38.
(82) Exemples et contre-exemples × ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= −. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. +. 1. 4 mars 2021. 24 / 38.
(83) Exemples et contre-exemples ×. ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= -1. +. 1. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(84) Exemples et contre-exemples × ×. Matthieu PIQUEREZ. =. 6= 0. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(85) Exemples et contre-exemples Exercice ×. Matthieu PIQUEREZ. = 1. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(86) Exemples et contre-exemples Exercice ×. ×. = 1. =. Le petit rhombicuboctaèdre a été créé par le logiciel Stella de Robert Webb : http://www.software3d.com/Stella.php.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(87) Exemples et contre-exemples Exercice ×. ×. = 1. =. Rhombi2 ≈ Cube2 + Octa2 + Cube1 × Octa1 Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 24 / 38.
(88) Opérateur de dilatation. Définition Si λ ∈ R, on définit ∆(λ)[P] = [λP], où λP est l’homothétie de P par le facteur λ.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 25 / 38.
(89) Opérateur de dilatation. Définition Si λ ∈ R, on définit ∆(λ)[P] = [λP], où λP est l’homothétie de P par le facteur λ.. Proposition ∆(λ) est un morphisme d’algèbre pour tout λ ∈ R. ∆(λ)([P] · [Q]) = (∆(λ)[P]) · (∆(λ)[Q]). Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 25 / 38.
(90) Opérateur de dilatation. Définition Si λ ∈ R, on définit ∆(λ)[P] = [λP], où λP est l’homothétie de P par le facteur λ.. Proposition ∆(λ) est un morphisme d’algèbre pour tout λ ∈ R.. Exemple Si n ∈ N, ∆(n)[P] = [P]n .. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 25 / 38.
(91) Exemples. ∆(2). Matthieu PIQUEREZ. =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 26 / 38.
(92) Exemples. ∆(2). =. =4. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 26 / 38.
(93) Exemples. ∆(2). =. = 22. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 26 / 38.
(94) Exemples. ∆(2). =. = 22. ∈ Ξ2. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 26 / 38.
(95) Exemples. =. ∆(2). = 22. ∈ Ξ2. ∀λ > 0,. Matthieu PIQUEREZ. λ ·. √ . := ∆. λ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 26 / 38.
(96) Structure d’algèbre Définition L’espace de poids r de Π est par définition n. Ξr := x ∈ Π | ∀ n ∈ N∗ ,. Matthieu PIQUEREZ. o. ∆(n)x = nr x .. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 27 / 38.
(97) Structure d’algèbre Définition L’espace de poids r de Π est par définition n. Ξr := x ∈ Π | ∀ n ∈ N∗ ,. o. ∆(n)x = nr x .. Théorème L’algèbre des polytopes est (presque) une R-algèbre graduée : Π=. Ld. r =0 Ξr ,. Ξ0 = Z · 1 et Ξr est un R-espace vectoriel pour r > 1, Ξi · Ξj = Ξi+j , compatibilité, etc.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 27 / 38.
(98) Structure d’algèbre Définition L’espace de poids r de Π est par définition n. Ξr := x ∈ Π | ∀ n ∈ N∗ ,. o. ∆(n)x = nr x .. Théorème L’algèbre des polytopes est (presque) une R-algèbre graduée : Π=. Ld. r =0 Ξr ,. Ξ0 = Z · 1 et Ξr est un R-espace vectoriel pour r > 1, Ξi · Ξj = Ξi+j , compatibilité, etc.. [P]0 = 1,. [P]d = Vold (P) · [cube semi-ouvert],. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. [P]k = 0 pour k > d.. 4 mars 2021. 27 / 38.
(99) Esquisse de preuve Pour tout P ∈ P, il suffit de décomposer [P] en [P]0 + · · · + [P]d avec [P]k ∈ Ξk .. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 28 / 38.
(100) Esquisse de preuve Pour tout P ∈ P, il suffit de décomposer [P] en [P]0 + · · · + [P]d avec [P]k ∈ Ξk .. Lemme ([P] − 1)n = 0 pour tout n > d.. Lemme Pour tout n ∈ N∗ , n1 ([P] − 1) est bien défini : il existe un unique élément Q tel que nQ = P.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 28 / 38.
(101) Esquisse de preuve Pour tout P ∈ P, il suffit de décomposer [P] en [P]0 + · · · + [P]d avec [P]k ∈ Ξk .. Lemme ([P] − 1)n = 0 pour tout n > d.. Lemme Pour tout n ∈ N∗ , n1 ([P] − 1) est bien défini : il existe un unique élément Q tel que nQ = P. Donc les séries entières à coefficients dans Q peuvent être appliqués formellement à [P] − 1.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 28 / 38.
(102) Esquisse de preuve suite Posons 1 1 p = log([P]) = log(1+([P]−1)) = ([P]−1)− ([P]−1)2 + ([P]−1)3 −· · · 2 3 Pour tout n ∈ N∗ , on a ∆(n)p = ∆(n) log(1 + ([P] − 1)) = log(1 + ∆(n)([P] − 1)) = log(1 + (∆(n)[P] − 1)) = log(1 + ([P]n − 1)) = log([P]n ) ∆(n)p = n log([P]) Donc p ∈ Ξ1 . De plus comme ([P] − 1) divise log([P]), on obtient que p d+1 = 0. Donc exp(p) a un sens et 1 1 1 [P] = exp(log([P])) = exp(p) = 1 + p + p 2 + p 3 + · · · + p d . 2 3! d! 1 k Donc on peut poser [P]k = k! p . Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 29 / 38.
(103) Exemples. Exercice Montrer que log. . Matthieu PIQUEREZ. . =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 30 / 38.
(104) Exemples. Exercice Montrer que log. . Matthieu PIQUEREZ. . =. −. −1. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 30 / 38.
(105) Exemples. Exercice Montrer que log. . . =. . . + log. −. −1. Exercice Montrer que log. Matthieu PIQUEREZ. . . =. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 30 / 38.
(106) Esquisse de preuve (lemmes en dimension 2). ∆(3). =. =. =3·. Matthieu PIQUEREZ. +3·. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 31 / 38.
(107) Esquisse de preuve (lemmes! en dimension ! 2) ∆(n). Matthieu PIQUEREZ. =. n · 1. +. n · 2. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 31 / 38.
(108) Esquisse de preuve (lemmes! en dimension ! 2) ∆(n). =. n · 1. +. n · 2. Par triangulation, on obtient !. !. n n ∆(n)[P] = 1 + y1 + y2 1 2. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 31 / 38.
(109) Esquisse de preuve (lemmes! en dimension ! 2) ∆(n). =. n · 1. +. n · 2. Par triangulation, on obtient !. !. n n ∆(n)[P] = 1 + y1 + y2 1 2 En outre, n. n. ∆(n)[P] = [P] = (1 + ([P] − 1)) =. n X k=0. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. !. n ([P] − 1)k k. 4 mars 2021. 31 / 38.
(110) Esquisse de preuve (lemmes! en dimension ! 2) ∆(n). =. n · 1. +. n · 2. Par triangulation, on obtient !. !. n n ∆(n)[P] = 1 + y1 + y2 1 2 En outre, n. n. ∆(n)[P] = [P] = (1 + ([P] − 1)) =. n X k=0. M :=. i j. i,j. !. n ([P] − 1)k k. est une matrice triangulaire donc inversible. . . . . . ∆(0)[P] 1 1 ∆(1)[P] y [P] − 1 1 ∆(2)[P] = M · y2 = M · ([P] − 1)2 ∆(3)[P] 0 ([P] − 1)3 .. .. .. . . . Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 31 / 38.
(111) Applications : équidécomposition, volume mixte, g-théorème. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 32 / 38.
(112) Équidécomposition : une famille d’invariants Soient u un vecteur de Rn et P ∈ P. On définit Pu = {x ∈ P | hx , ui maximal} Soit U = (u1 , . . . , uk ) une famille orthogonale. PU = P(u1 ,...,uk−1 ) u k. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 33 / 38.
(113) Équidécomposition : une famille d’invariants Soient u un vecteur de Rn et P ∈ P. On définit Pu = {x ∈ P | hx , ui maximal} Soit U = (u1 , . . . , uk ) une famille orthogonale. PU = P(u1 ,...,uk−1 ) u k. Définition ( Frame functionals ) Si U est une famille orthogonal, on définit fU := Vold−card(U) (PU ). Théorème (Séparation) Les fonctions fU forment un système complet d’invariants pour Π. Pour U de taille k, fU est nul sur Ξr pour r 6= d − k.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 33 / 38.
(114) Équidécomposition : le groupe des cônes Soit Σ = Σk , avec Σk le groupe engendré par les cônes (polyédraux convexes) de dimension au plus k modulo (V) et modulo les cônes de dimension au plus k − 1. On a une application Π → Σ ⊗ R X P 7→ Voldim(F ) (F ) ⊗ conedual(F ). L. F face de P. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 34 / 38.
(115) Équidécomposition : le groupe des cônes Soit Σ = Σk , avec Σk le groupe engendré par les cônes (polyédraux convexes) de dimension au plus k modulo (V) et modulo les cônes de dimension au plus k − 1. On a une application Π → Σ ⊗ R X P 7→ Voldim(F ) (F ) ⊗ conedual(F ). L. F face de P. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 34 / 38.
(116) Équidécomposition : le groupe des cônes Soit Σ = Σk , avec Σk le groupe engendré par les cônes (polyédraux convexes) de dimension au plus k modulo (V) et modulo les cônes de dimension au plus k − 1. On a une application Π → Σ ⊗ R X P 7→ Voldim(F ) (F ) ⊗ conedual(F ). L. F face de P. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 34 / 38.
(117) Équidécomposition : le groupe des cônes Soit Σ = Σk , avec Σk le groupe engendré par les cônes (polyédraux convexes) de dimension au plus k modulo (V) et modulo les cônes de dimension au plus k − 1. On a une application Π → Σ ⊗ R X P 7→ Voldim(F ) (F ) ⊗ conedual(F ). L. F face de P. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 34 / 38.
(118) Équidécomposition : autres cas e = Π/(P = 0 | dim(P) < d) et Soient Π e Σ = Σ/(C = 0 | C contient une droite).. Théorème e →Σ e ⊗ R. Le morphisme Π → Σ ⊗ R induit un morphisme injectif Π. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 35 / 38.
(119) Équidécomposition : autres cas e = Π/(P = 0 | dim(P) < d) et Soient Π e Σ = Σ/(C = 0 | C contient une droite).. Théorème e →Σ e ⊗ R. Le morphisme Π → Σ ⊗ R induit un morphisme injectif Π b = Π/(isométries) e Soient Π (on retrouve la congruence ciseaux) et b e Σ = Σ/(isométries).. Théorème b →Σ b ⊗ R. Le morphisme Π → Σ ⊗ R induit un morphisme Π. Cas d = 2 ↔ volume. Cas d = 3 ↔ invariant de Dehn + volume.. Conjecture Ce morphisme est injectif.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 35 / 38.
(120) Volume mixte Théorème (Volume mixte) Soient P1 , . . . , Pn ∈ P et λ1 , . . . , λn ∈ R+ . Alors Vold (λ1 P1 + · · · + λn Pn ) est un polynôme homogène de degré d en les λ1 , . . . , λn : Vold (λ1 P1 + · · · + λn Pn ) =. n X. Vol(Pi1 , . . . , Pid )λi1 · · · λid .. i1 ,...,id =1. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 36 / 38.
(121) Volume mixte Théorème (Volume mixte) Soient P1 , . . . , Pn ∈ P et λ1 , . . . , λn ∈ R+ . Alors Vold (λ1 P1 + · · · + λn Pn ) est un polynôme homogène de degré d en les λ1 , . . . , λn : Vold (λ1 P1 + · · · + λn Pn ) =. n X. Vol(Pi1 , . . . , Pid )λi1 · · · λid .. i1 ,...,id =1. Démonstration. On a [λ1 P1 + · · · + λn Pn ]d = ∆(λ1 )[P1 ]) · · · (∆(λn )[Pn ] . = (1 + λ1 [P1 ]1 + · · · +. λd1 [P1 ]d ) · · · (1 λk11. d. + λn [Pn ]1 + · · · + λdn [Pn ]d ). d. · · · λkdd. Le coefficient correspondant à est simplement le volume de [P1 ]k1 · · · [Pn ]kn ∈ Ξd Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 36 / 38.
(122) g-théorème Soit P un polytope simple. On peut décrire P par `1 , . . . , `n ∈ (Rn )? et a1 , . . . , an ∈ R. P = {x ∈ Rd | `1 (x ) 6 a1 , . . . , `n (x ) 6 an } En faisant varier légèrement a1 , . . . , an on obtient un voisinage V ⊂ P de P. On pose Ξk (P) l’espace engendré par les [Q]k pour Q ∈ V .. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 37 / 38.
(123) g-théorème Soit P un polytope simple. On peut décrire P par `1 , . . . , `n ∈ (Rn )? et a1 , . . . , an ∈ R. P = {x ∈ Rd | `1 (x ) 6 a1 , . . . , `n (x ) 6 an } En faisant varier légèrement a1 , . . . , an on obtient un voisinage V ⊂ P de P. On pose Ξk (P) l’espace engendré par les [Q]k pour Q ∈ V .. Théorème On a dim(Ξk (P)) = hk et p = log(P) donnent un isomorphisme ∼ Ξk (P) − → Ξd−k (P) ·p d−2k. En particulier, le h-vecteur est positif, symétrique et unimodal.. Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 37 / 38.
(124) Exercices et références Des exercices et leurs corrections sont disponibles sur : https://plmbox.math.cnrs.fr/d/768a53d43a7f4f33ad77/ Le TD1 est sur le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien et les invariants de Dehn. Le TD2 (moins lié la présentation) est sur la classification des polyèdres réguliers et semi-réguliers. Le. e où l’on ne se souvient pas des polytopes de dimensions inférieures. Le TD sur TD3 est sur Π l’algèbre des polytopes propose quelques calculs avec l’algèbre des polytopes, ainsi que des pistes de démonstration pour certaines propriétés évoquées ci-dessus.. Les deux principaux articles sur l’algèbre des polytopes et son lien avec le g-théorème : McMullen, Peter, The polytope algebra, Advances in Mathematics Volume 78, Issue 1 (1989) : 76-130. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870889900297 McMullen, Peter, On simple polytopes, Inventiones mathematicae 113.2 (1993) : 419-444. http://eudml.org/doc/144133 Matthieu PIQUEREZ. L’algèbre des polytopes et le g-théorème. 4 mars 2021. 38 / 38.
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