PROLONGEMENT DE FONCTIONS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� PROLONGEMENT DE FONCTIONS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

Définition d’un prolongement d’une fonction définie surAµE.

I. Prolongement par continuité

[Gou��, §�.�, p��]

On considère des espaces métriques.

I. A. Prolongement ponctuel

Continuité d’une fonction continue en un point d’accumulationaimpliquelimxæaf(x) = f(a). On peut donc prolonger par continuité la fonction si elle n’est pas définie enalorsque limxæaf(x) =¸œF.

Exemples desinc, contre-exemple desin(1/x)ou d’une fonction indicatrice.

I. B. Prolongement par densité

Deux fonctions continues égales sur une partie dense sont égales, exemple d’une équation fonctionnellef(x+y) =f(x) +f(y)æfest linéaire

Prolongement par densité d’applications uniformément continues, application à la définition d’une intégrale de fonctions continues à partir des fonctions en escaliers

Prolongement d’applications linéaires continues définies sur un sous-espace dense.

Application : prolongement de la transformée deF��définie surS(R^d)dense dansL²(R^d).

II. Prolongement di�érentiel

II. A. Prolongement C

^k

et applications

[Gou��, §�.�, p��–��] [Rou��, Ch�, p��–��]

Prolongement d’une fonction continue de classeC¹surI\ {a}telle quef^Õ _x≠æ_æ_a ¸œR. Alors festC¹surI(etf^Õ(a) =¸).

Exemple de fonctionC^ŒsurR, nulle surR^≠.

Fonctions plateaux, existence de fonctionC^Œadmettant des limites à gauche fixées des déri- vées à toute ordre.

II. B. Prolongement des solutions d’EDO

[Ber��, Ch�/�]

Équation di�érentielle, solution, prolongement d’une solution, solution globale implique maximale, mais pas la réciproque, exemple dex^Õ=x².

Prolongement d’une solution en une solution maximale Théorème deC��-L��

Théorème des bouts Exemple deL��-V��

Sifest bornée : le théorème des bouts implique que la solution maximale est globale!

Lemme deG��, application au théorème des bouts dans le cas d’un problème linéaire avecA, Bfonctions continues

III. Prolongement de fonctions de la variable complexe

III. A. Prolongement de séries entières

[Gou��, §�.�, p��–��] [BMP��, §�.�/�.�, p��–��]

Soitq

nØ0anzⁿune série entière de rayon de convergenceR.

D��. [�� ]

On définit le rayon de convergence de la série entière par le réel R = sup({rØ0|(|anrⁿ|)nœNest bornée}).

E��. La série entièreq

nØ0zⁿ

n! a un rayon de convergence infini.

P��. [�� ’A��]

• Si|z|< R, la sérieq

nØ0anzⁿconverge absolument,

• La série entièreq

nØ0anzⁿconvergence normalement surD^r(0)pour toutr < R. En particulier, la série entière est continue surDR(O),

E�� �. On n’a pas forcément continuité sur D^R(0)! Considérer par exemple qnØ0(≠1)ⁿzⁿ=_1≠¹_zsurD1(0), prolongeable en1par1/2mais dont la série en1diverge.

E��. [�� CR(0)]

• q

nØ0zⁿdiverge en tout point deC1(0),

• q

nØ0zⁿ/nconverge en tout point deC1(0)sauf en1,

• q

nØ0zⁿ/n²converge en tout point deC1(0).

T��. [�� ’A��]

Soitf : z ‘≠æ q

nØ0anzⁿ de rayon de convergence1. On suppose queq

nØ0an

converge. Alors pour tout–œ[0,ﬁ/2[, on a

zæ1,zlimœ –

f(z) =ÿ

nØ0

an où –={1≠fleî◊œD(0,1)|fl>0,◊œ[≠–,–]}

T��. [�� ]

Soitf : z ‘≠æ q

nØ0anzⁿde rayon de convergence1. On suppose quean =o(1/n)et qu’il existeSœCtel quef(x)≠æxæ1^≠ S. Alorsq

nØ0anconverge etq

nØ0an=S.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

III. B. Prolongement des fonctions holomorphes

[Tau��, §Ch�/�, p��/��] [BMP��, §�.�, p��]

Prolongement analytique, exemple de l’identitécos²+ sin² = 1étendue àCtout entier, du prolongement holomorphe de l’exponentielle

Application : base hilbertienne des polynômes orthogonaux Principe du maximum, cas d’égalité, lemme deS��

Types de singularité : dans le cas d’une fausse singularité prolongement par continuité holomorphe! Exemple desincen0.

Pole (simple)

P��. est holomorphe sur{Ÿ(z)>0}.

A��. admet un unique prolongement méromorphe surC, holomorphe sur C\≠N.

A��. ’xœR^ú+, (x) = lim

næ+Œ

n!n^x

x(x+ 1). . .(x+n) [�� G��]

��

Graphe desinc, d’une fonction plateau, des solutions dey^Õ=y², d’une solution maximale ...

��

L’objectif de cette leçon est de parvenir à prolonger des fonctions définies sur di�érents espaces. Par exemple la fonction sinus cardinal nous donne l’idée simple du prolongement par continuité en0.

On comprend rapidement qu’il y a plusieurs manières de prolonger une fonction, on s’intéresse notamment aux propriétés de régularité, et à quelles conditions cela est possible. D’abord on regarde le prolongement par continuité, en utilisant une notion de densité.

Dans le cadre des équations di�érentielles, la notion de durée de vie des solutions amène au théorème deC��-L��et au théorème des bouts. En analyse complexe, le prolongement analytique corollaire du théorème des zéros isolés permet d’assurer l’unicité.

��

Il faut savoir démontrer le théorème d’holomorphie sous le signe intégral, connaître le théo- rème deH��-B��: si ce n’est pas dans le plan, on peut avoir des questions dessus.

��

Q Soit–œ]≠1,1[etui = (–ⁱⁿ)nœNpouriœ N. Montrer que pour toutiœN,ui œ¸²(N)et que la famille(ui)iœNest une famille totale de¸²(N).

R On a|(ui)n|²=--–²ⁱ--ⁿest convergente puisque|–|<1. Montrons que la famille est totale.

Soitv œ Vect((ui)i)^‹. Regardons la série entièref : z ‘≠æ q

nœNv(n)zⁿ. Son rayon de convergence est au moins1, par critère deC��-S��. De plusfs’annule en les–ⁱ, donc est nulle par le théorème des zéros isolés. Doncv= 0.

Q Déterminer les morphismes d’algèbre continues de(C⁰([0,1],R),Î.Î_Œ)dans(R,|.|).

R Regarder l’image des polynômes puis utiliser le théorème deW��. On obtient les morphismes d’évaluation.

Q Existe-t-ilf œH(D(0,1))(ouf œH(C\ {≠i, i})) telle quef_|]≠1,1[ = arctan?

R Considérer par exemplef :z‘≠æq

nØ0z²ⁿ⁺¹ 2n+1.

��

[Ber��] F.B��:Équations di�érentielles. Cassini,��.

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Rou��] F.R��:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,��.

[Tau��] P.T��:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,��.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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