Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ?
Les arêtes du cubes sont parallèles quatre par quatre.
Les différences d’altitude entre couples de sommets extrémités d’arêtes sont égales.
Ce n’est possible que pour 1-0=3-2=5-4=7-6 ; 2-0=3-1=6-4=7-5 ; 4-0=5-1=6-2=7-3 Les trois arêtes partant du point du plan horizontal vont donc aux points d’altitude 1, 2, et 4
En choisissant un repère orthonormé tel que deux sommets du cube soient l’origine et le point de coordonnées (0, √(c2-1), 1), le plan orthogonal à cette arête a pour
équation √(c2-1)y+z=0 : les points d’altitudes 2 et 4 ont pour ordonnées respectives y=-2/√(c2-1) et y=-4/√(c2-1),
L’abscisse du premier vérifie x2+4/(c2-1)+4=c2, soit x2=c2(c2-5)/(c2-1) ; celle du second x2+16/(c2-1)+16=c2, soit x2=c2(c2-17)/(c2-1). En écrivant enfin que la diagonale a pour longueur c√2, on obtient
c2(√(c2-5)-√(c2-17))2/(c2-1)+144/(c2-1)+4=c2, soit √(c2-5)(c2-17)=8 : c4-22c2+21=0, donc c2=21 et c=√21=4,58...
