A1737– Fidèles au rendez-vous [*** à la main]
Q₁ Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s₁ < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s₁ et p₁ sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s₁ = p₁ ?
Q₂ Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme s₂ et de plus petit commun multiple p₂ tels que s₂ et p₂ sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s₂ = p₂ ?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 Soit N le plus petit commun multiple en question. Ce PPCM doit avoir au moins 30 diviseurs.On peut
proposer la solution suivante qui répond à la question avec N=2^4 . 3 . 5 .7 = 1680, qui contient 40 diviseurs. On arrive à trouver dans les 40 diviseurs de N ,30 nombres ayant bien N comme PPCM et de somme N. Ces 30 nombres sont les suivants :1 ;3 ;5 ;6 ;7 ;8 ;10 ;12 ;14 ;15 ;16 ;20 ;21 ;24 ;28 ;35 ;40 ;42 ;48 ;
56 ;60 ;70 ;80 ;84 ;105 ;112 ;140 ;168 ;210 ;240 ; dont la somme est bien égale à 1680.
Q2. Prenons des nombres de la forme N= 3. 2^p . Ils ont Nd=2.(p+1) diviseurs de somme égale à Sd=4.( 2^(p+1) – 1) ou encore 2^(p + 3) – 4.
Il faut choisir parmi ces Nd = 2.(p + 1) diviseurs 2021 d’entre eux tels que leur somme soit égale à 3.2^p. Il faut donc enlever des Nd diviseurs de N , D diviseurs tels que leur somme soit égale à Sd – N, soit 5.2^p – 4.
En enlevant le diviseur d1= 3.2^p, il reste 2^(p + 1) – 4 à combler
puis en enlevant 3.2^(p – 1) il reste 2*(p – 1) – 4, puis 3.2^(p – 3) il reste alors 2^(p – 3) – 4 , puis 3.2^(p – 5) et ainsi de suite.
En supposant p pair égal à 2.k, on continue jusqu’à enlever le diviseur 3.2^5, et il reste alors à combler 2^5 – 4 soit 28. On a alors enlevé k – 1 diviseurs à Nd
Pour 28, ce nombre peut être comblé en enlevant soit 2 diviseurs 16 et 12 par exemple, soit trois diviseurs 4,8 et 16 par ex, soit 4 diviseurs 1,3,8 et 16 par exemple.
On a donc au total Nd – (k-1) – (2 ou 3 ou 4) soit 3k + 3 – (2 ou 3 ou 4) diviseurs qui doit être égal à 2021. On voit qu’il faut retenir la partition de 28 comme somme de 4 nombres pour obtenir une solution entière de k.
On a donc 3k = 2022, soit k = 674, soit le nombre N=3.2^1348.
Parmi les 2021 nombres diviseurs de N maintenus on a bien 2^1348 et de très nombreux multiples de 3 dont 6 par exemple. Donc N est bien le PPCM de 2021 nombres dont la somme est égale à N. CQFD.
