A10317. Sommes de chiffres A chaque entier n je fais correspondre s(n), somme de ses chiffres en ´ecriture d´ecimale. Si N = 4444

A10317. Sommes de chiffres

A chaque entiernje fais correspondres(n), somme de ses chiffres en ´ecriture d´ecimale.

SiN = 4444⁴⁴⁴⁴, que vaut s(s(s(N))) ? (`a faire de pr´ef´erence de tˆete, et en tout cas sans ordinateur ni calculette)

Solution

Ajouter les chiffres d’un nombre entier revient `a remplacer, dans une ´ecriture de ce nombre distinguant unit´es, dizaines, centaines, etc., toutes les puis- sances de 10 par 1 ; ce remplacement modifie le nombre d’un multiple de 9 ; ainsi la fonction s(n) a mˆeme reste modulo 9 que n. D’autre part, on sait qu’une ´egalit´e traduisant une addition, une soustraction ou une multi- plication de nombres entiers reste vraie `a un multiple de 9 pr`es quand on remplace les nombres par la somme de leurs chiffres : c’est la traditionnelle

“preuve par 9”.

Ainsi, s(N), s(s(N)), s(s(s(N))) ont mˆeme reste modulo 9 que N et que 7⁴⁴⁴⁴ puisque 4444 a 16 pour somme des chiffres et 7 pour reste modulo 9.

Comme 7³= 343 a 1 pour reste modulo 9, 7⁴⁴⁴⁴= 7·(7³)¹⁴⁸¹ a 7 pour reste modulo 9. Le nombre `a d´eterminer vaut donc 7 `a un multiple de 9 pr`es.

Mais 4444<10⁴, doncN <10¹⁷⁷⁷⁶ ets(N)≤9×17776 = 159984.

Cela entraˆınes(s(N))≤s(99999) = 45, puis s(s(s(N)))≤s(39) = 12.

D’o`u la conclusion s(s(s(N))) = 7.

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