D10117. Probl`eme paternel Construire un triangle

D10117. Probl` eme paternel

Construire un triangleABC connaissant les longueurs (compt´ees jusqu’`a la baseBC) de la hauteur, de la bissectrice et de la m´ediane issues deA.

Solution

Sur la droite D support de BC, prendre le piedH de la hauteur, ´elever la perpendiculaire pour d´eterminerApar la longueur|AH|. D´eterminer le pied J de la bissectrice et celuiM de la m´ediane par les longueurs |AJ|et|AM|.

•J est entreH etM si c’est la bissectrice int´erieure, cela suppose

|AH|<|AJ|<|AM|comme condition de possibilit´e.

•H est entreJ etM si c’est la bissectrice ext´erieure, cela conduit `a 1

|AH|² > 1

|AJ|² + 1

|AM|² comme condition de possibilit´e.

L’intersection de la droite AJ et de la m´ediatrice de BC, perpendiculaire

´elev´ee en M `a D, est le milieu K d’un des arcs BC du cercle circonscrit.

Cette m´ediatrice et celle deAKse coupent au centreO du cercle circonscrit.

Le cercle de centreO et de rayon OA coupe Den B et C.

Selon les longueurs donn´ees et `a des sym´etries pr`es, il y a 0, 1 ou 2 solutions.

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