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D30313. Un triangle dans un cube On inscrit un triangle

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Academic year: 2022

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D30313. Un triangle dans un cube

On inscrit un triangleABC dans un cube d’arête 8 cm de telle sorte que : – le pointA est un sommet du cube ;

– les pointsB etC sont situés à la surface du cube ;

– le centre de gravité du triangle coïncide avec celui du cube.

Quelle est, au maximum, l’aire du triangleABC? Solution

Le milieuM de BC est le milieu de OA0, siO est le centre du cube etA0 le sommet opposé àA.B est symétrique deC par rapport àM, et appartient à la fois à la surface du cube et à la symétrique de cette surface par rapport à M; cela situe B sur un hexagone gauche, formé d’arêtes d’un cube de 4 cm de côté, de grande diagonaleOA0.

Les trianglesAM B etAM C ont même aire, que l’on maximise en prenant B aussi éloigné de AM (ou OA0) que possible : la plus grande distance à cette droite est celle des sommets de l’hexagone, soit 8/√

6. Comme AM = 3AA0/4 = 6√

3, l’aire deABC est alors 24√

2 = 33,94 cm2.

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