A304 – Les plus petits nombres de persistance n Solution
1) Persistance multiplicative
Le tableau ci-près donne les plus petits nombres dont la persistance multiplicative est inférieure ou égale à 11 (d’après article de N. Sloane paru dans le Journal of Recreational Mathematics – printemps 1973).
On observe qu’à partir de la persistance 7, le deuxième nombre issu de N(p) et obtenu par la multiplication des chiffres du premier nombre (lui-même établi par la multiplication des chiffres de N(p)) est égal au premier nombre issu de N(p-1). Par exemple, le deuxième nombre issu de N(7)=68 889 est égal à 2688 qui est le premier nombre issu de N(6)=6788.
2) Persistance additive (en base 10)
Le plus petit nombre de persistance additive égale à 1 est 10.
Le plus petit nombre de persistance additive égale à 2 est 1 car 1+9=10 et 1+0=1.
Le plus petit nombre de persistance additive égale à 3 est logiquement 199 car 1+9+9=19, 1+9=10 et 1+0=1
On voit immédiatement la formule générale qui permet de calculer les nombres de persistance n quelconque. Ces nombres deviennent très rapidement astronomiques comme on le voit déjà pour n=4. En effet la somme des chiffres du plus petit nombre de persistance additive k donne le plus petit nombre de persistance additive k-1. Tous ces nombres commencent par un 1 suivi de chiffres 9.
Par conséquent, le plus petit nombre de persistance additive 4 est le nombre constitué d’un 1 suivi de 22 fois le chiffre 9 car 22*9+1=199 : 19 999 999 999 999 999 999 999. Si l’on poursuit avec le plus petit nombre de persistance additive 5, il est constitué d’un 1 suivi de 2 222 222 222 222 222 222 222 chiffres 9….
Persistance p Nombre N(p) Analyse des étapes successives
1 10 1.0=0
2 25 2.5=10,1.0=0
3 39 3.9=27, 2.7=14, 1.4=4
4 77 7.7=49, 4.9=36, 3.6=18, 1.8=8
5 679 6.7.9=378, 3.7.8=168, 1.6.8=48, 4.8=32, 3.2=6
6 6 788 6.7.8.8=2688, 2.6.8.8=768, 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0 7 68 889 6.8.8.8.9=27648, 2.7.6.4.8=2688, 2.6.8.8=768,
et 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0
8 2 677 889 2.6.7.7.8.8.9=338688, 3.3.8.6.8.8=27648, 2.7.6.4.8=2688, et 2.6.8.8=768, 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0
9 26 888 999 2.6.8.8.8.9.9.9=4478976, 4.4.7.8.9.7.6=338688, 3.3.8.6.8.8=27648, et 2.7.6.4.8=2688, 2.6.8.8=768, 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0 10 3 778 888 999 3.7.7.8.8.8.8.9.9.9=438939648, 4.3.8.9.3.9.6.4.8=4478976, 4.4.7.8.9.7.6=338688,
et 3.3.8.6.8.8=27648, 2.7.6.4.8=2688, 2.6.8.8=768, 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0 11 277 777 788 888 899 2.7.7.7.7.7.7.8.8.8.8.8.8.9.9=4996238671872, 4.9.9.6.2.3.8.6.7.1.8.7.2=438939648,
et 4.3.8.9.3.9.6.4.8=4478976, 4.4.7.8.9.7.6=338688, 3.3.8.6.8.8=27648, et 2.7.6.4.8=2688, 2.6.8.8=768, 7.6.8=336, 3.3.6=54, 5.4=20, 2.0=0
