Les formules Soit une fonction continue. Le tableau suivant donne les primitives des fonctions composées à partir de , sur un intervalle compatible et sous certaines conditions : Fonction

Terminale – spécialité mathématique − 2020 / 21 A7− cours

Les formules

Soit u une fonction continue.

Le tableau suivant donne les primitives des fonctions composées à partir de u , sur un intervalle compatible et sous certaines conditions :

Fonction ƒ Primitives F de ƒ Conditions et intervalle

( ax + b )

1

a ( n ⁺ 1) ( ax + b )

+ k n ? 0 et a ' 0, sur R

u’u

¹

n +1 u

+ k n ? 0, sur R

u ′

u

1

( n

1) u

⁺ k n ? 2 et u ( x ) ne s’annule pas

u ’

u ² u + k u ( x ) > 0

u’

u

ln u + k , si u ( x ) > 0

ln ( − u ) + k , si u ( x ) < 0 u ne s’annule pas

1 ax ⁺ b

1

a ^ln( ax + b ) + k ou 1

a ^{ln( −} ax ⁻ b ) + k

sur un intervalle où ax + b garde un signe constant

u ’ e

e

+ k _R

e

¹

a e

+ k a ' 0, sur R

cos ( ax + b ) 1

a ^{sin (} ax + b ) + k a ' 0, sur R

sin ( ax + b ) − 1

a ^{cos (} ax + b ) + k a ' 0, sur R

Exercice 1

ƒ ( x ) = ( x

+ 1)( x

+ 3 x + 1)

Posons u ( x ) = ………., on a alors u ’( x ) = ……….. et ainsi x

+ 1 = ……. u ’( x ) Donc ƒ ( x ) = ……….

Et les primitives de ƒ sont : F( x ) = ………

Exercice 2

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

a ( x ) = x

( ^x

^{− 1} )

sur ]1 ; +o[.

b ( x ) = xe

sur R.

c ( x ) =

x ( ^{2 x}

^{+ 1} )

x

⁺ x

⁺ 1 sur R.

d ( x ) = 1

2 x ⁻ 1 sur ] 1

2 + +o[.

e ( x ) = e

sur R.

ƒ ( x ) = (2 − x )( x

⁻ 4 x + 1)

sur R.

g ( t _{) =} ¹ _{π sin (4} t ₊ ^π

4 ) sur R.

h ( x ) = e

x sur ]0 ; +o[.

i ( x _{) =} ¹

3 (4 − 5 x )

sur R j ( x ) = x

1 − x

sur ]1 ; +o[.

k ( x ) = 5 x

( ^x

^{+ 4} )

sur [0 ; +o[.

l ( x ) = e

e

⁻ 3 sur ] ln3

2 ; +o[.

m ( t ) = 2 cos ( π t ^{− π}

2 ) sur R.

n ( x ) = x ⁻ 1

x

⁻ 2 x ⁺ 3 sur R.

p ( x ) = e

( e

⁻ 2)

sur R.

q ( x ) = ln x

x sur ]0 ; +o[.