Le cube
Problème D354 de Diophante, proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ? Solution
Soient les huit sommets du cube, de côté k, définis par leurs coordonnées : S0 = (0,0,0) ; S1 = (k,0,0) ; S2 = (0,k,0) ; S4 = (0,0,k) ;
S3 = S1 + S2 ; S5 = S1 + S4 ; S6 = S2 + S4 ; S7 = S1 + S6 dans un repère canonique.
Plaçons S0 à la cote 0 et S1 à la cote 1. Nommons X un avatar de S1 et soit le point Y = (S0+S2)/2 milieu du côté S0 S2 que nous plaçons à la cote 1 ; alors S2 est à la cote 2 et S3 est à la cote 3. La cote de S4 dépend de la valeur de k.
Soit le point Z = (3*S0+S4)/4 au quart entre S0 et S4 et choisissons k de telle sorte que Z ait pour cote 1 ; alors S4, S5, S6, S7 sont aux cotes 4, 5, 6, 7 dans l’ordre.
Sur cette vue cavalière, bien choisie, apparaît le plan XYZ vu par la tranche.
Ce plan P a pour équation : x+2*y+4*z = u .
Attention : L’axe des z est dans son plan vertical mais n’est pas perpendiculaire à P.
Pour trouver u, il s’agit de calculer la distance de l’origine S0 au plan P . (*) Calculons K = 1*1 + 2*2 + 4*4 = 21 pour obtenir : u / √K = u / √21 = 1.
D’où le résultat : u = √21 .
(*) Rappel : Soit P le plan d’équation a*x + b*y + c*z = d , la distance d’un point (xM,yM,zM) au plan P est abs(a*xM + b*yM + c*zM - d) / rac (a*a + b*b + c*c)
Compléments
Regardons comment tourner un cube ayant une face dans un plan horizontal pour que ses sommets aient des cotes en progression arithmétiques.
Ci-dessous, convenons d’un repère orthonormé direct (O,u,v,w) qui coïncide initialement avec le repère canonique du cube ; l’axe Ow est vertical, l’axe Ov (horizontal) est perpendiculaire à OX. Ainsi le sommet S1 (donc X) se projette verticalement sur Ou.
L’angle (Ou, Ox) vaut A = arctg(1/√20) (soit 12,604… degrés) et on découvre les coordonnées des sommets, dans le repère (O,u,v,w) :
S0 = [0, 0, 0] S1 = [√20, 0, 1]
S2 = [1/√5, 2*√21/√5, 2] S4 = [2/√5, √21/√5, 4]
Dans le plan commun aux axes Ov, Oy et Oz il apparaît que l’angle (Ov, Oy) vaut B = arctg(1/2) (soit 26,565… degrés).
D’où une manière de procéder :
- tourner le cube initial (posé à plat) d’un angle B autour de Ou ; - basculer le cube initial (ainsi tourné) d’un angle A autour de Ov.
Sur cette photo figurent deux réalisations de la découpe d’un cube en tranches horizontales d’égale épaisseur qui passent par les sommets. A droite, les pièces sont collées entre elles ; à gauche, elles ne le sont pas. Dans les deux cas un support est nécessaire pour s’assurer de l’horizontalité.
Regardons comment obtenir un cube constitué de tranches d’égale épaisseur qui passent par les sommets, à partir d’un lamellé-collé bicolore.
Ci-dessus, voici représenté un parallélépipède rectangle coincé entre les plans : x = - √(1.8) x = √(20) y = - √(4.2) y = √(16.8) z = 0 z = 7
Les sept tranches sont d’épaisseur 1. Des sphères sont centrées aux sommets du cube à découper pour les situer, comme dans les schémas précédents. Seuls les points S1, S4, S5 et S7 apparaissent ici ; les autres sont disposés symétriquement par rapport au centre du tout.
Ci-contre, en plus des points S1, S4, S5, S7 apparaissent S0, S3 et S6.
Dans R4, il est possible de disposer un 4-cube de telle sorte que les cotes des sommets soient en progression arithmétique, en plaçant les sommets S0, S1, S2, S4, S8 (avec S0S1, S0S1, S0S4, S0S8 deux à deux orthogonaux) aux cotes 0, 1, 2, 4, 8.
Cela se généralise naturellement dans Rn.
Dans R4, on peut s’intéresser aux projections parallèlement à des 2-faces sur des 2-faces dans les deux autres dimensions.
Voici une projection des seize sommets d’un hyper-parallèlipipède K sur un quadrillage (dimension 2).
Un sommet par ligne et par colonne.
Je ne peux affirmer que K est un 4-cube (au sens orthonormé du terme) !
Ce que nous avons fait pour le cube vaut pour un parallélépipède quelconque (de six manières différentes, a priori).
