A326. 2010 sous deux coutures
Cela revient à déterminer le plus petit multiple (positif) de 201 dont la somme des chiffres (en base 10) est égale à 2010, quitte à le multiplier par 10. Puisque 2010 = 9×223 + 3, en première approche, il est raisonnable de chercher un multiple parmi les permutations de 3 9. . .9
| {z }
223
.En divisant par 3, cela nous amène à répondre à la question suivante : un nombre permutation de 1 3. . .3
| {z }
223
peut-il être un multiple de 67 ?
Cherchons ainsi un entier 06k6223 (position du chiffre 1) tel que 102243−1 ≡ 2×10k (mod 67, sous-entendu dans la suite sauf mention contraire). Sachant que 3×45 ≡ 2×34 ≡ 1066 ≡ 1 (les deux premières se déterminent assez simplement ; la dernière découle du petit théorème de Fermat) nous en déduisons 10k≡45×34× 103×66+26−1
ou encore 10k ≡56× 1026−1
.A l’aide d’un tableur, nous calculons 1026≡26 de sorte que 10k ≡60.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10n≡ 1 10 33 62 17 36 25 49 21 9 23 29 22 19 56 24
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
39 55 14 6 60 64 37 35 15 16 26 59 54 4 40 65 47 1
Puisque 1020≡60 et que 1033≡1 (33 est donc l’ordre multiplicatif de 10), nous en déduisonsk≡20 (mod 33). Pour que le multiple soit le plus petit possible, il est nécessaire queksoit le plus grand possible, soitk= 218.
Notre premier candidat est 10 10224−6×10218−1
= 999993 9. . .9
| {z }
218
0.Est-ce le plus petit ? Pas sûr car 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7...
En travaillant sur les 6 premiers chiffres à l’aide d’un tableur les deux nombres 598998≡999993 (mod 201) ont une même somme des chiffres. Nous avons un
« meilleur » multiple avec 598998 9. . .9
| {z }
218
0.Est-ce le plus petit ?
Pour le savoir, il reste à étudier, en raisonnant de même que précédemment : – 499999 9. . .989. . .9
| {z }
218
0 qui revient à trouverktel que 10k≡12 : impossible.
– 589999 9. . .989. . .9
| {z }
218
0 qui revient à trouverktel que 10k≡13 : impossible.
Le plus petit multiple recherché est donc 598998 9. . .9
| {z }
218
0.
1
