A226 : Jongleries arithmétiques sur un cube et un tétraèdre
P1 : Zig écrit un entier positif sur chaque face d’un cube puis il affecte à chaque sommet du cube, un nombre qui est égal au produit des nombres écrits sur les trois faces passant par ce sommet. La somme des nombres placés sur les sommets est égal à 2010. Trouver la plus petite somme possible des nombres inscrits sur les faces.
Si a,b,c,d,e,f sont les nombres inscrits sur les faces du cube, dans l’ordre de numérotation des faces d’un dé, les nombres placés sur les sommets sont abc, abd, ace, ade, bcf, bdf, cef, def, donc leur somme vaut s=(a+f)(b+e)(c+d). Or 2010=5*6*67 donc pour
(a,b,c,d,e,f)=(2,3,33,34,3,3), s=2010 avec a+b+c+d+e+f=78 minimum.
P2 : Zig inscrit huit entiers naturels sur les sommets d’un cube tels que pour tout couple de sommets adjacents, les entiers correspondants sont distincts. Sur chacune des douze arêtes, il inscrit le plus grand commun diviseur des nombres inscrits aux extrémités. Enfin il calcule respectivement la somme des nombres inscrits aux sommets et la somme des nombres inscrits sur les arêtes. Il trouve le même résultat. Est-ce possible ?
Si p est le pgcd de a et b, il existe c et d tels que a=pc, b=pd, donc a+b=p(c+d), et, si a≠b, c+d≥3, a+b≥3p, l’égalité n’ayant lieu que si a=2b (ou b=2a). Si l’on note S la somme des nombres inscrits sur les sommets et A celle de ceux inscrits sur les arêtes, et que l’on somme les inégalités relatives à chaque arête (chaque sommet apparaissant trois fois), on obtient 3S≥3A, l’égalité n’étant possible que si le nombre inscrit sur chaque sommet est double ou moitié de ceux inscrits sur les sommets adjacents, par exemple 1 sur un sommet, 2 sur les trois sommets adjacents, 4 sur les trois sommets opposés sur les diagonales de faces, et 8 sur le sommet opposé sur la diagonale du cube.
P3 : Zig inscrit quatre nombres réels > 0 aux sommets d’une pyramide puis il affecte à chaque arête le produit des nombres situés aux extrémités de chacune d’elles et enfin pour chaque face il fait la somme des nombres inscrits sur les trois arêtes qui la bordent. Puce de son côté fait les mêmes opérations sur sa propre pyramide à partir de quatre nombres réels > 0. Les résultats obtenus par Zig sur les quatre faces de sa pyramide coïncident avec ceux de Puce. Les quatre nombres choisis par Zig sont-ils nécessairement identiques à ceux choisis par Puce ?
Si a,b,c,d sont les nombres inscrits sur les sommets (en vertu des symétries du tétraèdre, on peut toujours supposer a≤b≤c≤d), les nombres affectés aux arêtes sont ab, ac, ad, bc, bd, cd, et ceux affectés aux faces e=ab+ac+bc, f=ab+ad+bd, g=ac+ad+cd, h=bc+bd+cd. on en déduit que h+g-f-e=2(cd-ab) et que h-g=(b-a)(c+d) ; or c(a+b)=e-ab, d(a+b)=f-ab; donc (c+d)(a+b)=e+f-2ab, et cd(a+b)2=(e-ab)(f-ab); ainsi (a+b)2=2(e-ab)(f-ab)/(2ab-e-f+g+h), et par ailleurs (b-a)=(h-g)(a+b)/(e+f-2ab); puisque 4ab=(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2(1-(h-g)2/(e+f-2ab)2; (a+b)2=4ab/((1-(h-g)2/(e+f-2ab)2) ; de plus, 0<ab<e, et puisque 0<a≤b, connaissant ab et (a+b)2, on déduit a et b.
On a obtenu deux expressions de y=(a+b)2 en fonction de x=ab : pour 0<x<e,
y=2(e-x)(f-x)/(2x+h+g-f-e), décroissante (dénominateur décroissant et numérateur croissant) ; et y=4x/((1-(h-g)2/(e+f-2x)2) , croissante, (produit de deux fonctions croissantes) : elles ont donc un seul point d’intersection pour 0<x<e, d’où une seule valeur possible pour a et b (donc c et d) : si Zig et Puce ont les mêmes valeurs pour e, f, g, h, c’est qu’ils ont les mêmes valeurs initiales a, b, c, d.
