TS Les primitives

(1)

TS Les primitives

I. Notion de primitive 1°) Définition (rappel)

f est une fonction définie sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsque :

➀

➀➀

➀ F est dérivable sur I ;

➁

➁➁

➁  x I ^{F ' x}

 

^ ^{f x}

 

^.

On pourrait expliquer le terme de « primitive ».

Celui-ci provient de l’adjectif « primitif ». On peut le comprendre à partir du schéma qui est donné dans le paragraphe 3°).

2°) Exemples

➀ f : R → R x 3x5

f admet pour primitive sur R la fonction F définie sur R par ^{F x}

 

^³₂^x²^{ }⁵^x ^k



^k^^»



^.

➁ f : R→R x ₂1

1 x 

On ne sait pas donner une primitive de f sur R.

Néanmoins, comme f est continue sur R, le théorème de Darboux (admis sans démonstration) qui est énoncé dans le paragraphe suivant permet d’affirmer que f admet bien des primitives sur R. L’une de ces primitives est la fonction Arctangente, notée Arctan, qui sera étudiée dans le supérieur.

➂ f : »^*_→R x 1

x

F : »^*_ → R est une primitive de f sur »^*_. x ln x

➃ f : R→R

t gt (g étant une constante) F : R → R est une primitive de f sur R.

t 1 ² 2gt

On reconnaît ici une primitive utilisée en physique dans le cadre de la détermination des lois horaires du mouvement d’un objet dans le champ de pesanteur terrestre.

3°) Théorème de Darboux (mathématicien du XIX^e siècle)

Toute fonction définie et continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Ce théorème est admis sans démonstration.

Toutes les fonctions n’admettent pas en général de primitives.

Certaines fonctions ne sont pas dérivables ; certaines fonctions n’admettent pas de primitive mais lorsque tout se passe bien :

Dériver

F F ' f

Chercher une primitive

« Primitiver »

Le but du chapitre est d’apprendre à calculer des primitives.

II. Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle 1°) Remarque préliminaire

Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, alors la fonction G : x ^{F x}

 

^^k



^k^^»



est aussi une primitive de f.

2°) Réciproquement

Supposons que f admette deux primitives F et G sur un intervalle I.

Dans ce cas,  x I ^F^'

 

^x ^^{G x}^'

   

^ ^{f x} ^.

Donc  x I ^{G x}^'

 

^^F^'

 

^x ^⁰

soit  x I



^G^^F

  

^' ^x ^⁰^.

Or I est un intervalle.

(2)

Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.

On en déduit que la fonction GF est constante sur l’intervalle I.

Donc il existe un réel k tel que  x I



^G^^F

 

^x ^^k^soit^{ }^x ^I^{G x}

   

^^{F x} ^^k^.

3°) Théorème

Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G : I → R



^k^^»



^.

x ^{F x}

 

^^k

Ce théorème permet d’écrire toutes les primitives d’une fonction à partir de l’un quelconque d’entre elles.

SI une fonction admet une primitive sur un intervalle, on obtient toutes les primitives de la fonction en ajoutant une constante quelconque à cette primitive.

III. Linéarité 1°) Propriété

f et g sont deux fonctions définies sur un même intervalle I admettant des primitives sur I.

Si F est une primitive f sur I et G est une primitive g, alors pour tous réels  et  la fonction F  G est une primitive de f  g sur I.

2°) Démonstration (ROC)

La fonction F G est dérivable sur I (règle sur les opérations algébriques sur les dérivées) et



^{ }^F ^G



^'     ^F^' ^G^' ^f ^g. 3°) Attention au produit

F G n’est pas une primitive de fg sur I.

IV. Primitive prenant une valeur donnée 1°) Propriété

f est une fonction définie sur un intervalle I admettant des primitives sur cet intervalle.

Pour tout couple



^x⁰^;^y⁰



^{ }^I ^», il existe une unique primitive F de f sur I telle que ^{F x}

 

⁰ ^^y⁰^.

O i^ j

Cette propriété correspond aux conditions initiales en sciences physiques.

Par hypothèse, f admet des primitives sur I.

On note G une primitive de f sur I.

Les primitives de f sur I sont les fonctions F : I →R



^k^^»



^.

^x^{G x}

 

^^k

 

⁰ ⁰

F x y ⇔^{G x}

 

⁰ ^{ }^k ^y⁰

⇔^k^^y⁰^^{G x}

 

⁰

f admet donc une unique primitive F sur I telle que ^{F x}

 

⁰ ^^y⁰^.

F est définie par ^{F x}

   

^^{F x}⁰ ^{ }^y⁰ ^{G x}

 

⁰ (formule à ne pas apprendre).

3°) Exercice

f : R→R x x² 3x 1

Déterminer la primitive F de f sur R telle que ^F

 

⁰ ^⁵^.

Ou :

Déterminer la primitive F de f qui prend la valeur 5 en 0.

Il convient d’expliquer l’expression « F prend la valeur 5 en 0 ». Cette expression signifie que ^F

 

⁰ ^⁵. Le mot « valeur » se réfère à la valeur de l’image de 0 par F (valeur de la fonction en 0).

[f est continue sur R donc, d’après le théorème de Darboux, f admet des primitives sur R].

x 0

y0

C

F

(3)

Les primitives de f sur R sont les fonctions F définies sur R par ^{F x}

 

^^x₃³^³₂^x²^{ }^x ^k



^k^^»



^.

 

⁰ ⁵

F  ⇔

3

0 3 2

0 0 5

3     2 k ⇔k5

La primitive F de f sur R telle que ^F

 

⁰ ^⁵ est définie par ^{F x}

 

^^x₃³^³₂^x²^{ }^x ⁵^.

V. Primitives usuelles

1°) Primitives des fonctions de référence

Fonction Primitive Intervalle(s) de validité

a ( a») axk



^k^^»



^R

x

2

x k



^k^^»



^R

x 2

3

x k



^k^^»



^R

x ( nn »)

1

1 xn

n k

 





^k^^»



^R

2

1 x

1 k

 x



^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



^et



^{ }^{; 0}



1

xn (n»,n2)

 

ⁿ ¹¹^xⁿ^¹ ^k

 





^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



^et



^{ }^{; 0}



1

x ln x k



^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



^et



^{ }^{; 0}



1

x 2 xk



^k^»

 

^{0 ;}^{ }



cos x sin xk



^k^^»



^R

sin x cos xk



^k^^»



^R

 

cos ax b (a0) ¹_a^{sin ax b}



^{ }



^k



^k^^»



^R

 

sin ax b (a0) ^¹_a^{cos ax b}



^{ }



^k



^k^»



^R

2 2

1 tan 1 x cos

  x tan xk



^k^^»



^»^\^^_₂^^{  }^k ^,^k ^»^^_

1

ax b (a0) 2

ax b k

a  



^k^^»



^{D \}^f ^^_^^b_a^^_

1

x ln xk



^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



e^x e^xk



^k^^»



^R

e^ax(a0) 1

e^ax k

a 



^k^^»



^R

eln ^x

x^ ^ (^{ }^»^\

 

^¹ ⁾ ¹

1

x k

 

 



^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



1

ax b (a0) 1

ln ax b k

a  



^k^^»



^^{  }^; ^b_a^{ }  ∪ ^^b_a^;^{ }^ tan x ln cos x k



^k^^»



^»^\^^_₂^^{  }^k ^,^k ^»^^_

(4)

Quelques commentaires :

• Quelle est la différence entre les lignes 4 et 17 : x ( nⁿ ») et x^e^^ln^x (^{ }^»^\

 

^¹ ^{) ?}

On a l’impression que ce sont les mêmes formules.

La formule est effectivement la même.

Dans la formule de la ligne 4, l’exposant est un entier naturel.

Dans la formule de la ligne 17, l’exposant est un réel différent de – 1.

Cette formule est intéressante lorsque l’on a des exposants non entiers naturels (en particulier, fractionnaires).

• On pourrait rajouter la ligne suivante.

1

x^ ^



^{ }¹¹



^x^¹^^k



^k^^»

 

^{0 ;}^{ }



• Justification de deux lignes :

 

¹

F

1 xn

x n

 



 

¹ ¹

F 1

x xn

n

  



 

¹

 

F' 1

1

x n xn

n  



 

F' x xⁿ

   

¹ ¹

F x 1 ⁿ

n x^

  

 

1

1 1

F x 1 ⁿ

n x^

  



 

¹ ¹

F' 1 ⁿ

x n

n x

  

      [ Formule 1 ₁

p ' p

p

x x^

   

 

  ]

 

¹

F' x _n

x

2°) Primitives déduites des règles de dérivation

u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

Fonction Primitive

u' v' u v k



^k^^»



au'



^a^^»



^au^^k



^k^^»



u' v uv' uvk



^k^^»



uu'

2

u k



^k^^»



u' u n



ⁿ^^»



¹

1 un

n k

 





^k^^»



2

u'

u (u0 sur I) 1

u k

 



^k^^»



n

u'

u (u0 sur I ; n2)

 

ⁿ ¹¹^uⁿ^¹ ^k

 





^k^^»



u'

u (u0 sur I) 2 uk



^k^»



sin

u' u cos uk



^k^^»



cos

u' u sin uk



^k^^»



u'

u (u0 sur I) ln u k



^k^^»



e^u

u' e^uk



^k^^»



u' u^ (^{ }^»^\

 

^¹^,^u^⁰^{sur I)} _{ }^u^¹₁^^k



^k^^»



N.B. :

1

uu2 (la notation u est autorisée !)

Commentaire (à la suite de la question de Thomas Vidor, élève de TS1 durant l’année scolaire 2019) :

Pourquoi ne pas mettre 2

u'

u dans le tableau ?

On pourrait si on le voulait. Mais on préfère mettre des formes sans constantes multiplicatives (formes

« pures ») de manière à éviter la multiplication de formules.

De même, on pourrait mettre 2uu', nu u' ⁿ^¹ etc.

(5)

VI. Exemples de calculs de primitives 1°) Exemple 1

f : R→R

x

2

2 1 x x 

Déterminer les primitives de f sur R.

f est continue sur R donc elle admet des primitives sur R.

On pense à la forme u' u. On pose ^{u x}

 

^{ }^x² ¹^.

On a alors ^{u x}^'

 

^²^x^.

On effectue une réécriture de f.

' f u

 u

Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F définies par F2 uk



^k^^»



^.

 

²

 

F x  u x k



^k^^»



 

² ² ¹

F x  x  k



^k^»



Commentaires :

On dit « les » primitives à cause du k.

On voit que chercher une primitive c’est beaucoup plus compliqué que chercher une dérivée.

On fait en deux temps.

2°) Exemple 2

f : R→R

 

3 4 16

x x x 

On pense à la forme u'_n u . On pose ^{u x}

 

^^x⁴^¹^.

On a alor ^{u x}^'

 

^⁴^x³^.

On effectue une réécriture de ^{f x .}

 

3 4 6 constante d'ajustement

1 4

4 1

f x x

x

 



On veut faire « sauter » le 4 pour retrouver le x³ (c’est un langage imagé mais qui a le mérite de parler).

6

1 '

4 f u

 u

(On utilise le tableau : u'_n

u →^

 

ⁿ^¹¹^uⁿ^¹^.)

Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F définies par

 

^{6 1}

1 1

4 6 1

F k

u^

 

  

  

 



^k^^»



   

⁵

1 1

4 5

F x k

u x

   

 

 



^k^^»



 

²⁰

 

⁴¹ ¹⁵

F x k

x

  





^k^»



3°) Exemple 3

f : R→R

x5 sinxcos³x

f est continue sur R donc elle admet des primitives sur R. On effectue la réécriture ^{f x}

 

^^{5 sin}^x^



^cos^x



³^.

On pense à la forme u' u . ⁿ

(6)

On pose ^{u x}

 

^^cos^x^.

 

^{ }^sin^x^.

On effectue une réécriture de ^{f x}

 

^.

 

⁵



^sin

 

^cos



³

f x     x x 5 ' 3

f   u u

(On utilise le tableau : u' uⁿ→

1

1 un

n



 .)

Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F définies par

4

5 4

F  u k



^k^^»



^.

 

₅

 

⁴

4

F x   u x  k



^k^^»



 

⁵₄



^cos



⁴

F x   x k



^k^^»



On peut aussi écrire : ^{F x}

 

^{ }⁵₄^cos⁴^x^^k^.

4°) Exemple 4

f : R→R

x5x 1 3cosx

f est continue sur R donc elle admet des primitives sur R. On fait la primitive terme à terme.

Les primitives de f sur R sont les fonctions F définies par

 

⁵ ^x₂² ^3sin

F x    x xk



^k^^»



 

⁵₂^x² ^3sin

F x   x xk



^k^»



5°) Exemple 5

f : R → R x ₂

1 x x 

Déterminer les primitives de f sur R. On pense à la forme u'

u . On pose ^{u x}

 

^{ }^x² ¹^.

 

^²^x^.

1 '

2 f u

 u

(On utilise le tableau : u'

u → ln u )

Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F définies par 1ln

F2 u

 

¹₂^ln ² ¹

F x  x  k



^k^^»



^.

Valeurs absolues de sécurité (qu’on peut enlever après avoir constaté que l’expression est strictement positive).

 

¹2^ln

 

² ¹

F x  x  k



^k^^»



^.

6°) Exemple 6

Primitive de la fonction racine carrée :

Pour trouver une primitive de x x , on écrit

1

xx2. D’où une primitive F : x

1 3

2 2

1 1 3 3

2 2

x x

x



 

 .

Comme c’est simple, on ne la donne pas dans le cours.

VII. Primitives et calculatrices

Il n’y a pas d’application du type Symbolic pour déterminer des primitives sur la calculatrice.

On peut cependant dériver le résultat obtenu par primitivation.

On peut rentrer les formules de primitives dans les calculatrices.

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