2. La fonction racine carrée est continue dans R

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Problème 1.

1. Il s'agit d'une application immédiate des propositions relatives aux opérations sur les fonctions admettant des limites nies.

2. La fonction racine carrée est continue dans R

⁺

. D'après les propriétés de la fonction partie entière, elle est réglée. Les points de discontinuités de f

r

sont les x tels que r √

x soit entier c'est à dire tous les x de la forme

n

²

r

²

avec n ∈ N Pour chaque point de discontinuité, le saut est +1 .

3. La question précédente permet de former les discontinuités de chaque fonction : fonction discontinuités coecient

f

a

2 8 2

f

b

1 ( √

2 − 1)

²

-1

f

_c

1 4 9 -1

On range les points de discontinuité par ordre croissant : 1 < 2 < 4 < 1

( √

2 − 1)

²

< 8 < 9

Entre deux discontinuités, la fonction g est constante. À chaque traversée d'une dis- continuité, la fonction f

r

correspondante augmente de 1. On obtient le graphe de g en partant de l'origine et en reportant les sauts en tenant compte du signe et du coecient (voir gure 1).

4. Par dénition d'une partie entière : r √

x − 1 < f

_r

(x) ≤ r √ x

En combinant ces inégalités avec les coecients pour les trois fonctions, il vient : 2(a √

x − 1) − b √ x − c √

x <g(x) < 2a √

x − (b √

x − 1) − (c √ x − 1) (2a − b − c) √

x − 2 <g(x) < (2a − b − c) √ x + 2

Mais 2a − b − c = 0 et g(x) ∈ Z donc − 2 < g(x) < 2 entraîne g(x) ∈ {− 1, 0, 1 }.

1 −1

1 2 4

1 (

√

(2)−1)²

8 9

Fig. 1: graphe de g

5. L'ensemble des points de discontinuité de g est l'union des ensembles de points de discontinuité de f

_a

, f

_b

, f

_c

. Ces ensembles sont (d'après la question 2.) :

2p

²

, p ∈ Z

q

²

3 − 2 √

2 , q ∈ Z

r

²

, r ∈ Z

Ils sont deux à deux disjoints car √

2 ,

³₂

− √ 2 et √

2 − 1 sont irrationnels. On peut alors appliquer le résultat de linéarité du saut démontré en question 1. On en déduit qu'en un point de discontinuité de f

_a

, le saut est +2 alors qu'en un point de discontinuité de f

_b

ou f

_c

le saut est − 1 .

6. Raisonnons en distinguant plusieurs cas et en exploitant le fait que g ne prend que les valeurs − 1 , 0 et 1 avec des sauts +2 ou − 1 et qu'aucun des trois ensembles de discontinité n'est majoré (il existe donc des discontinuités de chaque type après un réel arbitraire) :

Si g(A) = − 1 , le premier saut de discontinuité est forcément +2 . La fonction prend alors la valeur +1 . Le saut suivant est obligatoirement − 1 et la fonction g prend alors la valeur 0 .

Si g(A) = 0, le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur − 1 et on se retrouve dans le cas précédent.

Si g(A) = +1 , le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur 0 et on se retrouve dans le cas précédent.

La fonction g prend donc les trois valeurs sur tout intervalle [A, + ∞ [ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B Année 2015-2016 Corrigé DM 7 18/12/15 29 juin 2019

Problème 2.

1. La démonstration se fait par récurrence, elle est très proche de la démonstration du cours pour la formule du binôme.

2. D'après la formule de la question 1.

(∆

^p

β)

n

=

p

X

k=0

( − 1)

^p−k

p

k

b

^n+k

= b

ⁿ

p

X

k=0

p k

b

^k

( − 1)

^p−k

= b

ⁿ

(b − 1)

^p

⇒ ( − 1)

^p

(∆

^p

β)

n

= b

ⁿ

(1 − b)

^p

> 0 La suite géométrique β est donc complètement monotone.

3. La complète monotonie résulte de l'expression des dérivées successives. Soit p un entier quelconque

f (x) = e

^−ax

( − 1)

^p

f

^(p)

(x) = a

^p

e

^−ax

> 0 g(x) = (λ + µx)

^ν

g

^(p)

(x) = ( − 1)

^p

ν(ν − 1) · · · (ν − p + 1)(λ + µx)

^ν−p

> 0 Chacun des p facteurs est négatif et il est compensé par la puissance de − 1 . Pour h(x) = ln(b +

_x^c

) , il est commode de transformer le produit en somme avant de dériver

h(x) = ln(b + c

x ) = ln(bx + c) − ln(x)

⇒ − h

⁰

(x) = − b bx + c − 1

x

> 0 car égal à c (bx + c)x

⇒ · · ·

⇒ ( − 1)

^p

h

^(p)

(x) = ( − 1)

^p

b

^p

( − 1)

^p−1

(p − 1)!

(bx + c)

^p

− ( − 1)

^p−1

(p − 1)!

x

^p

= (p − 1)!

(bx + c)

^p

x

^p

((bx + c)

^p

− (bx)

^p

) > 0 4. a. Ces résultats sont évidents par dénition.

( − 1)

^p

(f

^(m)

)

^(p)

= ( − 1)

^p

f

^(m+p)

=

( ( − 1)

^m+p

f

^(m+p)

si m pair

− ( − 1)

^m+p

f

^(m+p)

si m impair

b. On utilise la formule de Leibniz

(f g)

^(p)

(x) =

p

X

k=0

p k

f

^(k)

g

^(p−k)

( − 1)

^p

= ( − 1)

^k

( − 1)

^p−k



 

 

⇒

( − 1)

^p

(f g)

^(p)

(x) =

p

X

k=0

p k

( − 1)

^k

f

^(k)

| {z }

>0

( − 1)

^p−k

g

^(p−k)

| {z }

>0

> 0

5. On raisonne par récurrence sur p . La proposition à l'ordre p est que pour toute fonction f et tout entier n , il existe un x ∈ ]n, n + p[ tel que (∆

^p

u)

n

= f

^(p)

(x) .

Pour p = 1 , on peut appliquer directememnt le théorème des accroissements nis à la fonction f entre n et n + 1 . Il existe x ∈ ]n, n + 1[ tel que

(∆

^p

u)

n

= u

n+1

− u

n

= f (n + 1) − f (n) = f

⁰

(x)

Montrons maintenant que la proposition à l'ordre p entraine celle à l'ordre p + 1 . Comme l'énoncé nous y invite, on considère la fonction g dénie par

g(x) = f (x + 1) − f (x)

et v = ∆u . On remarque alors que v

n

= g(n) et que, d'après l'hypothèse de récurrence,

∃ x ∈ ]n, n + p[ tq (∆

^p+1

u)

n

= (∆

^p

v)

n

= g

^(p)

(x)

Or g

^(p)

(x) = f

^(p)

(x + 1) − f

^(p)

(x) . On peut donc appliquer le théorème des accroissements nis à la fonction f

^(p)

entre x et x + 1 . Il existe z ∈ ]x, x + 1[ ⊂ ]n, n + p + 1[ tel que

(∆

^p+1

u)

n

= f

^(p)

(x + 1) − f

^(p)

(x) = f

^(p+1)

(x)

6. Soit f une fonction complètement monotone dénie dans [0, + ∞ [ et (u

n

)

_n∈

N

une suite dénie par u

n

= f (n) pour tous les n ∈ N. La question 5. montre que (u

n

)

_n∈

N

est complètement monotone.

La suite géométrique β de la question 2. est de cette forme pour la fonction f dénie par f (x) = e

^x^ln^β

. Comme ln β est strictement négatif cette fonction est complètement monotone (premier exemple de la question 3).

On retrouve donc le résultat de la question 2 : pour b ∈ ]0, 1[ , la suite géométrique de raison b est complètement monotone.

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