DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 ` a coefficients non constants
Dans ce probl`eme, tous les intervalles consid´er´es sont d’int´erieur non vide, etId´esigne un tel intervalle. On demande `a chaque fois les solutions r´eelles des ´equations diff´erentielles consid´er´ees, c’est-`a-dire celles `a valeurs r´eelles.
On ´etudie l’´equation diff´erentielle
(E) : (x2−x)y00+ (x+ 1)y0−y=δ(x), o`uδ est une fonction continue deI dansR.
L’´equation homog`ene associ´ee `a E est
(H) : (x2−x)y00+ (x+ 1)y0−y= 0.
Une fonction f d´efinie surI et `a valeurs r´eelles est dite solution de E si f est deux fois d´erivable surI, et si, pour tout pointxdeI:
(x2−x)f00(x) + (x+ 1)f0(x)−f(x) =δ(x).
On poseI1=R∗−,I2=]0,1[,I3=]1,+∞[,J1=]− ∞,−1[ etJ2=]−1,0[.
Soita, b, c, d, α, β∈R. On rappelle que, pour que le syst`eme lin´eaire
ax+by = α
cx+dy = β
admette un unique couple solution, il suffit quead−bc6= 0, i.e.
a b c d
6= 0.
Remarque : l’introduction du chapitre III ne figure pas dans le cours officiel. Par ailleurs, ne faites r´ef´erence au cours que s’il s’applique bien `a la situation ´etudi´ee !
Remarque : les fautes de syntaxe (comme ´ecrire (f(x))0) seront sanctionn´ees.
Partie A – Pr´ eliminaires
A.1Trouver des r´eelsa, b, ctels que, pour toutx∈R\ {0,1,−1}, on ait : 3x2+ 1
x3−x = a x+ b
x−1+ c x+ 1.
Partie B – R´ esolution de H
Dans cette partie, on cherche `a r´esoudreHsur divers intervalles.
B.1V´erifier quef0 :x7→x+ 1 est solution deHsurR.
B.2Afin de r´esoudre cette ´equation diff´erentielle homog`ene surI∈ {J1, J2, I2, I3}, on introduit une fonction Cdeux fois d´erivable surI, ainsi que
f : I → R
x 7→ C(x)f0(x) =C(x)(x+ 1) .
aDans la d´emonstration de quels r´esultats du cours a-t-on employ´e une telle m´ethode, que l’on pourrait qualifier de variation de la constante ?
bMontrer quef est solution deHsi et seulement siC0 est solution (surI) d’une ´equation diff´erentielle lin´eaireH0 d’ordre 1 que l’on formera.
cR´esoudreH0 surI.
dV´erifier que la solution g´en´erale deHsurI s’´ecritx7→x−1λ +µ(x+ 1), o`uλetµd´ecriventR. B.3R´esoudreHsurI1.
B.4R´esoudreHsurR.
Partie C – Probl` eme de Cauchy pour H
C.1SoitI∈ {I1, I2, I3}, (x0, y0, y00)∈I×R×R. Montrer qu’il existe une unique solutionf deHsurItelle quef(x0) =y0et f0(x0) =y00.
C.2
a Montrer que si on remplaceI parR, le probl`eme pr´ec´edent peut n’admettre aucune solution.
bToujours dans ce cas o`u l’on remplaceI parR, ce probl`eme peut-il admettre plusieurs solutions ?
Partie D – R´ esolution de E
On propose ici une m´ethode de r´esolution deE, dite de variation de la (ou des) constante(s).
D.1On suppose disposer d’une solution particuli`ereφ0 deE surI. Montrer queφest solution surI deE si et seulement siφ−φ0est solution (surI) deH.
D.2R´esoudreE lorsqueδest constante de valeur 1, surI∈ {I1, I2, I3}, puis surR. Dans la suite,I∈ {I1, I2, I3}.
D.3Trouver une fonction f1 telle que la solution g´en´erale de HsurI s’´ecrivex7→C0f0(x) +C1f1(x), o`u C0 et C1 d´ecriventR.
D.4On cherche une solution particuli`ere deEsous la formeg :x7→C0(x)f0(x)+C1(x)f1(x), pour certaines fonctionsC0 etC1, deux fois d´erivables surI, en imposant, pour toutx∈I :
(R1) : C00(x)f0(x) +C10(x)f1(x) = 0.
a Montrer queg est solution deE si et seulement si C00, C10, f00,f10 et δ sont reli´es par une relationR2
que l’on pr´ecisera.
bEn utilisantR1et R2, montrer quegest solution deE si et seulement siC0et C1 sont des primitives surIde fonctions que l’on pr´ecisera (`a l’aide deδ).
D.5On suppose ici queδ(x) =x, pour tout r´eelx.
R´esoudreE surI.
