MM049 2011-2012 Universit´e Paris 6
Equations diff´ ´ erentielles : examen 2` eme session
Mercredi 13 juin 2012
Exercice 1.—(3 points) On consid`ere l’applicationR→R2, M :t7→e−t
cos(t) −sin(t) sin(t) cos(t)
1. ExprimerM(t+s) `a l’aide deM(t) et de M(s).
2. Pour une matrice Aquelconque, que vaut la d´eriv´ee en t= 0 de l’application t7→etA? 3. De quelle ´equation diff´erentielle l’applicationM est-elle le flot ?
Exercice 2.—(4 points) On se place dans le plan R2.
1. Qu’obtient-on en conjuguant l’homoth´etie lin´eaire f2 de rapport 2 par la transformation Φ du plan donn´ee, en coordonn´ees polaires, par
(r, θ)7→(r, θ+ log(r)) ?
(On pourra commencer par exprimerf2 et Φ−1 en coordonn´ees polaires).
2. Montrer que toute homoth´etie dilatante du plan,
(x, y)7→(kx, ky), (k >1)
est topologiquement conjugu´ee `a f2. On donnera une formule pour la conjugaison. (On pourra commencer par r´esoudre le probl`eme en dimension un). En d´eduire que toutes le homoth´eties dilatantes sont topologiquement conjugu´ees.
3. Montrer plus g´en´eralement que toutes les similitudes dilatantes x
y
7→k
cos(θ0) −sin(θ0) sin(θ0) cos(θ0)
x y
, (k >1, θ0∈R)
sont topologiquement conjugu´ees (comme avant, on donnera une formule, ou au moins on expli- quera pr´ecis´ement comment en trouver une).
4. A quelles conditions sur k et k0 les homoth´eties de rapports respectifs k et k0 sont-elles diff´erentiablement conjugu´ees sur R2?
Exercice 3.—(5 points)
1. R´esoudre l’´equation x0 =xn avec la condition initialex(0) = 1, o`unest un entier ≥2.
2. Que pouvait-on direa priori de la r´egularit´e de la solution ? 3. Que vaut l’intervalle de vie de la solution ?
4. Soitx la solution maximale de l’´equation x0 =x2+ cos20(x) avec condition initiale x(0) = 1.
Montrer que x n’est pas d´efinie sur R. (On pourra utiliser le lemme sur les sous-solutions, qui apparaˆıt dans la preuve du lemme de Gronwall).
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Exercice 4.—(8 points) On consid`ere une fonctionr:R→R. Soitzune solution de l’´equation diff´erentielle
z00+r(x)z= 0.
On suppose quez n’est pas la fonction nulle.Chaque fois que n´ecessaire, on pourra supposer la fonction r aussi r´eguli`ere qu’on veut, en pr´ecisant o`u est utilis´ee la r´egularit´e.
1. Montrer que les z´eros de zsont isol´es.
On consid`ere ´egalement une solutionydey00+q(x)y= 0 o`uq est d´efinie surR, et on suppose que pour tout x,q(x)> r(x).
2. Soient x0 < x1 deux z´eros successifs dez. On suppose que pour tout x∈]x0x1[, z(x) ety(x) sont strictement positifs. Trouver une contradiction en ´etudiant les variations de la fonction W =y0z−z0y entre x0 etx1.
3. En d´eduire que si x0 < x1 sont deux z´eros successifs quelconque dez, la fonction y s’annule sur ]x0x1[.
4. On suppose qu’il existe m et M strictement positifs tels que m2 < q(x) < M2 pour tout x∈R. Montrer que deux z´eros successifs x0 etx1 dey v´erifient
π
M <|x1−x0|< π m.
On suppose maintenant que q est une fonction strictement positive, de classe C∞, et on s’int´eresse aux solutions de l’´equation
y00+λq(x)y = 0,
o`u λest un param`etre r´eel. Soityλ la solution v´erifiant yλ(0) = 0, y0λ(0) = 1.
5. Que peut-on dire de l’application (x, λ)7→yλ(x) ?
6. (optionnelle) On notex1λ le premier z´ero strictement positif de yλ. Montrer que l’application λ7→x1λ est continue. On pourra consid´erer yλ(x1λ
0−ε) etyλ(x1λ
0+ε) pour unε >0 assez petit.
7. (optionnelle) Montrer que l’application λ 7→ x1λ est de classe C∞ (on pourra utiliser le th´eor`eme des fonctions implicites).
8. Montrer qu’il existeλ1 >0 tel que x1λ
1 = 1. On pourra utiliser les questions 4 et 6.
9. Expliquer rapidement comment montrer qu’il existe un nombreλntel que leneme z´ero de la fonctionyλn soit ´egal `a 1.
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