Chapitre 8 : Fonction de deux variables

Fonction de deux variables

Table des matières

1 Topologie de R² 2

1.1 L’ensembleR² . . . 2

1.2 Ouverts, fermés, bornés de R² . . . 3

2 Généralités sur les fonctions de deux variables 4 2.1 Définition . . . 4

2.2 Fonctions polynomiales . . . 4

2.3 Représentation graphique . . . 4

2.4 Continuité d’une fonction de deux variables . . . 6

3 Calcul différentiel d’ordre 1 6 3.1 Dérivées partielles d’ordre 1 . . . 6

3.2 Fonctions de classeC¹ . . . 8

4 Calcul différentiel d’ordre 2 8 4.1 Dérivées partielles d’ordre 2 . . . 8

4.2 Fonctions de classeC² . . . 9

4.3 Développement limité d’ordre 2 . . . 10

5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles 10 5.1 Définitions, premières propriétés . . . 10

5.2 Condition nécessaire d’extremum local . . . 13

5.3 Condition suffisante d’extremum local . . . 15

6 Annexe : Fonction de production de Cobb-Douglas 17

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1 Topologie de R

1.1 L’ensemble R²

On rappelle queR² désigne l’ensemble des couples (x, y) de réels.

Définition 1.1 : Distance euclidienne de deux points deR²

Soient A = (xA, yA) et B = (xB, yB) deux points de R². On appelle distance de Aà B le réel d(A, B) défini par :

d(A, B) = q

(xB−xA)²+ (yB−yA)². On note aussid(A, B) =d((xA, yA),(xB, yB)).

Propriété 1.2 : Propriétés des distances SoientA etB deux points deR², on a

• Séparation :

d(A, B) = 0 ⇐⇒ A=B.

• Symétrie :

d(A, B) =d(B, A).

• Inégalité triangulaire :

d(A, C)≤d(A, B) +d(B, C).

Définition 1.3 : Boules de R²

SoientA∈R² etr >0. On appelle boule ouverte de centreAet de rayon r l’ensemble B(A, r) =ⁿM ∈R²|d(A, M)< r^o.

De même, on appelle boule fermée de centreA et de rayon r l’ensemble Bf(A, r) =ⁿM ∈R²|d(A, M)≤r^o.

2

Définition 1.4 : Produit cartésien

SoientE etF sont deux parties de R, alors le produit cartésienE×F est la partie (ou sous-ensemble) deR² défini par :

E×F =ⁿ(x, y)∈R²|x∈E ety ∈F^o.

1.2 Ouverts, fermés, bornés de R²

Définition 1.5 : Ouvert de R²

SoitU une partie deR². On dit que U est une partie ouverte si pour tout A∈U, il existe r >0 tel que B(A, r)⊂U.

Exemple 1. L’ensemble R², toute boule ouverte et tout ensemble de la forme ]a, b[×]c, d[ (où a, b, c et d sont réels ou infinis), sont des ouverts de R².

Définition 1.6 : Fermé deR²

SoitU une partie deR². On dit queU est une partie fermée si U =R²\U est une partie ouverte.

Exemple 2. Toute boule fermée et tout ensemble de la forme [a, b]×[c, d] (où a, b, c et d sont réels ou infinis), sont des fermés deR².

Définition 1.7 : Borné de R²

SoitU une partie deR². On dit queU est une partie bornée s’il existe M >0 tel que

∀(x, y)∈U, x²+y² ≤M.

Autrement dit,U est bornée si elle est incluse dans une boule fermée de centre (0,0).

Exemple 3. Pour a, b,c et d réels, ]a, b[×]c, d[et [a, b]×[c, d]sont des ensembles bornés.

Exemple 4. Représenter les sous-ensembles suivants de R² et indiquer s’ils sont ouverts, fermés et/ou bornés.

1. C=ⁿ(x, y)∈R²|0< x <1 et 0< y <1^o. 2. D=ⁿ(x, y)∈R²|x²+y²≤1^o.

3. E=ⁿ(x, y)∈R²|x²+y²≤1 et x≥0^o. 4. F =ⁿ(x, y)∈R²|x²+y² >1 ou x >0^o. 5. G=ⁿ(x, y)∈R²|x−y≤1^o.

6. H=ⁿ(x, y)∈R²|0≤x≤1 et 0< y <1^o.

3

2 Généralités sur les fonctions de deux variables

2.1 Définition

Définition 2.1 : Fonction de deux variables

On appelle fonction de deux variables, toute fonctionf définie sur une partieU deR² à valeurs dansR: f : U ⊂R² → R

(x, y) 7→ f(x, y) Exemple 5. On définit les fonctions suivantes :

f : (x, y)7→ 1

1 +x²+y², g: (x, y)7→e^−(x+y)2, h: (x, y)7→x (ln(x))²+^py−2

Les fonctionsf etgsont des fonctions deR² dansR, à chaque couple (x, y) deR², elles associent un nombre réel. La fonction h est une fonction définie sur R^∗+×[2,+∞[ à valeurs dansR.

Exemple 6. En économie, les fonctions de production de Cobb-Douglas, sont les fonctions qui, à deux variables réelles (la quantité de travailL et le capital investi K), associent la production totalef définie par :

f(L, K) =c L^αK^1−α, avec α, c >0.

Dans le cadre du modèle de la concurrence pure et parfaite,α correspond à la répartition des revenus entre le travail et le capital.

2.2 Fonctions polynomiales

Définition 2.2 : Fonction polynomiale

On appelle fonction monôme deR² dansRtoute fonction de la forme (x, y)7→a xⁱy^j, avec a∈Ret i, j∈N.

On appelle fonction polynomiale deR² dansR toute somme finie de fonctions monômes.

Exemple 7. (x, y)7→x²y+y³−2xy²+ 5x−3 est une fonction polynomiale.

2.3 Représentation graphique

Définition 2.3 : Graphe

Soitf une fonction de deux variables définie surU ⊂R². On appelle graphe de f l’ensemble des points de l’espace R³ défini par :

{(x, y, z)∈U ×R|z=f(x, y)}

Remarque 2.4 : Nappe

Le graphe d’une fonction deR² dans Rest une surface (ou nappe) de l’espace R³ usuel. Cette nappe a pour équationz=f(x, y).

4

Méthode 2.5 : Comment tracer une nappe avecf plot3d?

On construit le vecteurxdes abscisses et le vecteurydes ordonnées, on déclare la fonctionfdont on veut tracer la nappe, puis on utilise la commandefplot3d(x,y,f).

Exemple 8. Tracer dans Scilab la fonctionf : (x, y)7→x³−4x y² sur [−1,1]². --> function z=f(x,y); z=x^3-4*x*y^2, endfunction

--> x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1; fplot3d(x,y,f)

Définition 2.6 : Ligne de niveau

Soitf une fonction de deux variables définie surU ⊂R². Pour λ∈R, on appelle ligne de niveauλde f, l’ensemble des points de l’espaceR² défini par :

{(x, y)∈U|λ=f(x, y)}

Les lignes de niveau d’une fonction deU ⊂R² dansRsont des courbes.

Exemple 9. Si f désigne l’altitude au point de coordonnées (x, y), sur les cartes topographiques, les lignes de niveaux def représentent l’altimétrie.

5

2.4 Continuité d’une fonction de deux variables

Définition 2.7 : Continuité en un point de R²

Soitf :U →Rune fonction définie sur une partieU deR² etM₀∈U. On dit quef est continue en M₀si f(M) −→

M→M0

f(M0).

Autrement dit si

∀ >0,∃α >0 tel que ∀M ∈U, on a d(M, M0)< α⇒ |f(M)−f(M0)| ≤.

Définition 2.8 : Continuité

On dit quef est continue sur une partie U de R² lorsquef est continue en tout point deU.

Propriété 2.9 : Continuité et opérations

• Les fonctions coordonnées (x, y)7→x et (x, y)7→y sont continues surR².

• Toute fonction polynomiale deR² dansRest continue sur R².

• Soientf, g deux fonctions continues définies sur une partie U deR² etλ∈R, alors λf,f+g,f g et f

g (sig ne s’annule pas sur U) sont continues surU.

Propriété 2.10 : Continuité et composition

Soientf une fonction continue sur une partieU deR² et à valeurs dans I ⊂Ret ϕ:I →R une fonction continue, alorsϕ◦f est continue sur U.

Exemple 10. Montrer que la fonction f définie par f(x, y) = ln 1 +x²+e^y est continue sur R².

3 Calcul différentiel d’ordre 1

3.1 Dérivées partielles d’ordre 1

Définition 3.1 : Dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la première variable en un point de R² Soitf une fonction de U ⊂R² dans R. Pour (x0, y0) ∈ U, si la fonctiong :x 7→ f(x, y0) est dérivable en x₀, alors on dit que f est dérivable par rapport à la première variable en (x₀, y₀). On note alors la dérivée partielle d’ordre 1 def par rapport à la première variable en (x₀, y₀) par :

∂₁(f)(x₀, y₀) =g⁰(x₀).

Remarque 3.2 : Dérivée partielle d’ordre1 par rapport à la deuxième variable en un point de R² De même, on définit la dérivée partielle d’ordre 1 def par rapport à la deuxième variable en (x₀, y₀) par

∂2(f)(x0, y0).

Exemple 11. Soitf la fonction définie sur R² parf(x, y) =y e^−x2−y. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de f.

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Définition 3.3 : Dérivée partielle d’ordre 1

Sif est dérivable en tout point d’une partieU de R², on note∂1(f) la fonction définie sur U par

∂1(f) : U → R

(x, y) 7→ ∂₁(f)(x, y)

De même, on note∂₂(f) la fonction définie surU par : (x, y)7→∂₂(f)(x, y).

Méthode 3.4 : Comment calculer des dérivées partielles d’ordre1?

• Pour dériver une fonctionf de deux variables par rapport à la première variable, on fixe la variable y(qui joue alors le rôle d’une constante), puis on dérive par rapport àx. On obtient ainsi la dérivée partielle def par rapport à x, que l’on note ∂1(f).

• De même, pour∂₂(f) en échangeant les rôles des variables xet y.

Exemple 12. Soit f la fonction définie sur R² par f(x, y) = 2x³ −x²y+ 5xy−7. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de f.

Définition 3.5 : Gradient de f

On appelle gradient def en (x, y) le vecteur de M_2,1(R) défini par

∇(f)(x, y) = ∂1(f)(x, y)

∂₂(f)(x, y)

! . On lit "nabla def en (x, y)".

Propriété 3.6 : Vecteurs gradients et lignes de niveau Les vecteurs gradients sont orthogonaux aux lignes de niveau.

Exemple 13. function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction;

x=linspace(0.5,2,101);y=linspace(-2,2,101);contour(x,y,f,[0:0.5:10]);

xarrows([1;1.5],[0;0]);

7

3.2 Fonctions de classe C¹ Définition 3.7 : Classe C¹

On dit que f est de classeC¹ sur une partie U de R², si f admet des dérivées partielles sur U et que

∂1(f) et∂2(f) sont continues sur U.

Proposition 3.8 : Continuité d’une fonction de classe C¹ Toute fonction de classe C¹ surU est continue surU.

Propriété 3.9 : Fonction polynomiale

Toute fonction polynomiale de R² dansR est de classeC¹ surR².

Propriété 3.10 : Classe C¹ et opérations

Les sommes, combinaisons linéaires, produits et quotients bien définis de fonctions de classeC¹ sur U, sont de classeC¹ surU.

Propriété 3.11 : Classe C¹ et composition

Soient f une fonction de classe C¹ sur une partie U deR² et à valeurs dans I ⊂R et ϕ :I → R une fonction de classeC¹, alorsϕ◦f est de classeC¹ sur U.

4 Calcul différentiel d’ordre 2

4.1 Dérivées partielles d’ordre 2

Définition 4.1 : Dérivées partielles d’ordre 2

Soitf une fonction admettant des dérivées partielles d’ordre 1 surU ⊂R².

• Si∂1(f) admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la première variable surU, alors on dit quef possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la première variable sur U, et on la note

∂_1,1² (f) =∂1(∂1(f)).

• Si ∂1(f) admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la deuxième variable sur U, alors on dit quef possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la première variable puis par rapport à la deuxième variable surU, et on la note

∂_2,1² (f) =∂₂(∂₁(f)).

• De même, on définit :

∂²_1,2(f) =∂1(∂2(f)) et ∂_2,2² (f) =∂2(∂2(f)).

Exemple 14. Reprenonsf la fonction définie sur R² par f(x, y) =y e^−x2−y. Calculer les dérivées partielles d’ordre2 de f.

Méthode 4.2 : Comment calculer des dérivées partielles d’ordre2?

Soitf :U ⊂R² →Radmettant une dérivée partielle première suivant la première et deuxième variable.

• Pour calculer∂_1,1² (f) et ∂_2,1² (f) :

- On calcule d’abord∂₁(f) qui est une fonction de deux variables.

- On calcule ensuite la dérivée partielle d’ordre 1 de∂1(f) par rapport à xpour obtenir ∂_1,1² (f) et par rapport à y pour obtenir∂_2,1² (f).

• Pour calculer∂_2,1² (f) et ∂_2,2² (f) :

- On calcule d’abord∂2(f) qui est une fonction de deux variables.

- On calcule ensuite la dérivée partielle d’ordre 1 de∂₂(f) par rapport à xpour obtenir ∂_1,2² (f) et par rapport à y pour obtenir∂_2,2² (f).

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Méthode 4.2 : Comment calculer des dérivées partielles d’ordre2?

Soit f :U ⊂R²→Radmettant une dérivée partielle première suivant la première et deuxième variable.

• Pour calculer ∂²_1,1(f) et ∂_2,1² (f) :

- On calcule d’abord∂1(f) qui est une fonction de deux variables.

- On calcule ensuite la dérivée partielle d’ordre 1 de∂₁(f) par rapport à x pour obtenir∂_1,1² (f) et par rapport ày pour obtenir∂_2,1² (f).

• Pour calculer ∂²_2,1(f) et ∂_2,2² (f) :

- On calcule d’abord∂₂(f) qui est une fonction de deux variables.

- On calcule ensuite la dérivée partielle d’ordre 1 de∂₂(f) par rapport à x pour obtenir∂_1,2² (f) et par rapport ày pour obtenir∂_2,2² (f).

Exemple 15. Reprenonsf la fonction définie surR² parf(x, y) = 2x³−x²y+ 5xy−7. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de f.

Définition 4.3 : Matrice hessienne

On appelle matrice hessienne def en (x, y) la matrice deM₂(R) définie par

∇²(f)(x, y) = ∂_1,1² (f)(x, y) ∂_1,2² (f)(x, y)

∂_2,1² (f)(x, y) ∂_2,2² (f)(x, y)

! . On lit "nabla deux def en (x, y)".

4.2 Fonctions de classe C² Définition 4.4 : Classe C²

On dit quef est de classeC² sur une partieU deR², si f admet des dérivées partielles d’ordre 2 surU et que chacune de ces quatre dérivées partielles est continue sur U.

Proposition 4.5 : Classe C¹ d’une fonction de classe C² Toute fonction de classe C² surU est de classeC¹ sur U.

Propriété 4.6 : Fonction polynomiale

Toute fonction polynomiale de R² dansR est de classeC² surR².

Propriété 4.7 : Classe C² et opérations

Les sommes, combinaisons linéaires, produits et quotients bien définis de fonctions de classeC² sur U, sont de classeC² surU.

Propriété 4.8 : Classe C² et composition

Soient f une fonction de classe C² sur une partie U deR² et à valeurs dans I ⊂R et ϕ :I → R une fonction de classeC², alorsϕ◦f est de classeC² sur U.

Théorème 4.9 : Théorème de Schwarz

Sif une fonction de classe C² surU ⊂R², alors

∀(x, y)∈U, ∂_2,1² (f)(x, y) =∂_1,2² (f)(x, y).

9

Théorème 4.9 : Théorème de Schwarz

Sif une fonction de classe C² sur U ⊂R², alors

∀(x, y)∈U, ∂_2,1² (f)(x, y) =∂_1,2² (f)(x, y).

Remarque 4.10 : Matrice hessienne symétrique pour une fonction de classe C²

Si f une fonction de classe C² surU ⊂R², sa matrice hessienne en tout point (x, y) deU est symétrique.

4.3 Développement limité d’ordre 2

Définition 4.11 : Développement limité d’ordre 2 d’une fonction de deux variables Soientf :U →Rune fonction de classe C² et (x₀, y₀)∈U.

On appelle développement limité d’ordre 2 def en (x0, y0), l’égalité suivante : pour tout (x, y)∈U f(x, y) = f(x0, y0) +∂1(f)(x0, y0) (x−x0) +∂2(f)(x0, y0) (y−y0)

+ 1

2

∂_1,1² (f)(x₀, y₀)(x−x₀)²+ 2∂_1,2² (f)(x₀, y₀)(x−x₀)(y−y₀) +∂_2,2² (f)(x₀, y₀)(y−y₀)² + (x−x0)²+ (y−y0)²ε(x, y)

oùεdésigne une fonction continue qui s’annule en (x₀, y₀).

Proposition 4.12 : Développement limité d’ordre 2 d’une fonction de deux variables

Le développement limité d’ordre 2 def en M₀= (x₀, y₀) est unique. On peut également l’écrire f(M) =f(M0) +^t∇(f)(M0).(M −M0) +1

2

t(M −M0)∇²(f)(M0) (M−M0) +d M0, M²ε(M) oùεdésigne une fonction continue qui s’annule en M₀.

5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles

5.1 Définitions, premières propriétés

Définition 5.1 : Minimum global

Soitf :U →R. On dit que (x₀, y₀)∈U est un minimum global pourf si

∀(x, y)∈U, f(x, y)≥f(x₀, y₀).

Exemple 16. On définit la fonction f sur [−1,1]² par

∀(x, y)∈[−1,1]², f(x, y) =x²+y². On observe que f admet un minimum global en(0,0)sur [−1,1]².

function [z]=F(x,y), z=x^2 + y^2, endfunction;

x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F);

10

Définition 5.2 : Maximum global

Soitf :U →R. On dit que (x₀, y₀)∈U est un maximum global pourf si

∀(x, y)∈U, f(x, y)≤f(x₀, y₀). Exemple 17. On définit la fonction f sur [−1,1]² par

∀(x, y)∈[−1,1]², f(x, y) =−(x²+y²).

On observe que f admet un maximum global en (0,0)sur [−1,1]². function [z]=F(x,y), z=-(x^2 + y^2), endfunction;

x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F);

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Définition 5.3 : Minimum local

Soitf :U →R. On dit que (x0, y0)∈U est un minimum local pour f s’il existe r >0 tel que

∀(x, y)∈B((x₀, y₀), r)∩U, f(x, y)≥f(x₀, y₀).

Exemple 18. On définit la fonction f sur [−1,4]² par

∀(x, y)∈[−1,4]², f(x, y) = 3(x⁴+y⁴)−16(x³+y³) + 18(x²+y²).

On observe que f admet un minimum global sur [−1,4]², ainsi que plusieurs minima locaux.

function [z]=F(x,y), z=3*x^4-16*x^3+18*x^2+3*y^4-16*y^3+18*y^2, endfunction;

x=linspace(-1,4,31); y=linspace(-1,4,31); fplot3d(x,y,F);

Minima locaux Minimum global

Définition 5.4 : Maximum local

Soitf :U →R. On dit que (x0, y0)∈U est un maximum local pour f s’il existe r >0 tel que

∀(x, y)∈B((x₀, y₀), r)∩U, f(x, y)≤f(x₀, y₀).

Remarque 5.5 : Extremum local

Contrairement à un extremum local, l’inégalité est vraie sur tout U pour un extremum global. Un extremum global est également un extremum local.

Exemple 19. On définit la fonction f sur [−1,1]² par

∀(x, y)∈[−1,1]², f(x, y) =x²−y². On observe que f admet un point selle en (0,0).

function [z]=F(x,y), z=x^2 - y^2, endfunction;

x=linspace(-1,1,31); y=linspace(-1,1,31); fplot3d(x,y,F);

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Théorème 5.6 : Fonction continue sur un fermé borné

Une fonction continue sur une partieU fermée et bornée de R² est bornée sur U et elle atteint ses bornes (i.e.il existe un maximum global et un minimum global).

Remarque 5.7 : Théorème des bornes

Ce théorème rappelle le théorème des bornes pour des fonctions de R dans R : "Toute fonction d’une variable continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes".

5.2 Condition nécessaire d’extremum local

Définition 5.8 : Point critique

Soit f une fonction admettant des dérivées partielles d’ordre 1 sur U. On dit que (x, y) ∈ U est un point critique def surU si

∇(f)(x, y) = 0 0

! .

Exemple 20. Pour (x, y)∈R², on considère f(x, y) =x²+y². La fonction f est une fonction polynomiale et est donc de classe C¹ sur R². Ainsi pour(x, y)∈R²

∂₁(f)(x, y) = 2x et ∂₂(f)(x, y) = 2y.

Puisque ∇(f)(0,0) = 0 0

!

, le point (0,0)est un point critique de f sur R².

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Proposition 5.9 : Condition nécessaire d’extremum local Soit une fonctionf de classeC¹ sur un ouvertU de R².

M est un extremum (local ou global) de f surU ⇒ M est un point critique de f.

Remarque 5.10 : Attention !

La réciproque de cette proposition est fausse.

Exemple 21. Pour (x, y)∈R², on considère f(x, y) =x³. Alors pour tout (x, y)∈R²,

∇(f)(x, y) = 2x² 0

! .

Ainsi (0,0)est un point critique, cependant (0,0)n’est pas un extremum local.

Remarque 5.11 : L’ensemble de départ doit être un ouvert pour appliquer la proposition précédente Si U n’est pas un ouvert, alorsf peut avoir un extremum (local ou global) en un point autre qu’un point critique.

Exemple 22. Pour (x, y)∈[0,1]×[0,1], on considère f(x, y) =x+y. Alors pour tout (x, y)∈[0,1]×[0,1], f(x, y)≤f(1,1).

(1,1)est donc un maximum global pour f sur U, cependant on a ∇(f)(1,1) = 1 1

! .

Méthode 5.12 : Comment trouver les points critiques ?

Soitf de classeC¹ sur un ouvertU. On résout le système pour (x, y)∈U

∇(f)(x, y) = 0⇔

(∂1(f)(x, y) = 0,

∂₂(f)(x, y) = 0 .

Les solutions (ce sont les points critiques de f) sont les seuls points en lesquels f peut admettre un extremum (à vérifier ensuite).

Exemple 23. Déterminer les points critiques de la fonction f définie sur R^∗₊×R par f(x, y) =x ln²(x) +y².

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5.3 Condition suffisante d’extremum local

Proposition 5.13 : Condition suffisante d’extremum local

Soit une fonctionf de classeC² sur un ouvertU de R² et (x₀, y₀) un point critique def surU. Soient λ₁ etλ2 les valeurs propres de∇²(f)(x0, y0), on a 3 cas :

λ₁>0 etλ₂ >0 ⇒ f admet un minimum local en (x₀, y₀).

λ₁ <0 et λ₂ <0 ⇒ f admet un maximum local en (x₀, y₀).

λ₁ etλ₂ sont non nulles et de signes opposés ⇒ f n’a pas d’extremum en (x₀, y₀) :

le point (x₀, y₀) est un point col (ou point selle).

Démonstration. Voici une idée de la preuve de cette proposition :

Comme (x₀, y₀) est un point critique de f, le développement limité d’ordre 2 de f en (x₀, y₀) s’écrit avec εdésigne une fonction continue qui s’annule en (x0, y0)

f(x, y)−f(x0, y0) = 1 2

t x−x₀ y−y0

!

∇²(f)(x0, y0) x−x₀ y−y0

!

+d (x0, y0),(x, y)²ε(x, y)

Comme la fonctionfest de classeC²en (x0, y0), la matrice∇²(f)(x0, y0) est donc symétrique. Par conséquent, la matrice∇²(f)(x₀, y₀) est diagonalisable, il existe donc une matriceP inversible et une matriceDdiagonale telles que

∇²(f)(x0, y0) =P DP⁻¹ =P λ₁ 0 0 λ2

! P⁻¹

Les valeurs propresλ₁ etλ₂ permettent alors de déterminer localement autour du point (x₀, y₀) le signe de f(x, y)−f(x₀, y₀).

Remarque 5.14 : Valeur propre de la hessienne nulle

Si une valeur propre de∇²(f)(x₀, y₀) est nulle, on ne peut rien déduire de l’étude de la hessienne.

Remarque 5.15 : Extremum local pas nécessairement global

Attention, cette proposition énonce des conditions suffisantes pour qu’un point critique de f soit un extremum local, mais cela ne prouve pas que cet extremum est global.

Méthode 5.16 : Comment savoir si f a un extremum local en un point critique ?

Pour vérifier si un point critique (x0, y0) d’une fonction f de classe C² est un extremum local, il faut calculer les dérivées partielles secondes def en (x₀, y₀). Puis on forme la matrice hessienne def en (x₀, y₀)

∇²(f)(x0, y0) = ∂_1,1² (f)(x₀, y₀) ∂_1,2² (f)(x₀, y₀)

∂_2,1² (f)(x0, y0) ∂_2,2² (f)(x0, y0)

! .

On détermine les valeurs propres de∇²(f)(x₀, y₀), puis on utilise la proposition précédente pour déterminer si (x0, y0) est un extremum local.

Exemple 24. On reprend l’exemple précédent :

∀(x, y)∈R^∗₊×R, f(x, y) =xln²(x) +y². Déterminer si les points critiques (1,0) et e⁻²,0sont des extrema locaux.

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Méthode 5.17 : Comment montrer qu’un extremum est global ?

Soitf une fonction définie sur une partieU deR². Pour montrer que f a un maximum global en un point (x₀, y₀) de U, il suffit de montrer que pour tout (x, y)∈U, on a

f(x, y)≤f(x0, y0).

De même pour un minimum global, il faut montrer que pour tout (x, y)∈U, on a f(x, y)≥f(x₀, y₀).

Exemple 25. On reprend l’exemple précédent :

∀(x, y)∈R^∗₊×R, f(x, y) =xln²(x) +y². Déterminer si (1,0)est un minimum global de f.

Exemple 26. Une société fabrique des pièces mécaniques. Cette fabrication dépend de deux paramètres indépendants strictement positifs, x et y. Le coût unitaire d’une pièce est donné par la fonction c

∀(x, y)∈(R^∗+)², c(x, y) = 2x²+y². Le taux de pièces défectueuses est donné par la fonction τ :

∀(x, y)∈(R^∗+)², τ(x, y) = 1 1 +x²y².

Le but de cet exercice est de maximiser le processus de fabrication de ces pièces. Pour ce faire, on cherchera à minimiser la fonctionf égale au coût unitaire moyen d’une pièce, c’est-à-dire le rapport du coût unitaire d’une pièce par le taux de pièces non défectueuses :

∀(x, y)∈(R^∗+)², f(x, y) = c(x, y)

1−τ(x, y) = 2

y² + 2x²+ 1 x² +y².

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6 Annexe : Fonction de production de Cobb-Douglas

Contexte

En 1928, Cobb et Douglas ont cherché une fonctionf de classe C¹ définie de (R^∗+)² à valeurs dansR^∗+, qui caractérise la production d’un système économique en fonction du travailL et du capital investi K :

(L, K)7→f(L, K).

Nous recourons aux dérivées partielles pour expliquer comment la forme particulière de leur modèle provient de certaines hypothèses.

• La dérivée partielle∂₁(f)(L, K) est le taux de variation de la production par rapport à la quantité de main d’oeuvreL. On l’appelle productivité marginale du travail. C’est la variation de la production engendrée par l’ajout d’un travailleur supplémentaire.

• De même, la dérivée partielle ∂₂(f)(L, K) est le taux de variation de la production par rapport au capital K. On l’appelle productivité marginale du capital. C’est la variation de la production engendrée par l’utilisation d’une unité de capital supplémentaire .

Les hypothèses de Cobb et Douglas s’énoncent comme suit.

(i) Production nulle sans apport : si le travail ou le capital s’annule, alors la production s’annule aussi.

Par conséquent,

∀(L, K)∈(R^∗+)², lim

x→0⁺f(x, K) = lim

y→0⁺f(L, y) = 0.

(ii) Productivité marginale du travail : la productivité marginale du travail est proportionnelle à la pro- duction par unité du travail. Il existe doncα >0 tel que

∀(L, K)∈(R^∗+)², ∂₁(f)(L, K) =αf(L, K)

L .

(iii) Productivité marginale du capital : la productivité marginale du capital est proportionnelle à la production par unité du capital. Il existe doncβ >0 tel que

∀(L, K)∈(R^∗₊)², ∂₂(f)(L, K) =βf(L, K)

K .

(iv) Rendements d’échelle constants : si le travail et le capital augmentent d’un même facteurm >0, alors la production augmente aussi du facteurm :

∀(L, K)∈(R^∗₊)², f(mL, mK) =m f(L, K).

Cette dernière contrainte n’est pas toujours vérifiée ; quand elle ne l’est pas, on parle de Cobb-Douglas généralisé.

Les hypothèses (ii) et (iii) ont été motivées par la constatation de Paul Douglas que la part du revenu du travail (α ≈0.7) dans le revenu total (somme de la rémunération des travailleurs et du capital) était demeurée constante sur une longue période. En d’autres termes, à mesure que l’économie croissait, le revenu des travailleurs et des détenteurs du capital augmentait approximativement au même rythme. Douglas a donc demandé à Cobb de construire une fonction de production conduisant à des parts distributives constantes lorsque chacun des facteurs était rémunéré à hauteur de sa productivité marginale. Une telle fonction de production devrait avoir les propriétés suivantes :

revenu du travail =L×production marginale du travail =α f(L, K), revenu du capital =K×production marginale du capital = (1−α)f(L, K).

Ainsi construite, la fonction de Cobb-Douglas met en avant que les parts distributives des facteurs ne dépendent que du paramètreα et non des volumes de capital et de travail utilisés.

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Questions

1. On suppose le capital fixé égal àK₀. En utilisant l’hypothèse(ii), montrer qu’il existe un réelα >0 et une fonctionϕ1 vérifiant :

∀L∈R^∗₊, f(L, K₀) =L^αϕ₁(K₀).

2. On suppose le travail fixé égal àL₀. En utilisant l’hypothèse(iii), montrer qu’il existe un réelβ >0 et une fonctionϕ₂ vérifiant :

∀K ∈R^∗+, f(L₀, K) =K^αϕ₂(L₀).

3. Montrer qu’une fonction de production de Cobb-Douglas vérifiant les quatres hypothèses(i), (ii), (iii)et(iv) ci-dessus s’écrit :

∀(L, K)∈(R^∗+)², f(L, K) =c L^αK^1−α, pour des valeurs de α que l’on précisera.

Corrigé

1. On noteg la fonction L7→f(L, K0). Commef est de classe C¹ sur (R^∗+)², g est de classeC¹ surR^∗+. D’après l’hypothèse (ii), il existeα >0 tel que

∀L∈R^∗₊, g⁰(L) =αg(L) L .

Commef ne s’annule pas sur (R^∗₊)²,g ne s’annule pas surR^∗₊, ainsi∀L∈R^∗₊, g⁰(L)

g(L) =α1

L ⇔ (ln(g(L)))⁰ =α(ln(L))⁰= (ln (L^α))⁰

⇔ ∃C_K0 >0 tel que ln(g(L)) = ln (L^α) +CK0

Doncg(L) =L^αe^CK0, il existe donc une fonctionϕ1 telle que

∀L∈R^∗₊, f(L, K₀) =L^αϕ₁(K₀).

2. On note h la fonctionK 7→ f(L₀, K). Comme f est de classeC¹ sur (R^∗+)²,h est de classeC¹ sur R^∗+. D’après l’hypothèse (iii), il existe β >0 tel que

∀K∈R^∗+, h⁰(K) =αh(K) K .

Commef ne s’annule pas sur (R^∗₊)²,h ne s’annule pas surR^∗₊, ainsi∀K ∈R^∗₊, h⁰(L)

h(L) =β 1

K ⇔ (ln(h(L)))⁰=β(ln(K))⁰=lnK^β0

⇔ ∃C_L0 >0 tel que ln(h(K)) = lnK^β+C_L0 Donch(K) =K^βe^CL0, il existe donc une fonctionϕ₂ telle que

∀K ∈R^∗+, f(L₀, K) =K^βϕ₂(L₀).

3. D’après les questions précédentes, pour tout (L, K)∈(R^∗₊)², f(L, K) =L^αϕ1(K) =K^βϕ2(L).

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Pour K= 1, ϕ2(L) =L^αϕ1(1) on a et, pourL= 1, on a ϕ1(K) =K^βϕ2(1) ; donc f(L, K) =ϕ2(1)L^αK^β =ϕ1(1)L^αK^β.

Il existe donc une constantec >0 telle que

∀(L, K)∈(R^∗+)², f(L, K) =c L^αK^β.

D’après l’hypothèse (iv), on a f(mL, mK) =m f(L, K), ce qui se traduit par :

∀(L, K)∈(R^∗₊)², f(mL, mK) =c m^α+βL^αK^β =c m L^αK^β. Doncα+β= 1. Ainsi

∀(L, K)∈(R^∗+)², f(L, K) =c L^αK^1−α.

Précisons l’ensemble des valeurs deα pour les quelles cette relation est vérifiée ; l’hypothèse(i) nous informe que

∀(L, K)∈(R^∗₊)², lim

x→0⁺f(x, K) = lim

y→0⁺f(L, y) = 0.

Donc

∀(L, K)∈(R^∗+)², lim

x→0⁺c x^αK^1−α= lim

y→0⁺c L^αy^1−α = 0.

Il faut donc queα et 1−α soient strictement positifs ; il en résulte queα∈]0,1[.

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