que c’est une distance sur D)

Feuille 1

Dans la suiteDest un domaine deC, muni d’une pseudo-m´etrique infinit´esimale d´efinie par un poids ρ. On note dla pseudo-distance induite.

Exercice 1.

On suppose ici que ρ est continue et s’annule seulement en un nombre fini de points de D.

Montrer quedest non-d´eg´en´er´ee (i.e. que c’est une distance sur D).

Exercice 2.

Pour z∈D etε >0, on note

B(z, ε) :={w∈D|d(z, w)< ε}.

(i) Montrer que toutw∈B(z, ε) peut ˆetre reli´e `az par un cheminγ dansB(z, ε), de longueur strictement plus petite queε.

(ii) Montrer queB(z, ε) est connexe.

(iii) Montrer que pour tout z ∈ D, w 7→ d(z, w) est continue sur D (pour la topologie eucli- dienne). En d´eduire que

∀z∈D, ∀ε >0, ∃δ >0|∆(z, δ)⊂B(z, ε) o`u ∆(z, δ) :={w∈C/|w−z|< δ}.

Exercice 3.

Soit γ : [a;b]→ D une g´eod´esique de z `a w. Montrer que pour tous t<sub>1</sub> ≤ t<sub>2</sub> dans [a;b], γ<sub>|[t1;t2]</sub> est une g´eod´esique deγ(t<sub>1</sub>) `aγ(t₂).

Exercice 4.

Montrer que dans la d´efinition ded, l’infimum peut ˆetre pris sur les chemins de classeC¹.

Exercice 5.

Pour j = 1,2, D_j est un domaine de C muni d’une pseudo-m´etrique infinit´esimale d´efinie par un poids ρ_j continu. Soit f : D₁ → D₂ une application de classe C¹. Montrer que f est une isom´etrie infinit´esimale si et seulement si elle pr´eserve la longueur des chemins.

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Feuille 2

Exercice 1.

Munir ∆r:={z∈C| |z|< r}(o`u r >0) d’une distance invariante par biholomorphisme. Mˆeme question pourH:={z∈C|Im(z)<0}.

Exercice 2.

Soit δ la m´etrique pseudo-hyperbolique sur ∆ : δ(z, w) =

z−w

1−wz¯

=|φ_z(w)|.

Montrer directement (c’est-`a-dire sans utiliser les propri´et´es de la m´etrique de Poincar´e) que les automorphismes de ∆ sont des isom´etries de (∆, δ) (indication : d´eterminer l’automorphisme φ_a◦φ_b).

Exercice 3.

Soita, bdeux points distincts de ∆. Montrer qu’il existef ∈Aut(∆) qui ´echange les deux points (i.e. f(a) =betf(b) =a).

Exercice 4.

Soit a, bdeux points distincts de ∆, et f ∈Hol(∆,∆).

1. Montrer que sif fixeaetb, alors f est l’identit´e (indication : on pourra d’abord supposer que l’un des deux points fix´es est 0).

2. Montrer que sif ´echange les deux points, alors f est un automorphisme involutif, c’est-`a- dire quef◦f = id∆.

Exercice 5.

Soit f ∈ Hol(∆,C), et ||f||B := Sup(1− |z|²)f^′(z). Montrer que f : (∆, d^P_∆) → (C,| · |) est lipschitzienne si et seulement si ||f||B <∞, et que dans ce cas la constante de Lipschitz de f est exactement ||f||B (indication : pour ⇒, utiliser ^d_|^P∆_z^(z,w)_−w| −−−→_w

→z 1

1−|z|² ; pour ⇐, montrer que

′ ||f||

Feuille 3

Exercice 1.

Montrer queH := {z ∈C|Im(z) < 0} est de type born´e. Expliciter un ´el´ement non-trivial de A²(H).

Exercice 2.

Montrer que tout domaine de C dont le compl´ementaire contient une demi-droite est de type born´e.

Exercice 3.

Soit Dun domaine deCde type born´e. Montrer que

∀z, w∈D, |k_D(z, w)| ≤ 1/π

dist(z, ∂D) dist(w, ∂D).

Exercice 4.

Montrer que pour toutz∈∆, 1 π

Z

∆

dµ(ζ)

|1−ζz¯ |⁴ = 1 (1− |z|²)².

Exercice 5.

Soit Dun domaine de C, simplement connexe, distinct de C, etw₀ ∈D. On sait (th´eor`eme de repr´esentation conforme de Riemann) qu’il existe un unique biholomorphisme ϕ : D → ∆ tel queϕ(w₀) = 0 et ϕ^′(w₀)∈R^∗+. Montrer que

∀z∈D, ϕ^′(z) =

r π

k_D(w₀, w₀)k_D(z, w₀).

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Feuille 4

Exercice 1.

Soit D un domaine de C et z₁, z₂ ∈ D. On note Hol_z2(D,∆) les fonctions holomorphes de D dans ∆ qui s’annulent enz₂. Montrer que

ρ^C_D(z₂)−ρ^C_D(z₁)≤ Sup

Holz2(D,∆)

|f^′(z₂)| − |f^′(z₁)| 1− |f(z₁)|²

≤ Sup

Holz2(D,∆)|f^′(z₂)−f^′(z₁)|. En d´eduire queρ^C_D est localement lipschitzienne surD.

Exercice 2.

Montrer que siD est le plan complexe priv´e d’un ensemble discret, alors d^C_D est identiquement nulle.

Exercice 3.

Montrer que siD⊂C\[0; 1] (plus g´en´eralement, si le compl´ementaire deDcontient un segment), alorsd^C_D est non-d´eg´en´er´ee (indication : consid´erer l’application D∋z7→ _z−1^z ∈C\R⁻).

Exercice 4.

Soit Dun domaine deC. Pour z, w∈D, on pose d˜^C_D(z, w) = Sup

f∈Hol(D,∆)

d^P_∆(f(z), f(w)).

1. V´erifier que ˜d^C_D est une pseudo-distance sur D.

2. Montrer que dans la d´efinition de ˜d^C_D, le supremum est atteint.

3. Montrer que ˜d^C est la plus petite pseudo-distance d´ecroissante par applications holo- morphes, qui co¨ıncide avec la m´etrique de Poincar´e sur ∆.

3. Soit h = _nanϕn un ´el´ement de A²(D). Traduire `a l’aide de a := (an)n les conditions

||h||D = 1 et h(z₀) = 0. Que vaut h^′(z₀) ?

4. Rappelons queb:= (ϕ_n(z₀))_n etb^′ := (ϕ^′_n(z₀))_n sont dansl²(C). Montrer que Sup

||a||=1, a⊥b

ha, b^′i² =||b^′||²−

b

||b||, b^′ b

||b||

2

. 5. Conclure.

Exercice 6.

Montrer queF_C^K_∗ est identiquement nulle (indication : utiliser la fonction exponentielle).

Exercice 7.

Soit Dun domaine deC: montrer queρ^K_D est born´ee sur tout compact deD.

Exercice 8.

Montrer que dans l’expression de ρ^K_D, l’extremum peut ˆetre pris sur C⁰( ¯∆, D)∩Hol(∆, D) (in- dication : pourf ∈Hol(∆, D) et 0< α <1, consid´erer z7→f((1−α)z)).

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Feuille 5

Exercice 1.

Soit D= ∆\ {0}. Montrer qued^C_D est non-d´eg´en´er´ee mais que (D, d^C_D) n’est pas complet.

Exercice 2.

Soit D₁, . . . , D_k des domaines de Ctels que D:=Tk

j=1D_j soit un domaine de C. Montrer que si tous les D_j sont hyperboliques complets, alors Dest hyperbolique complet.

Exercice 3.

On suppose que D est hyperbolique complet, et que f ∈ Hol(D, D) avec f(D) relativement compact dans D. On note k < 1 la constante de Lipschitz de f et w l’unique point fixe de f dansD.

1. Montrer que pour tousr >0 et n∈N,fⁿ(B^f(w, r))⊂B^f(w, rkⁿ).

2. En d´eduire que pour tout compact K de D, la suite des it´er´ees (fⁿ)_n converge uni- form´ement surK vers la fonction constante ´egale `aw.

Exercice 4.

On suppose que D est hyperbolique complet. Soit z ∈ D et (z_k)_k une suite de points de D convergeant vers z. On note l:= liminf

ρ^K_D(z_k) .

1. Montrer qu’il existe une suite (f_φ(k))_k dans Hol(∆, D) telle que f_φ(k)(0) =z_φ(k) pour tout k, et _|f′¹

φ(k)|−−−−→

k→+∞ l.

2. Montrer que la suite (f_φ(k))_k admet une sous-suite qui converge uniform´ement sur tout compact.

3. En d´eduire queρ^K_D(z)≤liminf

ρ^K_D(z_k) . En d´eduire queρ^K_D :D→R⁺ est continue.

Feuille 6

Exercice 1.

D´eterminer la courbure dans les cas suivants : 1. ρ(z) = (1 +|z|²) sur C;

2. ρ(z) = _|¹_z| surC^∗; 3. ρ(z) =e^Re(z) sur C.

Exercice 2.

Montrer qu’il n’existe pas sur Cde m´etriqueinfinit´esimale de classe C², `a courbure inf´erieure `a -4 (indication : appliquer le lemme d’Ahlfors-Schwarz `a l’inclusion ∆_r ֒→ C).

Exercice 3.

SoitDun domaine deCdont le compl´ementaire contient au moins deux points distinctsaetb.

1. Comparer ρ^K_D `a la m´etrique ρ `a courbure major´ee par une constante −B < 0 construite surC\ {a, b}(indication : appliquer le lemme d’Ahlfors-Schwarz `a f ∈Hol(∆, D)).

2. En d´eduire queD est hyperbolique.

Pour D=C\ {p₁, . . . , p_n} (o`un≥2 et lesp<sub>j</sub> sont deux-`a-deux distincts), comparer d^C_D etd^K_D.

Exercice 4.

Soit n ∈ N, n ≥ 3, et f, g deux fonctions m´eromorphes sur C telles que fⁿ+gⁿ = 1 (o`u fⁿ=f×. . .×f).

1. V´erifier quef etg ont les mˆemes pˆoles : on noteP l’ensemble de ces pˆoles.

2. Montrer que 1 =Q_n

k=1(f−ζ_kg) o`uζ₁, . . . , ζ_n sont les racines du polynˆome Xⁿ+ 1.

3. On suppose que P est vide. Montrer que f et g sont constantes (indication : utiliser la fonction f /g et le petit th´eor`eme de Picard).

Le r´esultat est-il encore vrai pourn= 2 ?

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Feuille 7

Exercice 1. Th´eor`eme de Liouville

Montrer que toute fonction holomorphe et born´ee surC² est constante.

Exercice 2.

Soit D un domaine de C², a = α+iβ ∈ D et f ∈ Hol(D). Montrer que si f s’annule sur un voisinage r´eel {x+iβ| |x−α|< r}de adansD, alors f est identiquement nulle.

Exercice 3. Th´eor`eme de prolongement d’Hartogs (version simple)

Soit B (resp. B1/2) la boule euclidienne de rayon 1 (resp. 1/2) dans C². On suppose quef est une fonction holomorphe sur l’ouvert B \ B1/2.

1. Pour z= (z₁, z₂) ∈C², on note |z|:= p

|z₁|²+|z₂|² etkzk= max(|z₁|,|z₂|). V´erifier que si ¹₂ <kzk< √¹

2, alorsz∈ B \ B1/2. 2. On fixe r tel que ¹₂ < r < √¹

2, et z= (z1, z2) avec ¹₂ <|z1|< r et|z2|< r. Montrer que f(z₁, z₂) = 1

2πi Z

|ζ2|=r

f(z1, ζ2) ζ₂−z₂ dζ₂, puis que

f(z₁, z₂) = 1 (2πi)²

Z

|ζ2|=r,|ζ1|=r

f(ζ₁, ζ₂)

(ζ₂−z₂)(ζ₁−z₁)dζ₁dζ₂. 3. En d´eduire quef se prolonge en une fonction holomorphe sur B.

En particulier, cela montre que, contrairement `a ce qui se passe dans le cas d’une variable, une fonction holomorphe dedeux variables (ou plus) n’a pas de singularit´e isol´ee. Ce r´esultat, ant´erieur au th´eor`eme d’Hartogs, est dˆu `a Riemann. Hartogs a ´egalement prouv´e un r´esultat plus g´en´eral : siDest un domaine deCⁿ(n≥2), pour tout compactKinclus dansDtel queD\Ksoit connexe, on a Hol(D\K) = Hol(D).

Φ(z₁, z₂) =|z₁|²+|z₂|²−1 , Ψ(z₁, z₂) = Imz₂+|z₁|². 1. Soitp= (0,1) etq = (0,0) dansC². V´erifier quep∈∂B, q∈∂Ω etf(p) =q.

2. Soitv = (X₁, X₂, Y₁, Y₂)∈R⁴. D´eterminer dΦ_p(v) et dΨ_q(v).

3. Soitv = (Z₁, Z₂)∈C². D´eterminer ∂Φ_p(v) et∂Ψ_q(v).

On note T_p(∂B) = Ker(dΦ_p) l’espace tangent `a ∂B au point p, et T<sub>p</sub><sup>C</sup>(∂B) = Ker(∂Φ<sub>p</sub>) l’espace tangent complexe`a∂Bau pointp. On peut montrer que ces notions ne d´ependent pas du choix de la fonction d´efinissante Φ.

4. Donner les ´equations des espaces vectoriels T_p(∂B), T_p^C(∂B), T_q(∂Ω) et T_q^C(∂Ω). V´erifier queT_p^C(∂B) est un sous-espace vectoriel complexe (i.e.stable par multiplication par i) de T_p(∂B) et queT_q^C(∂Ω) est un sous-espace vectoriel complexe de T_q(∂Ω).

5. V´erifier que∂fp(T_p^C(∂B)) =T_q^C(∂Ω).