Enoncé D354 (Diophante) Le cube
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si a, b, c sont les distances au plan des 3 sommets adjacents au sommetOde contact avec le plan, les distances des autres sommets sontb+c, c+a, a+b, a+b+c.
Elles sont distinctes seulement sia, b, c sont distincts ; supposons par exemplea < b < c.
Alors a = 1, b = 2, 3 = a+b, c = 4, 5 = c+a, 6 = b+c, 7 =a+b+c.
Les arêtes en O, de longueur d, font avec la verticale des angles de cosinus a/d, b/d, c/d; sur le trièdre que forment ces arêtes, le vecteur unité de la verticale a des projections a/d, b/d, c/d et a pour carré de sa longueur
1 = (a2+b2+c2)/d2 = 21/d2. Le côté du cube est ainsid=√
21 = 4,582575. . .cm.
