Prolongement “analytique” de polytopes.

Prolongement “analytique” de polytopes.

Mich `ele Vergne

Travail commun avec Nicole Berline

6 d ´ecembre 2012

Famille de Polytopes

Soit V un espace vectoriel r ´eel de dimension n et soit µ = [µ

, µ

, . . . , µ

]

une liste de formes lin ´eaires sur V , telle que le c ˆone engendr ´e par les µ

soit ´egal `a V

.

Soit b = [b

, b

, . . . , b

] ∈ R

une liste de N nombres r ´eels.

On consid `ere le polytope d ´efini par les N in ´equations lin ´eaires :

p(b) := {x ∈ V ; hµ

, x i ≤ b

}.

On fixe une valeur initiale b

. On suppose que la valeur initiale

b

est g ´en ´erique, c’est `a dire `a chaque sommet de p

= p(b

),

exactement n de ces in ´equations deviennent des ´egalit ´es.

Valeur b = [0, 0, 3, 2] g ´en ´erique `a gauche pour les in ´egalit ´es

−x

≤ b

, −x

≤ b

, x

+ x

≤ b

, x

− x

≤ b

.

Le probl `eme

Lorsqu’on varie b dans l’ouvert τ

⊂ R

autour de b

, o `u b reste g ´en ´erique, il est intuitivement clair que p(b) garde la m ˆeme forme, et que certaines quantit ´es d ´ependant du

param `etre b ∈ R

vont varier de mani `ere analytique lorsque b varie dans τ

.

Par exemple, le volume de p(b) est donn ´e par une fonction polynomiale E (b) lorsque b varie dans τ

.

Quelle est la signification de la valeur de ce polyn ˆome en b,

lorsque b est loin de b

? ?

Dans l’exemple pr ´ec ´edent vol(p(b)) = 1

4 (b

+b

+b

)

+ 1

2 (b

+b

+ b

)(b

+b

−b

) − 1

4 (b

+b

−b

)

tant que b

− b

− b

> 0 et 2b

+ b

+ b

> 0.

Quelle est la signification de la valeur de ce polyn ˆome en b,

lorsque b est loin de b

? ?

de plus, les polyn ˆomes d’Ehrhart

Si V est muni d’un r ´eseau Λ , et si les µ

sont rationnels, on veut aussi ´etudier la fonction nombre de points entiers dans p(b)

E

(b) = cardinal (p(b) ∩ Λ)

lorsque b varie. Le th ´eor `eme (Ehrhart, Dahmen-Micchelli,· · · )

(dont nous allons voir la raison plus tard) est que cette fonction

b → E

(b) est donn ´ee sur τ

∩ Z

par un quasi-polyn ˆome,

c’est- `a-dire une fonction polynomiale de b `a coefficients dans

les fonctions p ´eriodiques sur Z

/q Z

, pour un q convenable.

Dans l’exemple pr ´ec ´edent E

(b)) = 1

4 (b

+b

+b

)

+ 1

2 (b

+b

+ b

)(b

+b

−b

) − 1

4 (b

+b

−b

)

+(b

+ b

+ b

) + 1

2 (b

+ b

− b

) + 7 8 + 1

8 ∗ (−1)

tant que b

− b

− b

> 0 et 2b

+ b

+ b

> 0.

Quelle est la signification g ´eom ´etrique de E

(b), lorsque b est

loin de b

? ?

Plus g ´en ´eralement on veut int ´egrer une fonction analytique h, sur p(b) (ou sommer ...) prolonger cette fonction

b → R

p(b)

h(x )dx pour tout param `etre b ∈ R

(ou b ∈ Z

) et

comprendre la signification g ´eom ´etrique du prolongement.

Prolongement “analytique” de Varchenko

Varchenko a montr ´e qu’il existait pour tout param `etre b ∈ R

une fonction A(b) : V → Z , combinaison lin ´eaire `a coefficients dans Z de fonctions caract ´eristiques de polytopes semi-ouverts tel que POUR TOUT param `etre b ∈ R

E (b) = Z

V

A(b)(x)dx.

(Donc si A(b) = P

c

[P

] avec des c

∈ Z alors E(b) = P

c

vol(P

)).

ET E

(b) dans le contexte des polyn ˆomes d’Ehrhart E

(b) = X

x∈Λ

A(b)(x )

Naturellement A(b) d ´epend du polytope initial, et on appelle

A(b) la continuation “analytique” de (la fonction caract ´eristique

de [p(b)] (b ∈ τ

) avec valeur initiale [p

].

Prolongement “analytique” d’un intervalle

F

: ROUGE = −1.

A(b) = [0, b] si b ≥ 0,

A(b) = −]b, 0[ si b < 0.

F

: ROUGE = −1.

Par exemple si b ≥ 0, et dans Z , on a

E (b) = b, E

(b) = b + 1

Ces deux formules sont aussi vraies pour b < 0 si on calcule sur A(b). (pas de points entiers dans l’intervalle ouvert si b = −1).

ICI on voit qu’il faut prendre l’intervalle ouvert.

Variation de p(b)

Lorsque b varie, le type combinatoire de p(b) varie.

Apr `es, lorsque la ligne verticale se d ´eplace vers la gauche,

l’in ´egalit ´e correspondante devient redondante. Le polytope p(b)

reste constant et ´egal au triangle bleu, et il apparait des ”faux

sommets.”

Prolongement du t ´etragone

Sommets

D ´efinition Soit B l’ensemble des sous ensembles B ⊆ {1, . . . , N}, tels que (µ

, j ∈ B) est une base de V

. Un ensemble B ∈ B d ´etermine une application

b 7→ s

(b) : R

→ V : hµ

, s

(b)i = b

pour j ∈ B.

Le point s

(b) ∈ V est le point o `u les in ´egalit ´es deviennent des

´egalit ´es. Mais s

(b) est un vrai ou faux sommet de p(b).

Soit B

l’ensemble des sous ensembles B correspondant aux vrais sommets de p

. Il faut donc que hµ

, s

(b

)i < b

pour tous les k ∈ / B.

On voit que si b est dans l’ouvert τ

o `u toutes ces in ´egalit ´es (pour B ∈ B

, et k ∈ / B) sont strictement n ´egatives, les sommets de p(b) sont les s

(b), pour B ∈ B

.

ILS VARIENT LINEAIREMENT AVEC b (pour b ∈ τ

).

Egalit ´e de Brianchon Gram

Pour tout polytope p ⊂ V , on a l’ ´egalit ´e de fonctions sur V : [p] = X

faces

(−1)

[T

(p)].

La somme est sur toutes les faces de p et T

(p) est le c ˆone

tangent au polytope p pour une face.

Brianchon Gram, `a partir des sous ensembles de [1, 2, . . . , N].

Appliquons cette formule `a p(b) pour b ∈ τ

(voisinage ouvert de b

).

Soit F

l’ensemble des sous ensembles G de [1, 2, . . . , N] pour lesquels il existe B ∈ B

avec G ⊂ B. Ces sous ensembles indexent les faces de p(b).

Notons Cone(G, b) = {x , hµ

, x i ≤ b

, j ∈ G}.

Brianchon-Gram s’ ´ecrit simplement : pour b ∈ τ

: [p(b)] = X

G∈F⁰

(−1)

[Cone(G, b)].

ABC

χ

= χ

+ χ

+ χ

− χ

− χ

− χ

+ 1

,

A

C

B

F

: Le triangle ∆ = ABC

Cones tangents aux sommets

ΓA A

C

B ΓB

A

C

B

ΓC A

C

B

MOINS cones tangents aux ar ˆetes

ΓAC A

C B

ΓBC A C B

ΓAB A

C B

plus ESPACE ENTIER

ΓABC A

C B

On obtient ABC.

Prolongement “analytique”

Donc pour b ∈ τ

,

[p(b)] = X

G∈F⁰

(−1)

[Cone(G, b)].

D ´efinition ´evidente(Berline-Vergne)

Pour tout b ∈ R

, on d ´efinit la fonction A(b) par A(b) = X

G∈F⁰

(−1)

[Cone(G, b)].

En particulier, on bouge les sommets lin ´eairement en fonction de b, et on d ´eplace leurs c ˆones tangents avec eux.

(Ce n’est pas la d ´efinition de Varchenko qui d ´epend du choix

d’une forme lin ´eaire g ´en ´erique non canonique, et n’utilise que

des c ˆones saillants).

Prolongement “analytique” d’un intervalle, retour

b > 0 BRIANCHON-GRAM

[0, b] = [−∞, b] + [0, ∞] − [R]

On d ´efinit donc

A(b) = [−∞, b] + [0, ∞] − [ R ]

Pour b = 0, c’est un point (continuit ´e de Brianchon-Gram.)

Pour b < 0, A(b) = −]b, 0[

Pour b ∈ τ

(voisinage de b

), d’apr `es Brianchon-Gram, A(b) = [p(b)].

En effet tous les b ∈ τ

a pour ensemble de sommets s

(b), B ∈ B

.

Th ´eor `eme. POUR TOUT b ∈ R

, A(b) est une combinaison

lin ´eaire ( `a coefficients dans Z ) de fonctions caract ´eristiques de

polytopes de diff ´erentes dimensions et v ´erifie les propri ´et ´es

voulues de ”continuation analytique”.

Prolongement “analytique”, bis

Il n’est pas ´evident que A(b) soit ´egale `a une combinaison lin ´eaire de fonctions caract ´eristiques d’ensembles born ´es, car nous l’avons ´ecrite comme somme de fonctions

caract ´eristiques de c ˆones.

Mais, ceci d ´emontr ´e, l’analycit ´e de E(b) est ´evidente. En effet,

le volume d’un polytope E(b) ou l’int ´egrale d’un polyn ˆome sur

p(b) , ou d’une exponentielle, se calcule `a partir des c ˆones

tangents aux sommets, c’est `a dire les cones associ ´es `a

B ∈ B

. De m ˆeme pour les sommes sur les points entiers, si le

polytope est rationnel. (Formule de Brion)

Formule de Brion pour ∆ = ABC

L’int ´egrale R

∆

e

dx

dx

est ´egale `a : e

hy , A − Bihy , A − Ci |AB ∧ AC|

+ e

hy , B − Aihy , B − Ci |BA∧BC|+ e

hy , C − Aihy , C − Bi |CA∧CB|

o `u hA, y i = a

y

+ a

y

, (a

, a

) ´etant les coordonn ´ees de

A, (y

, y

) celles de y.

On est ramen ´e `a ´etudier la fonction b → s

(b) + c o `u c est un cone fixe, et des int ´egrales (des sommes) d’exponentielles dessus. Tout se Calcule “Explicitement”.

Ceci d ´emontre que

E(b) = Z

V

A(b)(x )dx

est un polyn ˆome en b ∈ R

et similairement E

(b) = X

x∈Λ

A(b)(x )

est un quasi polyn ˆome en b ∈ Z

.

Prolongement du t ´etragone

Formule pour A(b) comme somme de polytopes

Il faut comprendre o `u le polytope p(b) change

dramatiquement.. . Donc il faut regarder o `u l’arrangement d’hyperplans hµ

, x i = b

ne sera plus g ´en ´erique : plus de n hyperplans se coupent.

Introduisons les circuits de longueur n + 1 pour les µ

: C = {C ⊂ [1, 2, . . . , N]}

tels que Cardinal C = n + 1, et tels que les µ

, i ∈ C engendrent V

. On a donc une unique relation lin ´eaire (a proportionalit ´e pr `es).

X

i∈C

c

µ

= 0.

D ´efinissons W (C) = P

i∈C

c

b

: W (C) est une forme lin ´eaire

sur R

. On note H

l’hyperplan W (C) = 0.

(Petites) Chambres

Soit H la collection d’hyperplans H

de R

.

Si b ∈ H

, alors les n + 1-hyperplans hµ

, x i = b

, i ∈ C se coupent.

On note τ une composante connexe de R

\ H.

Si b varie dans une composante connexe τ de R

\ H, le polytope p(b) ne va pas changer de forme.

On appellera τ une (petite) chambre. (On peut ˆetre plus pr ´ecis

et d ´efinir des plus grandes chambres o `u le polytope p(b) ne

change pas de forme..).

Murs pour τ ₀

Soit τ

la composante connexe de R

\ H `a laquelle appartient b

qui d ´efinit notre polytope initial p

. Alors τ

est limit ´ee par des hyperplans de la famille H. Voici lesquels :

Soit B ∈ B

et k ∈ / B. Alors C = B ∪ k est un circuit de longueur n + 1. On a une ´equation

X

i∈C

c

µ

= 0.

Soit

w

= { X

c

b

= 0}

l’ ´equation correspondante. On normalise cette equation w

de telle sorte que w

(b

) > 0.

Alors H = H

est un mur pour la composante connexe τ

et

tous les murs de τ

sont obtenus ainsi en variant B ∈ B

et

k ∈ / B

.

Continuit ´e de Brianchon Gram

Th ´eor `eme Si b ∈ τ

, A(b) = [p(b)]

Ce n’est pas ´evident car A(b) est d ´efini `a partir des faces de p

.

Formules de saut lorsque b franchit un mur

EXAMPLE :

Un petit polytope montre son nez

bleu = 1, jaune := −1, rouge := −1, vert := −1, noir := −1,

kaki = −1, magenta := −2.

La formule de saut

Soient τ

,τ

deux composantes connexes de R

\ H, s ´epar ´ees par H = P

c

b

= 0.

On regarde Flip = {j, c

> 0} un sous ensemble de [1, 2, . . . , N].

On introduit le polytope semi-ouvert

p(Flip, b) =

( hµ

, x i > b

if j ∈ Flip hµ

, x i ≤ b

if i ∈ / Flip . C’est celui qui arrive..

Th ´eor `eme (Berline-Vergne)

Si b appartient `a la chambre adjacente τ

,

A(b) = [p(b)] − (−1)

[p(Flip; b)].

Cette formule est une version ensembliste des r ´esultats de Paradan (Jump formulae in Hamiltonian geometry ;

arXiv :math/0411306.)

Cons ´equences

Soit h une fonction polyn ˆomiale sur V . Il existe une fonction polynomiale E (h, τ

)(b) sur R

telle que

Z

p(b)

h(x )dx = E(h, τ

)(b)

lorsque b ∈ τ

.

Soit E (h, τ

)(b) le polynome sur R

qui vaut R

p(b)

h(x )dx lorsque b ∈ τ

.

Alors si b ∈ τ

,

E(h, τ

)(b) − E (h, τ

)(b) = (−1)

Z

p(Flip,b)

h(x)dx

Formule de saut de Paradan, et calcul par r ´esidus par

Boysal-Vergne.

Encore plus amusant

On suppose V avec reseau Λ, et on suppose µ

∈ Λ

de sorte que µ

(λ) ∈ Z si λ ∈ Λ.

Il existe un quasi-polyn ˆome E

(h, τ

)(b) sur Z

telle que X

x∈p(b)∩Λ

h(x ) = E

(h, τ

)(b)

si b ∈ τ

.

ALORS si b ∈ τ

∩ Z

, on a :

E

(h, τ

)(b) − E

(h, τ

)(b) = (−1)

X

x∈p(Flip,b)

h(x).

DE PLUS, IL EST IMMEDIAT DE VOIR : Si b satisfait l’ ´equation

X

i

c

b

> − X

i∈Flip

c

alors p(Flip, b), n’a aucun point entier si b ∈ Z

.

On obtient donc des relations de divisibilit ´e.

EXEMPLE : Consid ´erons

p(b) = {−x

≤ b

, X

x

≤ b

} d ´efinit par n + 1 in ´egalit ´es. Si τ

= { P

i=1

b

> 0}, p(b) est un simplexe. Si τ

= { P

i=1

b

< 0}, p(b) est vide.

Le polyn ˆome E

(b) qui calcule le nombre de points dans p(b) pour P

i=1

b

> 0 calcule encore le nombre de points de p(b) pour P

i=1

b

= 0, −1, −2, . . . , −n.

Evidemment, on sait le calculer directement car

E

(b) = 1

n! (b

+ b

+ · · · + b

+ 1) · · · (b

+b

+ · · · + b

+n).

Vari ´et ´es toriques

On consid `ere V muni d’un r ´eseau Λ. Soit T le tore dont le groupe des charact `eres est Λ.

Soit p

⊂ V `a sommets dans Λ et soit b ∈ τ

∩ Λ.

Alors on peut construire une vari ´et ´e torique M munie de l’action

du tore T et un fibr ´e en lignes T - ´equivariant L

sur M telle que

l’espace des sections holomorphes H

(M, L

) = ⊕

C s

avec s

une section holomorphe de poids λ lorsque b varie

dans τ

. Autrement dit, les points entiers de p(b) indexent une

base de H

(M, L

).

Si b ∈ Z

, mais n’est plus dans τ

le fibr ´e L

n’est plus ample.

Si on regarde le module altern ´e X

i

(−1)

H

(M, L

) = X

m(b)(λ)e

,

alors d’apr `es le th ´eor `eme de Riemann-Roch m(b)(λ) = A(b)(λ).

On a donc donn ´e une signification g ´eom ´etrique au support de ce module P

i

(−1)

H

(M, L

).

Il serait int ´eressant de comprendre le support de chaque terme,

mais...