Lycée O.CH.M’SAKEN Mr. karmous. A. 3° année MATH Série d’exercices (Complexes)
Exercice1 :
1) Ecrire sous forme cartésienne chacun des complexes suivants : (1+i)2; (3i+2)2; (1+i)(1-i)2; (-2+i)(-2-i) ; (2-3i)-1 ; ;(x+i)(x-i)et ; où x.
2) Résoudre dans C les équations suivantes :(E):2iz – 3i + z (1 + i)=0.
(E’) : 2z – 2 + iz = 8 - 6i + (1+2i)z.
3) Pour tout complexe z on pose f(z) = az + b ; où a et b deux complexes.
a) Déterminer a et b pour que f(1+i) = -1+2i et f(3+2i) = 3+6i.
b) Calculer alors f(i) et f(-1).
Exercice2 :
Pour tout complexe z on pose f(z) = z2 – 5iz –4.
1) Calculer f(i) ; f(1+i) ; et f(4i).
2) Soit un nombre complexe ; déterminer en fonction de , les solutions de l’équation f(z) = f().
3) Montrer que si z est imaginaire pur alors f(z) est réel.
4) Déterminer l’ensemble E des complexes z tels que f(z) soit réel.
Exercice3 :
1) Déterminer l'ensemble E des points M ( z ) tels que : z-i z =0.
2) Soit f : P\E → Ρ ; M ( z )→ M' (z' ) tel que : z'= z+ z−i z−i z .
a) Calculer les coordonnées de M’ en fonction de celles de M.
b) Donner une équation cartésienne de l’ensemble H des points M(z) tels que z’ soit imaginaire pur.
c) Donner une équation cartésienne de l’ensemble K des points M(z) tels que
|z’|= .
Exercice4 :
Déterminer l’ensemble des points M(z) dans chacun des cas suivants : 1) z2 – (1-2i)2 = 2– (1+2i)2 .
2) ( z – 1 – i ) ( – 1 + i ) = 5.
3) z + = |z|2 .
4) ( z – i ) ( + i ) = 2 .
5) soit réel ; puis imaginaire pur.
6) Ré [ ] = 1.
7) || = 2.
8) | z - 3i | = | 2i + z |
Exercice6 :
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O,u,V). On donne A(4+2i), B(-2-i) et M(z) où z est un complexe. On pose Z= .
Déterminer l’ensemble des points M dans chacun des cas suivants : 1) |Z|=1 2) |Z|=2 3) Z est un réel positif 4) Z imaginaire pur.
Exercice7:
A tout complexe z on associe f(z)= .
1) On note A le point d’affixe a=1+2i ; déterminer les coordonnées du point A’ d’affixe f(a) .
2) Soit z=x+iy, x et y réels. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fonction de x et y. En déduire l’ensemble des points M(z) tels que f(z)=z.
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,;i,;j) placer les points A et A’ , et tracer . Prouver que est la médiatrice du
segment [AA’].
Exercice8 :
Soit z un complexe, on pose f(z)=
z−1+3i
z+2−3i . Déterminer l’ensemble E des points M(z) dans chacun des cas suivants :
a) f(z) est réel b) f(z) est imaginaire pur c)|f(z)|=1 d) |f(z)|=2
