A30580. Jeu à onze
Quel est le plus grand entier multiple de 11 qui s’écrive avec dix chiffres distincts ?
Solution
Modulo 11, 10 = −1 et 10k a pour reste 1 ou −1 selon que k est pair ou impair. De ce fait, le reste modulo 11 d’un nombre est le même que pour la somme des chiffres de rang impair (à partir de la droite) diminuée de la somme des chiffres de rang pair. En particulier, dans un nombre multiple de 11, la somme des chiffres de rang pair est égale à la somme des chiffres de rang impair, à un multiple de 11 près. Si les chiffres sont les 10 chiffres de 0 à 9, leur somme est 45 ; pour avoir un multiple de 11, on doit les répartir en deux sous-ensembles de 5 chiffres dont les sommes diffèrent d’un multiple de 11 ; la somme de 5 chiffres distincts étant au moins 10 et au plus 35, la bonne répartition donne pour sommes 28 et 17.
Le plus grand d’entre eux utilise les plus grands chiffres aux rangs de plus grand poids, soit 9876524130 = 11×897865830.
Cherchons à dénombrer les entiers de dix chiffres distincts qui sont multiples de 11. Pour les obtenir, on a
– 9 possibilités pour la place du zéro,
– 11 possibilités pour les 4 chiffres dont le rang a même parité que celui du zéro, car leur somme doit être 17 ou 28 (en abrégé 1259, 1268, 1349, 1358, 1367, 1457, 2348, 2357, 2456, 4789, 5689),
– puis 4! et 5! façons de les répartir et de répartir les 5 derniers, soit en tout 285120.
Le plus petit est 1024375869.
Les entiers de dix chiffres distincts sont 9(9!), puisqu’on a 9 choix pour le chiffre de gauche et 9! possibilités pour l’ordre d’écriture des 9 autres. La proportion des multiples de 11 parmi eux est donc 11/126. Ceux qui ne sont pas multiples de 11 se répartissent équitablement entre les 10 restes possibles, de 1 à 10, avec la proportion 23/252 pour chaque reste.
