Lyc´ee Schuman Perret
Novembre 2020 Correction de l’´evaluation Globale No 2 NOM :
EXERCICE 1 Pourcentages
Lors d’une op´eration de promotion appel´ee ”jeudi-bleu” les articles sont vendus avec une r´eduction de 30%.
1. Un article valait 120e, quel sera son prix de vente lors de la promotion ? R´eduire de 30% c’est multiplier par (1− 30
100) = 0,7. Le prix lors de la promotion est : 120×0,7 = 84e
2. Un article est sold´e `a 95e, quel ´etait son prix de vente avant la promotion ?
Nouveau prix = ancien prix×0,7 donc Le prix avant la promotion ´etait : 95×0,7≈ 135,71e
3. Des consommateurs avertis ont remarqu´e que les prix initiaux des articles avant les soldes avaient bizarrement augment´e de 10% chaque mois les trois mois pr´ec´edents.
a. Quel est le coefficient multiplicateur si on consid`ere les trois hausses de 10% et la baisse de 30% ?
Augmenter de 10% c’est multiplier par (1 + 10
100) = 1,1 donc l’ensemble des modifications correspond `a une multiplication par 1,1×1,1×1,1×0,7 = 0,9317 b. Quel est alors le pourcentage de r´eduction entre le prix initial (avant toute
variation) et le prix affich´e lors de cette op´eration de promotion ?
Multiplier par 0,9317 c’est r´eduire de 1−0,9317 = 0,0683 cela correspond `a une r´eduction de 6,83%
c. Selon vous, est-ce une si bonne affaire ?
On indique une r´eduction de 30% mais la r´eduction r´eelle entre le prix avant la premi`ere variation et la derni`ere n’est que d’environ 7% donc non ce n’est pas une si bonne affaire que cela.
EXERCICE 2 Polynˆome de degr´e 1
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−1
−2 1 2 3 4 5
Cf
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1. Dessiner la repr´esentation graphique de la fonctionf d´efinie surRparf(x) = 1 2x−1.
voir ci-dessus
2. Quelle est l’expression de g(x) dont le graphe est dessin´e ci-contre ?
On commence par lire l’ordonn´ee `a l’origine p = 3 puis on calcule m = ∆y
∆x = −1 4 donc g(x) = −1
4 x+ 3
3. R´esoudre par le calcul f(x) = 2.
f(x) = 2 ssi 1
2x−1 = 2 ssi 1
2x= 3 ssi x= 6 doncS ={6}
4. R´esoudre par le calcul f(x)<−3.
f(x)<−3 ssi 1
2x−1<−3 ssi 1
2x <−2 ssi x <−4 doncS =]− ∞;−4[
EXERCICE 3 Polynˆome de degr´e 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
milliers d’euros
milliers de produits t
Pour fabriquer un composant ´electronique, un constructeur mesure que son coˆut peut ˆetre exprim´e par C(x) = 0,01x2−1,90x+ 118,25.
1. Compl´eter le tableau suivant `a la calculatrice. (on arrondira `a 0,1 millier d’euros.)
x 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190
f(x) 100,3 70,3 48,3 34,3 28,3 30,3 40,3 58,3 84,3 118,3 2. Dessiner le graphe de C dans le rep`ere ci-dessus.
voir ci-dessus
3. Montrer que la forme canonique de C(x) est 0,01×
(x−95)2+ 2800 . On a : C(x) = 0,01x2−1,90x+ 118,25
= 0,01×(x2−190x+ 11825)
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= 0,01×
(x−95)2−952+ 11825
= 0,01×
(x−95)2+ 2800
4. Quelle est la plus petite valeur que peut prendre un nombre au carr´e ? En d´eduire la plus petite valeur de C(x).
La plus petite valeur que peut prendre un nombre au carr´e est 0 donc la plus petite valeur que peut prendre de C(x) est 0,01×2800 = 28
5. Le produit se vend 0,375e l’unit´e. Combien faut-il en vendre pour obtenir 30000ede recette ?
Il faut vendre 30000/0,375 = 80000 produits.
6. On admet que la recette est d´ecrite par la fonction R(x) = 0,375x repr´esent´ee par le trait en pointill´es. R´esoudre graphiquement C(x) =R(x). Que cela signifie-t-il ? Graphiquement C(x) =R(x) ssi x = 30 ou x ≈ 145 cela signifie qu’il faut vendre 3000 ou environ 145000 produit pour atteindre l’´equilibre financier.
7. R´esoudre par le calcul :
0,01x2−2,275x+ 118,25 = 0
C’est une ´equation du second degr´e, son discriminant est ∆ = 0,445625 donc x1 ≈80,372 etx2 ≈147,128
8. En d´eduire l’ensemble des solutions de
0,01x2−1,90x+ 118,25<0,375x L’in´equation s’´ecrit 0,01x2−2,275x+ 118,25<0
Notons f(x) = 0,01x2−2,275x+ 118,25 l’´etude des fonctions polynˆomes du second degr´e permet d’en ´etablir le signe, on a :
x f(x)
−∞ x1 x2 +∞
+ 0 − 0 +
donc l’in´equation a pour solutions : S =]x1;x2[
9. Combien de produits devrait vendre le constructeur pour r´ealiser des b´en´efices ? (on arrondira `a la centaine de produits la plus proche.)
Compte tenu de l’´etude pr´ec´edente, il faudra vendre entre 80373 et 147127 produits pour faire des b´en´efices.
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EXERCICE 4 Les suites Les parties sont ind´ependantes.
1. Sachant que (Un) est arithm´etique et que U2 = 4 etU8 = 54.
Calculer U0 et la raison r
Puisque (Un) est arithm´etique on a :U8 =U0+ 8r et U2 =U0+ 2r
donc par diff´erence des deux lignes on obtient : U8 −U2 = 6r c’est `a dire 6r = 50 donc r = 50
6 = 25 3
Puisque U2 =U0+ 2r, on a :U2−2r=U0 donc U0 = 4−2× 25
3 = −38 3 2. Sachant que pour tout n∈N, on a :Un =n2+ 3n−1.
a. Calculer U10.
On a : U10 = 102+ 3×10−1 = 129
b. soit n ∈N, donner l’expression simplifi´ee de Un+1. Soit n∈N, on a :
Un+1 = (n+ 1)2+ 3(n+ 1)−1 =n2 + 2n+ 1 + 3n+ 3−1 =n2+ 5n+ 3 c. Montrer que pour toutn ∈N, on a Un+1−Un = 2n+ 4.
Un+1−Un =n2+ 5n+ 3−
n2+ 3n−1
=n2+ 5n+ 3−n2−3n+ 1 = 2n+ 4 Quel est son signe ?
Puisque n ∈N, on a : n>0 donc 2n+ 4> t0 donc Un+1−Un >0 [bonus] Pourquoi dira-t-on que (Un) est une suite croissante ? Puisque pour toutn ∈N, on a : Un+1−Un >0
on a donc pour toutn ∈N, Un+1 > Un donc la suite (Un) est croissante.
3. Sachant que pour tout n∈N, on a :Un+1 =Un+ 5 et U0 = 2.
a. Calculer U3. U0 = 2
puis U0+1=U0+ 5 donc U1 =U0+ 5 = 7
puis U1+1=U1+ 5 donc U2 =U1+ 5 = 4 + 5 = 12
et enfin U2+1=U2+ 5 donc U3 =U2+ 5 donc U3 = 12 + 5 = 19 b. Montrer que la suite (Un) est arithm´etique.
Puisque pour tout n ∈N, on a : Un+1−Un = 5 qui est une constante la suite (Un) est arithm´etique.
c. Donner l’expression de Un en fonction de n, pour tout n ∈N.
, D’apr`es le cours on a donc pour tout n ∈ N, Un = U0 +nr c’est `a dire Un= 2 + 5r
d. Calculer U42.
U42= 2 + 42×5 = 212
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