Chapitre 10 – Primitives Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 10 – Primitives
I. Définition et propriétés
Définition : Une primitive d’une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que ┐x☻I, F′(x)=f(x).
Exemples : les fonctions x→x3
3 et x→x3
3+5 sont des primitives sur IR de la fonction carré.
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors f est une primitive de f ’ sur I.
Théorème (admis provisoirement) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Propriété : Si F est une primitive de f sur un intervalle I alors toute autre primitive de f sur I s’obtient en ajoutant une constante réelle c à cad toute autre primitive de f sur I s’écrit sous la forme F+c où c☻IR.
Propriété : Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit x0 ☻I , y0 ☻IR.
Il existe une unique primitive F de f sur I telle que F
( )
x0 =y0.II. Primitives usuelles et opérations
Fonction Une primitive validité
f(x)=a avec a☻IR F(x)=a x IR
f(x)=xn avec n☻IN F(x)= 1
n+1xn+1 IR
f(x)=1
x F(x)=ln(x) ]0;+õ[
f(x)= 1
xn avec nÃ2 F(x)=- 1
(n−1)xn−1 ]-õ;0[ ou ]0;+õ[
f(x)= 1
x F(x)=2 x ]0;+õ[
f(x)=cos(x) F(x)=sin(x) IR
f(x)=sin(x) F(x)=-cos(x) IR
f(x)=1+tan2(x) = 1
cos2(x) F(x)=tan(x)
(2k−1)π
2 ;(2k+1)π
2 avec k☻ZZ
f(x)=ex F(x)=ex IR
Soit u et v deux fonctions admettant des primitives respectives U et V sur un intervalle I et g une fonction admettant une primitive G sur un intervalle J, contenant l’intervalle u(I)
Fonction Une primitive validité
f=αu+βv avec α et β réels F=αU+βV Sur I
f=u′×g o u F=Go u Sur I
f=u′un avec n☻IN F= 1
n+1un+1 Sur I
f=u′
u F=ln
( | |
u)
Sur {x☻I / u(x)ý0}f= u′
un avec nÃ2 F= -1
(n−1)un−1 Sur {x☻I / u(x)ý0}
f= u′
u F=2 u Sur {x☻I / u(x)>0}
f=u′cos(u) F=sin(u) Sur I f=u′sin(u) F=-cos(u) Sur I
f=u′eu F=eu Sur I
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III. Exercices
Exercice 1 :
Vérifier dans chacun des cas suivants que F est une primitive de f sur l’intervalle donné : (a) sur IR : f(x)=-10x+8 et F(x)=-5x2+8x−17
(b) sur ]2;+õ[ , f(x)= 8
(x−2)2 et F(x)=-5x+2 x−2 . (c) sur ]-õ;0[ , f(x)=1
x et F(x)=ln(-x) Exercice 2 :
Justifier que les fonctions suivantes admettent des primitives sur IR puis déterminer ces primitives sur IR : f:x→-7 ; f:x→x3 ; f:x→3ex−4x−2 cos(x)
Exercice 3 :
Déterminer la primitive F de f sur I vérifiant la condition indiquée :
f:x→4x3−4x+2 I=IR F(-1)=0 ; f:x→3x+1+5
x2 I=]-õ;0[ F(-2)=1 Exercice 4 :
Justifier que les fonctions suivantes admettent des primitives sur IR puis déterminer ces primitives sur IR : f:x→ (2x−3)
(
x2−3x+3 ;)
f:x→ x3(
x4−1)
2; f:x→ (x−1)(x+1) ; f:x→ 3 sin(3x);f:x→ cos(2x)
5 −2 sin(x) ; f:x→ sin(x)cos(x); f:x→ 5xex2 Exercice 5 :
Justifier que les fonctions suivantes admettent des primitives sur l’intervalle I proposé puis déterminer ces primitives sur I : f:x→ 2x
x2−1 I=]-õ;-1[ ; f:x→ 3x+3
(
x2+2x−3)
2 I=]1;+õ[;f:x→ 3x2+4x−2
x4 I=]-õ;0[ ; f : x→-3
x I=]0;+õ[
f:x→ 5x
3x2+5 I=IR; f : x→ -4x−2
x2+x+1 I=IR f:x→ sin(x)
cos2(x) I=
0;π
2 ; f:x→ 1 (2x+1)2e
1
2x+1 I=
-1
2;+õ .
f : x→tanx I=
-π 2;π
2 ; f : x→ln(x)
x I=]0;+õ[
Exercice 6 :
1. Soit f la fonction définie sur IR\
-1
2 par f(x)= 3x+1 (2x+1)2. (a) Déterminer deux réels a et b tels que ┐x☻IR\
-1
2 , f(x) = a
2x+1+ b
( 2x+1 )2 (b) En déduire la primitive F de f sur
-1
2;+õ telle que F(0)=1.
2. Soit g la fonction définie sur IR\{1} par g(x)=x2−2x (x−1)2.
(a) Déterminer deux réels a et b tels que ┐xý1, g(x)=a+ b (x−1)2. (b) En déduire la primitive G de g (sur ]1;+õ[) telle que G(2)=1
