NOM :
Respecter les consignes, répondre aux endroits prévus à cet effet.Exercice 1 Soit P le polynôme en z, tel que P(z) = z4 + (1 + 2i)z3 + (3 + i)z2 + (6 – 18i)z – 8 – 24i.
On peut remarquer que P(-2) = 0.
1) Citer le théorème permettant d’écrire P(z) sous la forme d’un produit de deux polynômes.
2) On peut écrire P(z ) = (z + 2) Q(z). Ecrire, sans justification, Q(z) sous forme développée, réduite et ordonnée suivante les puissances décroissantes de z.
Q(z) =
3) Le polynôme Q(z) possède une racine de la forme bi (b réel). Le nombre b vérifie un système de deux équations.
Ecrire ci-contre sans justification le système vérifié par b :
Ecrire ci-contre sans justification toutes les valeurs de b vérifiant le système :
Citer le (ou les) théorème(s) essentiel(s) utilisés pour trouver le système d’équations.
4) Présenter alors une résolution, dans C, de l’équation P(z) = 0. Chaque solution sera écrite sous forme algébrique.
5) Ecrire, sans justification, les modules et arguments de trois des solutions de l’équation précédente.
Exercice 2 Soit f(z) = z i z 2i
+
− avec z ≠ 2i. L’écriture algébrique de z est notée x + iy.
1) Solution(s), sans justification, sous forme algébrique, dans C\{2i}, de f(z) = 2i.
2) Solution(s), sans justification, sous forme algébrique, dans C\{2i}, de f(z) = 1.
3) Ecrire f(z) sous forme algébrique, sans justification.
(à faire pour le lundi 13 octobre au plus tard, sur feuille, en justifiant les réponses) 4) Quel est l’ensemble des points P d’affixe z tel que f(z) soit un imaginaire pur ? 5) Quel est l’ensemble des points P d’affixe z tel que f(z) soit un réel ?
Eléments pour un corrigé.
Exercice 1 Soit P le polynôme en z, tel que P(z) = z4 + (1 + 2i)z3 + (3 + i)z2 + (6 – 18i)z – 8 – 24i.
On peut remarquer que P(-2) = 0.
1) Citer le théorème permettant d’écrire P(z) sous la forme d’un produit de deux polynômes.
Si a est une racine d’un polynôme P(z), alors P(z) = (z – a) Q’z) où Q(z) est un polynôme et (degré de Q) = (degré de P) – 1.
2) On peut écrire P(z ) = (z + 2) Q(z). Ecrire, sans justification, Q(z) sous forme développée, réduire et
ordonnée suivante les puissances décroissantes de z. Q(z) = z3 + (2i – 1)z2 + (5 – 3i)z – 4 – 12i
3) Le polynôme Q(z) possède une racine de la forme bi (b réel). Le nombre b vérifie un système de deux équations.
Ecrire sans justification le système vérifié par b :
b2 + 3b – 4 = 0 et -b3 – 2b2 + 5b – 12 = 0 Ecrire sans justification toutes les valeurs de b vérifiant le système : -4
Citer le (ou les) théorème(s) essentiel(s) utilisés pour trouver le système d’équations.
Th. 1 : i2 = -1
Th. 2 : Avec la condition : x, y, a et b réels, x + i y = a + ib ' x = a et y = b.
4) Présenter alors une résolution, dans C, de l’équation P(z) = 0. Chaque solution sera écrite sous forme algébrique.
Succinctement :
Avec 2) et 3), on a Q(z) = z3 + (2i – 1)z2 + (5 – 3i)z – 4 – 12i et Q(-4i) = 0
donc (th. de 1)) et technique usuelle de factorisation) Q(z) = (z + 4i)[z2 –(1+2i)z – 3 + i]
d’où P(z) = 0 ' (z + 2)(z + 4i)[z2 –(1+2i)z – 3 + i]= 0
' z + 2 = 0 ou z + 4i = 0 ou z2 –(1+2i)z – 3 + i = 0 ' z = -2 ou z = -4i ou z = 2 + i ou z = -1 + i Remarque : δ2 de (z2 - 6z + 6 + 4i) = 9 → δ = ±3
6) Ecrire, sans justification, les modules et arguments de trois des solutions de l’équation précédente.
Pour – 2 : module 2, argument π (modulo 2π) Pour -4i : module 4, argument π/2 (modulo 2π) Pour -1 + i : module √2, argument 3π/4 (modulo 2π)
Exercice 2
Soit l’application f de C\{2i} dans C telle que f(z) = z i z 2i
+
− . L’écriture algébrique de z est notée x + iy.
1) Solution(s) dans C\{2i}, de f(z) = 2i. 6 7i 5 5+
2) Solution(s) dans C\{2i}, de f(z) = 1. pas de solution
3) Ecrire f(z) sous forme algébrique. 2
2 2 2 2
x (y 1)(y 2) 3x
x (y 2) ix (y 2)
+ + − +
+ − + −
