MPSI B Année 2015-2016 DM 1 pour vendredi 11/09/15 29 juin 2019
Soit f la fonction
1dénie de C − {2i} dans C par :
f (z) = z
2z − 2i
1. Déterminer les racines carrées de 8 − 6i , en déduire les antécédents de 1 + i par f . 2. Soit h ∈ C. Discuter suivant les valeurs de h , son nombre d'antécédents par f .
La fonction f est-elle surjective, injective ?
3. On dénit une application g de C − {2i} dans C par :
g(z) = |z − 2i|
2z
2z − 2i + z
3On note respectivement x et y les parties réelle et imaginaire de z . Exprimer en fonction de x et y les parties réeelles et imaginaires de g(z) .
4. Soit P un plan rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, − → e
1, − → e
2) et Γ l'ensemble des points dont les axes z sont telles que g(z) soit imaginaire pur.
a. Montrer que Γ est la réunion d'une droite ∆ (privée d'un point) et d'un ensemble C dont on donnera une équation.
b. Soit A le point de P de coordonnées (0, −1) dans R . On dénit deux vecteurs
−
→ u
1= 1
√ 2 ( − → e
1+ − → e
2) , − u →
2= 1
√ 2 (−− → e
1+ − → e
2)
Montrer que R
0= (A, − → u
1, − → u
2) est un repère orthonormé direct. Soit M un point de coordonnées (x, y) dans R . Calculer les coordonnées (X, Y ) de M dans R
0. c. En considérant (y + 1)
2, exprimer l'équation de C avec X et Y . Présenter C et ∆
sur une gure.
1D'après Concours commun 2006 des écoles des mines d'Albi, ...
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