MPSI B 2010-2011 DM 1 29 juin 2019
Exercice 1.
On note D l'ensemble des nombres complexes de module strictement plus petit que 1 . 1. Montrer que, pour des éléments p et z quelconques de D , le nombre complexe 1 − pz
est non nul et :
1 −
p − z 1 − pz
2
= (1 − |z| 2 )(1 − |p| 2 )
|1 − pz| 2 Que peut-on en déduire pour
p − z 1 − pz 2. Pour tout p ∈ D , on considère l'application α p
D →D
z → p − z 1 − pz
Montrer que cette application est bijective. Quelle est sa bijection réciproque ? 3. On suppose ici que
p = (sin ϕ)e iθ avec ϕ ∈ [0, π
2 [ et θ ∈] − π, π]
Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes z tels que p − z
1 − pz = z Un seul de ces nombres est dans D , préciser lequel.
Exercice 2
Soit f la fonction 1 dénie de C − {2i} dans C par :
f (z) = z 2 z − 2i
1. Déterminer les racines carrées de 8 − 6i , en déduire les antécédents de 1 + i par f . 2. Soit h ∈ C. Discuter suivant les valeurs de h , son nombre d'antécédents par f .
La fonction f est-elle surjective, injective ?
1
D'après Concours commun 2006 des écoles des mines d'Albi, ...
3. On dénit une application g de C − {2i} dans C par :
g(z) = |z − 2i| 2 z 2 z − 2i + z 3
On note respectivement x et y les parties réelle et imaginaire de z . Exprimer en fonction de x et y les parties réeelles et imaginaires de g(z) .
4. Soit P un plan rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, − → e 1 , − → e 2 ) et Γ l'ensemble des points dont les axes z sont telles que g(z) soit imaginaire pur.
a. Montrer que Γ est la réunion d'une droite ∆ (privée d'un point) et d'un ensemble C dont on donnera une équation.
b. Soit A le point de P de coordonnées (0, −1) dans R . On dénit deux vecteurs
−
→ u 1 = 1
√ 2 ( − → e 1 + − → e 2 ) , − → u 2 = 1
√ 2 (−− → e 1 + − → e 2 )
Montrer que R 0 = (A, − → u 1 , − → u 2 ) est un repère orthonormé direct. Soit M un point de coordonnées (x, y) dans R . Calculer les coordonnées (X, Y ) de M dans R 0 . c. En considérant (y + 1) 2 , exprimer l'équation de C avec X et Y . Présenter C et ∆
sur une gure.
Exercice 3
Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier 2 .
Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω 5 = 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :
α = ω + 1
ω β = −1 − α
1. a. Montrer que
ω = 1 ω = ω 4
Former une relation analogue pour ω 2 au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω 4 et ω 2 + ω 3 ?
b. Montrer que
1 + ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0
2
D'après E.N.S.A.I.S 2005
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M1001EMPSI B 2010-2011 DM 1 29 juin 2019
2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.
b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .
3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x 2 + y 2 + x − 1 = 0
4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e
2iπ5= cos 2iπ
5 + i sin 2iπ 5
Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
