Ce probl`eme a pour objet de d´emontrer que tout compact deℝ

(1)

(2)

𝑛d´esigne un entier naturel non nul.

Ce problème a pour objet de démontrer que tout compact deℝ^𝑛 d’intérieur non vide est inclus dans un unique ellipso¨ıde de volume minimal.

La partie I est ind´ependante du reste du probl`eme.

Notations et d´eﬁnitions

∘ ℳ𝑛,𝑝(ℝ) : ensemble des matrices à𝑛 lignes et à𝑝colonnes, à coefficients dans ℝ, et on identifieraℳ𝑛,1(ℝ)

` aℝ^𝑛.

∘ ℳ^𝑛(ℝ) : ensemble des matrices carrées à𝑛lignes et𝑛colonnes, à coefficients dansℝ.

∘ 𝐺𝐿𝑛(ℝ) : ensemble des matrices inversibles deℳ𝑛(ℝ).

∘ Si 𝑛et 𝑝 sont deux entiers naturels non nuls, 0𝑛,𝑝 d´esigne la matrice deℳ^𝑛,𝑝(ℝ) dont tous les coeﬃcients sont nuls.

∘ Pour𝑀 = (𝑚𝑖𝑗)¹^{≤𝑖≤𝑛}

1≤𝑗≤𝑛 ∈ ℳ𝑛(ℝ) et𝑘∈ {1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑛}, on note𝑀𝑘 la matrice (𝑚𝑖𝑗)¹^{≤𝑖≤𝑘}

1≤𝑗≤𝑘 ∈ ℳ𝑘(ℝ).

∘ 𝒮𝑛(ℝ) : ensemble des matrices 𝑀∈ℳ𝑛(ℝ) sym´etriques, c’est-`a-dire telles que ^𝑡𝑀 = 𝑀.

∘ On rappelle qu’une matrice𝑀 de𝒮^𝑛(ℝ) est sym´etrique positive lorsque pour tout𝑋∈ ℳ^𝑛,1(ℝ),^𝑡𝑋𝑀 𝑋≥0.

On notera𝒮𝑛⁺(ℝ) l’ensemble de ces matrices.

∘ On rappelle qu’une matrice𝑀de𝒮𝑛(ℝ) est symétrique définie positive lorsque pour tout𝑋∈ℳ𝑛,1(ℝ)∖{0𝑛,1},

𝑡𝑋𝑀 𝑋 >0. On notera𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) l’ensemble de ces matrices.

∘ On dit qu’une partieℰ deℳ𝑛,1(ℝ) (ou deℝ^𝑛) est unellipso¨ıde, s’il existe 𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) telle que ℰ={𝑋∈𝑀𝑛,1(ℝ)/ ^𝑡𝑋𝐴𝑋≤1}

Pour𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ), l’ellipso¨ıde{𝑋 ∈𝑀𝑛,1(ℝ)/ ^𝑡𝑋𝐴𝑋≤1}sera not´eℰ𝐴.

Partie I : cas d’un triangle ´equilat´eral

On se place dans le plan aﬃne euclidien orient´e𝒫.

Cette partie a pour objet de démontrer l’existence et l’unicité d’une ellipse d’aire minimale circonscrite à un triangle équilatéral.

Le terme ellipse désigne une courbe bornée admettant dans un repère une équation du type 𝑎𝑥²+𝑏𝑦²+ 2𝑐𝑥𝑦+𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓 = 0 avec (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓)∈ℝ⁶ tel que (𝑎, 𝑏, 𝑐)∕= (0,0,0).

1. Étant donné un repère orthonormal direct (𝑂;⃗𝚤, ⃗𝚥), on considère les points : 𝐼(1,0), 𝐽

(

−1 2,

√3 2

) et 𝐾

(

−1 2,−

√3 2

) .

(a) Soitℰune ellipse de centre𝑂et d’´equation𝑎𝑥²+𝑏𝑦²+ 2𝑐𝑥𝑦+𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓 = 0 dans le rep`ere (𝑂;⃗𝚤, ⃗𝚥).

Montrer que𝑑=𝑒= 0.

(b) Montrer que le cercle circonscrit `a 𝐼𝐽𝐾 est l’unique ellipse de centre𝑂 contenant les points𝐼,𝐽 et 𝐾.

2. Soit𝐴𝐵𝐶 un triangle ´equilat´eral et𝑅le rayon de son cercle circonscrit. Exprimer l’aire du triangle𝐴𝐵𝐶 en fonction de𝑅.

3. Résoudre le système d’équations

{ cos(𝑦−𝑥) = cos𝑥

cos(𝑦−𝑥) = cos𝑦 d’inconnue (𝑥, 𝑦)∈ℝ² telle que 0< 𝑥 < 𝑦 <2𝜋.

4. Soit𝒞un cercle de rayon 𝑅 >0. On note𝑂 son centre.

(a) Étant donné un repère orthonormal direct (𝑂;⃗𝚤, ⃗𝚥), on considère les points𝐴(𝑅,0),𝐵(𝑅cos𝛽, 𝑅sin𝛽) et𝐶(𝑅cos𝛾, 𝑅sin𝛾), avec (𝛽, 𝛾)∈ℝ²tel que 0≤𝛽 ≤𝛾≤2𝜋.

i. Montrer que l’aire du triangle𝐴𝐵𝐶 est 𝑅²

2 (sin(𝛾−𝛽)−sin𝛾+ sin𝛽). Dans la suite, cette aire sera not´ee𝑓(𝛽, 𝛾).

(3)

ii. Montrer que𝑓 admet un maximum atteint en un point (𝛽0, 𝛾0) tel que 0< 𝛽0< 𝛾0<2𝜋.

iii. D´eterminer𝛽0 et𝛾0. Quelle est alors la nature du triangle obtenu ? (b) D´eterminer l’aire maximale d’un triangle inscrit dans𝒞.

5. D´emontrer que si 𝒞est un cercle d’aire𝒜𝒞 circonscrit `a un triangle𝒯 d’aire𝒜𝒯, alors 𝒜𝒞

𝒜𝒯 ≥ 4𝜋 3√

3 avec

égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.

6. Montrer que parmi les ellipses circonscrites au triangle 𝐼𝐽𝐾 défini dans la question 1, il en existe une et une seule délimitant une surface d’aire minimale. On rappelle que toute ellipse peut-être transformée en un cercle par une affinité orthogonale et qu’une affinité orthogonale conserve les rapports d’aires.

Partie II : ´etude de 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ)

1. Montrer que si 𝐷∈ ℳ𝑛(ℝ) est une matrice diagonale `a coeﬃcients diagonaux strictement positifs, alors 𝐷∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

2. Soit𝐴∈ 𝒮𝑛(ℝ).

(a) Montrer que, si𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ), alors les valeurs propres de𝐴 sont strictement positives.

(b) Enoncer le théorème permettant d’affirmer qu’il existe des matrices 𝐷 diagonale et 𝑃 orthogonale telles que𝐴= ^𝑡𝑃 𝐷𝑃.

(c) Montrer que, si les valeurs propres de𝐴 sont strictement positives, alors𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

3. Soit𝐴∈ ℳ𝑛(ℝ). Montrer que𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) si et seulement si il existe𝑄∈𝐺𝐿𝑛(ℝ) telle que𝐴= ^𝑡𝑄𝑄.

4. Soit𝐴∈ 𝒮𝑛(ℝ). Montrer que si𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ), alors det(𝐴)>0. La r´eciproque est-elle vraie ? 5. Soit𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ). Montrer que, pour tout𝑘∈ {1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑛}, det(𝐴𝑘)>0.

6. Soit𝐴 ∈ 𝒮𝑛+1(ℝ) telle que 𝐴𝑛 ∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ). Montrer qu’il existe𝑄∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), 𝐶∈ ℳ𝑛,1(ℝ),𝛼∈ ℝtels que

𝐴= (_𝑡

𝑄 0𝑛,1

01,𝑛 1

) (𝐼𝑛 𝐶

𝑡𝐶 𝛼

) ( 𝑄 0𝑛,1

𝑂1,𝑛 1 )

7. Etant donné un entier naturel 𝑚non nul,𝛼, 𝛼1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝛼𝑚désignent 𝑚+ 1 nombres réels. On considère la matrice𝑀 deℳ𝑚+1(ℝ) définie par :

𝑀 =

⎛

⎜

⎝

1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 𝛼1

0 . .. ... ... ... ... . .. ... 0 ... 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 1 𝛼𝑚

𝛼1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 𝛼𝑚 𝛼

⎞

⎟

⎠

(a) D´emontrer par r´ecurrence sur𝑚que det(𝑀) =𝛼−

𝑚

∑

𝑖=1

𝛼²_𝑖.

(b) Pour 𝑋 ∈ ℳ𝑚,1(ℝ), expliciter ^𝑡𝑋𝑀 𝑋 en fonction des composantes de 𝑋 et en d´eduire que si det(𝑀)>0 alors 𝑀 ∈ 𝒮𝑚+1⁺⁺ (ℝ).

8. Soit𝐴∈ 𝒮𝑛(ℝ). Montrer que si pour tout𝑘∈ {1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑛}det(𝐴𝑘)>0, alors 𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

On pourra raisonner par r´ecurrence sur𝑛et utiliser les questions 6. et 7.

9. Montrer que𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) est un ouvert de l’ensemble𝒮𝑛(ℝ) muni d’une norme.

Partie III : inclusion d’un compact dans un ellipso¨ıde

III.1 R´eduction simultan´ee

Soit𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) et𝐵∈ 𝒮^𝑛(ℝ).

1. Montrer que l’application Φ𝐴qui `a (𝑋, 𝑌)∈ ℳ^𝑛,1(ℝ)²associe Φ𝐴(𝑋, 𝑌) = ^𝑡𝑋𝐴𝑌 est un produit scalaire surℳ^𝑛,1(ℝ).

(4)

2. Montrer que si les colonnes d’une matrice𝑃 ∈ ℳ𝑛(ℝ) forment une base orthonormale deℳ𝑛,1(ℝ) pour Φ𝐴, alors^𝑡𝑃 𝐴𝑃 =𝐼𝑛.

3. Montrer que l’application𝑓 deℳ𝑛,1(ℝ) dans lui-même qui, à𝑋 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) associe𝑓(𝑋) =𝐴⁻¹𝐵𝑋 est un endomorphisme deℳ𝑛,1(ℝ), symétrique pour Φ𝐴.

Quelle est la matrice de𝑓 dans la base canonique deℳ^𝑛,1(ℝ) ?

4. En d´eduire qu’il existe𝑄∈𝐺𝐿𝑛(ℝ) et𝐷 une matrice diagonale telles que𝐴= ^𝑡𝑄𝑄et𝐵= ^𝑡𝑄𝐷𝑄.

Que repr´esentent les coeﬃcients diagonaux de𝐷? 5. On suppose que𝐵∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

(a) Montrer que siℰ𝐴⊂ ℰ𝐵 les valeurs propres de𝐴⁻¹𝐵 sont inférieures ou égales à 1.

(b) En d´eduire que siℰ𝐴=ℰ𝐵 alors𝐴=𝐵.

III.2 Convexit´e

Soit𝐸 unℝ-espace vectoriel.

Si𝑢1et 𝑢2 sont deux ´el´ements de𝐸, le segment [𝑢1;𝑢2] est l’ensemble des vecteurs de la forme𝑡𝑢1+ (1−𝑡)𝑢2

lorsque𝑡d´ecrit [0; 1].

On rappelle qu’une partie𝒞 de𝐸 est convexe lorsque, pour tout (𝑢1, 𝑢2)∈ 𝒞²,[𝑢1;𝑢2]⊂ 𝒞.

Etant donn´ee une partie´ 𝒞de 𝐸 convexe, une application𝜑:𝒞 →ℝest dite strictement convexe lorsque pour tout (𝑢1, 𝑢2)∈ 𝒞² tel que𝑢1∕=𝑢2et pour tout𝑡∈]0; 1[,𝜑(𝑡𝑢1+ (1−𝑡)𝑢2)< 𝑡𝜑(𝑢1) + (1−𝑡)𝜑(𝑢2).

1. Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe.

2. On suppose de plus𝐸norm´e. On consid`ere une partie𝒞non vide, convexe et compacte de𝐸et𝜑:𝒞 →ℝ une application strictement convexe et continue sur𝒞.

(a) Montrer que𝜑admet un minimum, atteint en un unique point.

(b) Montrer que𝜑admet un maximum. Sans justification, donner un exemple pour lequel ce maximum est atteint en une infinité de points.

III.3 Volume d’un ellipso¨ıde

On admet qu’il existe une constante𝑘𝑛 ne d´ependant que de𝑛 telle que, si𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ), le volume deℰ^𝐴 est 𝑘𝑛

√det(𝐴).

On s’intéresse à la fonction𝜈 définie sur𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) par 𝜈(𝐴) = 1

√det(𝐴). 1. D´eterminer𝑘2et 𝑘3.

2. Montrer (sans consid´eration de volume) que, siℰ^𝐴⊂ ℰ^𝐵, alors𝜈(𝐴)≤𝜈(𝐵).

3. Montrer que𝜈 est continue sur𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

4. (a) Montrer que, pour tout𝜆∈ℝ^+∗ et tout𝑡∈]0; 1[, ln(𝑡+ (1−𝑡)𝜆)≥(1−𝑡) ln(𝜆). Montrer qu’il y a

´egalit´e si et seulement si𝜆= 1.

On pourra, pour𝑡 fixé dans ]0 ; 1[, étudier la fonction 𝜓définie surℝ^+∗ par : 𝜓(𝜆) = ln(𝑡+ (1−𝑡)𝜆)−(1−𝑡) ln𝜆.

(b) Montrer que, pour tout (𝑎, 𝑏)∈ℝ² et tout𝑡∈[0; 1],𝑒^{𝑡𝑎+(1−𝑡)𝑏}≤𝑡𝑒^𝑎+ (1−𝑡)𝑒^𝑏. (c) i. Montrer que𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) est une partie convexe deℳ𝑛(ℝ).

ii. Soient 𝐴et 𝐵 appartenant `a 𝑆⁺⁺_𝑛 (ℝ) et𝑡 ∈ℝ. En reprenant les notations de III.1.4, exprimer det(𝐴), det(𝐵) et det(𝑡𝐴+ (1−𝑡)𝐵) en fonction de det(𝑄) et des coeﬃcients diagonaux de 𝐷.

iii. Montrer que𝜈 est strictement convexe sur𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

5. Soient𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) et𝑀 ∈𝐺𝐿𝑛(ℝ).

On considère l’ensemble 𝑀(ℰ𝐴) ={𝑌∈ ℳ𝑛,1(ℝ)/∃𝑋∈ ℰ𝐴, 𝑌 =𝑀 𝑋}qu’on pourra aussi écrire sous la forme {𝑀 𝑋; 𝑋 ∈ ℰ^𝐴}. Montrer que𝑀(ℰ^𝐴) est un ellipso¨ıde ; déterminer la matrice symétrique définie positive𝐵 telle que 𝑀(ℰ^𝐴) =ℰ^𝐵. Donner une relation entre le volume deℰ^𝐴 et celui de𝑀(ℰ^𝐴).

(5)

III.4 Inclusion dans un ellipso¨ıde

On munitℳ^𝑛,1(ℝ) de la norme euclidienne usuelle etℳ^𝑛(ℝ) de la norme subordonn´ee : si𝑋∈ ℳ^𝑛,1(ℝ),∣∣𝑋∣∣=√_𝑡

𝑋𝑋 et si𝐴∈ ℳ^𝑛(ℝ),∣∣∣𝐴∣∣∣= sup

𝑋∕=0

∣∣𝐴𝑋∣∣

∣∣𝑋∣∣ .

On considère un compact𝐾 de ℳ𝑛,1(ℝ) d’intérieur non vide. Il existe alors𝑋0∈𝐾 et 𝜀un réel strictement positif tels que la boule fermée𝐵(𝑋0, 𝜀) soit incluse dans𝐾.

1. Soit𝐴∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) telle que𝐾⊂ ℰ𝐴.

(a) Montrer queℰ𝐴 est une partie convexe deℳ𝑛,1(ℝ).

On pourra utiliser que𝑋 7→(^𝑡𝑋𝐴𝑋)^1/2 est une norme sur ℳ^𝑛,1(ℝ).

(b) Montrer que si 𝑋 ∈ ℰ^𝐴, alors−𝑋 ∈ ℰ^𝐴.

(c) Montrer que pour tout 𝑋 ∈ 𝐵(0, 𝜀), 𝑋0+𝑋 et −𝑋0+𝑋 appartiennent `a ℰ^𝐴 et en d´eduire que 𝐵(0, 𝜀)⊂ ℰ^𝐴.

(d) Montrer que, si𝜆est une valeur propre de𝐴, alors𝜆≤ 1 𝜀².

On pourra considérer un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre𝜆.

(e) Montrer que∣∣∣𝐴∣∣∣ ≤ 1 𝜀².

2. Montrer qu’il existe un ellipso¨ıdeℰ tel que 𝐾⊂ ℰ.

Dans la suite, on ﬁxe𝐴0∈ 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ) tel que𝐾⊂ ℰ𝐴0 et on consid`ere l’ensemble ℳ={𝐴∈ 𝒮𝑛⁺(ℝ)/ det(𝐴)≥𝑑𝑒𝑡(𝐴0) et∀𝑋∈𝐾, 0≤ ^𝑡𝑋𝐴𝑋≤1} 3. (a) Montrer queℳest inclus dans𝒮𝑛⁺⁺(ℝ).

(b) Montrer que ℳest born´e.

(c) Montrer queℳest une partie ferm´ee de𝒮𝑛(ℝ).

(d) Montrer que ℳest une partie convexe.

On pourra utiliser la convexité de𝜈 sur 𝒮𝑛⁺⁺(ℝ)démontrée en III.3.4.

4. Montrer qu’il existe un unique ellipso¨ıdeℰ de volume minimal contenant𝐾.

5. On consid`ere dansℝ²l’ensemble𝐾={(𝑥, 𝑦)∈ℝ² /𝑥∈[−1; 1] et𝑦= 0}. (a) Quel est l’int´erieur de𝐾?

(b) Existe-t-il une ellipse d’aire minimale contenant 𝐾?