Fonctions caract´ eristiques

Universit´e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ee universitaire 2013-2014 MA 0804 - Master 1

Fonctions caract´ eristiques

TD4

Exercice 1

Les fonctions suivantes d´efinies surR, sont–elles des fonctions caract´eristiques ? Dans l’affirmative, pr´eciser la loi de probabilit´e associ´ee.

1) ϕ(t) = 1 2) ϕ(t) = 2

3) ϕ(t) =e^iat 4) ϕ(t) = cos(at)

5) ϕ(t) = sin(at) 6)

ϕ(t) = 0 sit6= 0 ϕ(0) = 1

Le cas ´ech´eant,aest un r´eel quelconque.

Exercice 2

1. Soit X une variable al´eatoire r´eelle, admettant une densit´ef. Montrer quef paire ´equivaut au fait que la fonction caract´eristique de X est r´eelle.

2. Montrer que si une fonction caract´eristique ϕest r´eelle, alorsϕest paire.

3. Soit X une variable al´eatoire r´eelle telle queE(|X|)<+∞, et dont la fonction caract´eristique est `a valeurs r´eelles. Montrer queE(X) = 0.

Exercice 3

Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dansN^∗ v´erifiant la propri´et´e :

P[X =n+ 1] = 1

3P[X =n]

Quelle est la fonction caract´eristique de X ? Exercice 4

Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes distribu´ees suivant les lois binomialesb(n,¹₂) et b(n,¹₃) respectivement.

La sommeX+Y est–elle distribu´ee suivant une loi binomiale ? Justifier votre r´eponse de deux mani`eres diff´erentes.

Exercice 5

1. Montrer que la fonction ϕd´efinie par :

ϕ(t) = exp(−2|t|) cos(2t) est la fonction caract´eristique d’une variable al´eatoire r´eelle X.

Indication: Consid´erer deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes X₁ et X₂, telles queX₁ suive une loi de Cauchy etP[X2= 1] =P[X2=−1] = ¹₂.

2. En d´eduire la fonction de r´epartition de X, puis donner une forme explicite de la densit´e de X.

3. Quelle est la valeur de l’int´egrale R+∞

−∞ e^−itxe^−2|t|cos(2t)dt?

Exercice 6

Calculer les momentsE(Xⁿ) d’une variable al´eatoire X suivant une loi normaleN(0,1) : 1. par un calcul direct et une r´ecurrence ;

2. en utilisant les d´eriv´ees successives de la fonction caract´eristique.

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Exercice 7

Soit X une variable al´eatoire de loi uniforme sur l’intervalle ]0,1[, et Y = X −m o`u m = E(X) d´esigne la moyenne de X.

1. Calculer la fonction caract´eristiqueϕ_Y de la variable al´eatoire Y.

2. Calculer directement les moyennes E(Y) et E(Y²).

3. Plus g´en´eralement, en utilisant les d´eriv´ees successives deϕY, calculer les moments d’ordrekde Y :E(Y^k), appel´es aussi moments centr´es d’ordrek de X, et ceci pour toutkentier positif ou nul.

Exercice 8

Soit X une variable al´eatoire suivant la loi uniformeU(]−1,0[). On poseY = sup (X,−X−1).

1. Calculer la fonction caract´eristique de Y, puis pr´eciser la loi de cette variable al´eatoire.

2. Montrer sans utiliser le 1. queP[−¹₂ ≤Y ≤0] = 1.

3. Chercher la densit´e de Y directement, c’est–`a–dire sans utiliser le 1.

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