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D60455. Triangle à circonscrire Construire un triangle connaissant le cercle inscrit et les bissectrices inté- rieures. Solution La bissectrice de l’angle

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Academic year: 2022

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(1)

D60455. Triangle à circonscrire

Construire un triangle connaissant le cercle inscrit et les bissectrices inté- rieures.

Solution

La bissectrice de l’angleA du triangle coupe le cercle inscrit enA1, A2, avec A, A1, I, A2 alignés dans cet ordre ; définition analogue pourB1, B2, C1, C2. Les points de contact D, E, F du cercle inscrit avec les côtésBC,CA,AB sont obtenus par l’égalité des arcs orientés (donc des cordes)A1B2 =C1D, B1C2 =A1E,C1A2=B1F. La perpendiculaire enDàIDest la droite BC coupant les bissectrices enB etC, puis les droites BF etCE se coupent en Aet achèvent la construction du triangle.

Justification.

L’angle (CA, IB) = π−A−B/2 = π/2 +C/2−A/2 ; l’angle (BI, IA) = π−(AI, AC)−(CA, IB) = π/2−C/2 = (ID, IC), d’où A1B2 = C1D.

Preuve analogue pourE etF. Remarque

Pierre Ranvier note que le triangle AIB permet d’obtenir plus directement l’égalité des anglesDIC etBIA2.

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