I Les primitives

Primitives, exponentielle et équations diérentielles

Leçon 8

Tale-Spé-Math- Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Thierry Sageaux.

"Agir en primitif et prévoir en stratège." Réné Char (1907-1988)

I Les primitives

Dénition 8.1 Soit f une fonction continue dénie sur [a, b]. On appelle primitive de f sur [a, b] toute fonctionF dérivable sur [a, b] telle queF⁰=f.

Exercice 1.

ˇ “(

Déterminer une primitive def :x7−→x²+ 1.

Lemme 8.2 Si F et G sont des primitives de f et g sur [a, b], et si (λ, µ) ∈R², alors λF +µG est une primitive de λf+µg.

Démonstration: Exercice.

Lemme 8.3 Les primitives de la fonction nulle sont les constantes.

Démonstration: La démonstration utilise la propriété de la borne sup de Rqui dit que "toute partie non vide et majorée deRadmet une borne sup".

Ceci étant admis, on procède par l'absurde : si F est une primitive de la fonction nulle qui n'est pas constante, il existeaetbtelsa < betF(a)6=F(b). On considère alors l'ensembleE={x < b, F(x)6=F(a)}. L'ensemble E possède alors un sup que l'on note α. On a alors F(b) = lim

x>α

x→α

F(x)6= lim

x<α

x→α

F(x)si elle existe.

La fonction n'est donc pas continue. Contradiction avec la dérivabilité.

Proposition 8.4 Soit f une fonction continue sur un intervalle[a, b]. Les primitives de f dièrent d'une constante.

i.e. Si F est une primitive, alors elles sont toutes de la formeF+koùk est une constante.

Démonstration: Soient F et G deux primitives de f. On a alors (F −G)⁰(x) = F⁰(x)−G⁰(x) = f(x)−f(x) = 0. Ainsi, d'après le lemme,F−Gest une constante.

Ce krésume tout le problème de la recherche de la bijection réciproque de l'opérateur diérentiel :

En eet, on sait que l'application d

dx n'est pas injective, deux fonctions pouvant donner la même image.

Impossible donc de construire un "opérateur réciproque". En revanche, avec la proposition, on connaît tous les antécédents. Il y en a une innité (de dimension1).

Stratégie : Il est inutile d'apprendre de nouvelles formules an de déterminer des primitives dans la mesure où il s'agit des mêmes que celles des dérivées à l'envers ! ! Aussi, on jouera à repérer un motif de dérivée connu an de primitiver.

Exercice 2.

ˇ “

Déterminer les primitives des fonctions suivantes : 1) f1:x7−→x³,

2) f2:x7−→x²−2x+ 1, 3) f₃:x7−→sinx, 4) f₄:x7−→cos(3x), 5) f₅:x7−→2xe^x2+1, 6) f₆:x7−→ 1

2√ x+ 1,

7) f₇:x7−→√ x, 8) f₈:x7−→ 1

xlnx, 9) f9:x7−→ 1

1 +x, 10)f10:x7−→tanx, 11)f11:x7−→ 1

(x+ 1)²,

12)f12:x7−→cos²x, 13)f131 :x7−→sin⁴x, 14)f₁₄:x7−→lnx, 15)f₁₅:x7−→ 1

1 +x², 16)f16:x7−→xtanx, 17)f17:x7−→e^−x2,

II Les équations diérentielles

II.1 L'exponentielle

On connaît les équations avec des inconnues dont les solutions sont des nombres, les recherches de lieux géométriques dont les solutions sont des points. Voici venu une nouvelle ère où l'on recherche des fonctions.

Dans notre cadre, on parle d'équations diérentielles car on mélange dans le même problème, la fonction f, mais aussi ses dérivées.

Par exemple, si l'on cherche une solution à l'équation diérentielley⁰⁰+y= 0, on voit assez vite quef : x7−→cosxest solution. Mais ce n'est pas la seule ! En eet, le sinus est aussi solution, et, plus généralement, f :x7−→αcosx+βsinxaussi, pour tout couple (α, β)∈R². Il y a donc beaucoup de solutions et on n'est même pas certain de les avoir toutes.

La résolution d'équations diérentielles est l'un des domaines les plus compliqué des mathématiques. On ne sait d'ailleurs toujours pas résoudre la plupart de ces équations. Elles proviennent bien souvent de la physique où l'expérimentation conduit à des liens entre fonction et dérivée, comme par exemple du type vitesse-distance en fonction du temps.

Commençons par la plus simple qui soit an d'évaluer l'étendue du problème : f⁰=f

En interprétant cela via la physique, on peut en dire que l'objet considéré a une vitesse égale à la distance parcourue. Il nous manque une condition initiale...

• Si on posef(0) = 0, alorsf(t) = 0pour toutt∈R.

• Si on pose maintenantf(0) = 1, essayons de voir ce qui se passe en tentant de tracer la courbe de la fonction solution. C'est ce que l'on appelle

La méthode d'Euler :

On veut donc résoudre le système diérentiel (S)

f⁰(x) =f(x) ∀x∈R f(0) = 1

On commence par regarder ce qui se passe au voisinage de 0. On connaît en ce réel l'ordonnée, ce qui nous donne un premier point de coordonnées(0,1), mais aussi la pente de la tangente carf⁰(0) = 1. Donc, on a une équation de la tangente :y=x+ 1.

Voila pour la traduction directe des hypothèses. L'idée est ensuite de procéder par approximation. On se donne un pas, notéδ ici et on imagine que la courbe suit sa tangente entre0 et 0 +δ. On obtient alors un nouveau point pour la courbe qui est de coordonnées(δ, δ+ 1)et on connait là encore une approximation de la pente de la tangente qui estδ+ 1. On itère le procédé en se décalant deδ, ce qui va donner un nouveau point et ainsi de suite. On obtient donc une vague idée de ce qu'est la courbe de la fonction cherchée.

Exercice 3.

ˇ “

1) Prendre un pasδ= 1et calculer les coordonnées des points de la courbe approchée obtenue.

2) Faire de même avecδ=¹₂. 3) Cas général avec un pasδ?

Lemme 8.5 Sif est solution de S, alors, pour tout réelx, on a f(x)6= 0 et f(−x) = 1

f(x)

Démonstration: On utilise la technique de la ruse sempiternelle qui consiste à transposer et à étudier la partie constante de l'équation. Ici, on peut essayer soit de montrer quef(−x)− 1

f(x) = 0(transposition par somme), soit quef(−x)f(x) = 1(transposition par produit).

Les deux fonctionnent. On va prendre la seconde pour changer. On pose donc ϕ(x) =f(x)f(−x). On a alors ϕqui est dérivable sur Rcomme produit et composée de fonctions qui le sont.

ϕ⁰(x) =f⁰(x)f(−x)−f(x)f⁰(−x) =f(x)f(−x)−f(x)f(−x) = 0.

Doncϕest constante et comme ϕ(0) =f(0)²= 1, alorsϕ(x) = 1pour toutx∈R. De fait,f(x)6= 0et on a la relation cherchée.

Théorème 8.6 Il existe une seule fonction dérivable sur Rsatisfaisant le système

(S)

f⁰(x) =f(x) ∀x∈R f(0) = 1

On l'appelle l'exponentielle et on la note exp.

Démonstration: Existence : Admise pour le moment. On peut la démontrer avec le théorème de Cauchy- Lipschitz (hors programme). Mais on peut aussi la prouver en utilisant le logarithme en tant que fonction réciproque (voir leçon 10).

Unicité : Par l'absurde, on suppose qu'il y a deux fonctions solutions f et g. On utilise encore la ruse sempiternelle en posantϕ(x) =f(−x)g(x)(on peut aussi prendref(x)−g(x)). On a alors encoreϕ⁰(x) = 0 etϕ(0) = 1, d'où l'égalité.

Lemme 8.7 La fonctionexpest strictement positive surR.

Démonstration: Exercice

ˇ “

Elle est dérivable, donc continue sur R. Comme elle ne s'annule pas, le TVI montre qu'elle est de signe constant. Maisexp(0) = 1, doncexp(x)>0pour toutx∈R.

Exercice 4.

ˇ “(

1) Montrer que lim

x→+∞exp(x) = +∞. 2) En déduire que lim

x→−∞exp(x) = 0. Exercice 5.

ˇ “)

Montrer queexpest strictement croissante surR.

Lemme 8.8 La fonctionexpréalise une bijection deR sur]0,+∞[. Démonstration: Exercice

ˇ “

Elle est dérivable, donc continue surR. De plus, sa dérivée est strictement positive, donc la fonction est strictement croissante deRdans]0,+∞[d'après l'exercice. Le théorème de bijection monotone conclut.

Théorème 8.9 (Relation Fonctionnelle) Pour tout(x, y)∈R², on a exp(x+y) = exp(x)×exp(y)

Démonstration: (La ruse sempiternelle encore et toujours) Soita∈R, on pose ϕ_a(x) = exp(a+x)× exp(−x). On a alorsϕ_a qui est dérivable surRcomme produit et composée de fonctions qui le sont. On a

ϕ⁰_a(x) = exp⁰(a+x) exp(−x)−exp(a+x) exp⁰(−x) = exp(a+x) exp(−x)−exp(a+x) exp(−x) = 0 et commeϕa(0) = exp(a), alorsϕa(x) = exp(a) ⇔ exp(a+x) = exp(a)×exp(x).

Mais ceci est vrai pour touta, d'où la relation obtenue.

Corollaire 8.10 Pour tout(x, y)∈R², et pour toutn∈Z, on a

exp(x−y) =exp(x)

exp(y) exp(nx) = (exp(x))ⁿ

Démonstration: Exercice

ˇ “(

Pour la première, écrire x−y=x+ (−y).

Pour la seconde, il sut de faire une récurrence dans le cas de n∈ N, puis utiliser exp(−y) = 1 exp(y) pour le casn∈Z\N.

Lemme 8.11 Si uest une fonction dérivable sur un intervalleI, alors exp◦uest dérivable surI et

(exp◦u)⁰ =u⁰×exp◦u Démonstration: Conséquence directe de la dérivée d'une composée.

II.2 Changement de notation

On poseexp(1) =e. Via la méthode d'Euler, on détermine une valeur approchée : e'2,71828

"To express e, remember to memorize a sentence to simplify this"

• Regardons ce qu'il se passe sur les entiers N tout d'abord :exp(n) = (exp(1))ⁿ = eⁿ d'après le corollaire précédent.

On étend facilement la notation sur Z.

• Pour un élément ^p_q ∈Q, alors exp(^p_q) = (exp(¹_q))^p. Il sut donc de regarder ce qu'il se passe sur exp(¹_q). Or(exp(¹_q))^q = exp(^q_q) =e. On a donc bien,exp(¹_q) =e^1q et, par extension,exp(^p_q) =e^pq.

• Mais comment passer aux réelsR? Et bien c'est la continuité qui va nous y aider.

Pour tout x∈R, on peut trouver une suite (αn)∈ Q^N de rationnels telle que lim

n→+∞αn =x. On peut donc écrire(exp(α_n)) =e^αn.

Comme le fonctionexpest continue (car dérivable) surR, on a lim

n→+∞expαn= exp

n→+∞lim αn

= exp(x). On étend donc naturellement la notation en exp(x) =e^x .

On peut donc revisiter toutes les propriétés précédentes :

e^−x= 1

e^x e^x+y=e^x×e^y e^x−y= e^x

e^y e^nx= (e^x)ⁿ.

Attention !en'est pas une fonction ! ! Maisexp :x7−→e^xoui. Aussi, on n'écrira pase⁰ ou(e^x)⁰...

de peur du péché suprême.

Exercice 6.

ˇ “(

Calculer la dérivée def :x7−→(e^x+e^−x)²−e^x(e^x+e^−3x). Que peut-on en déduire ? Exercice 7.

ˇ “(

Etudier la parité de la fonctionf :x7−→ e^x−1 e^x+ 1. Exercice 8.

ˇ “

Résoudre

1) e^2x+e^x−2 = 0, 2) e^2x−3e^x+e= 0.

II.3 Etude loguidée de la fonction exponentielle

• Ensemble de dénition :Dexp=Rpar construction.

• Continuité - Dérivabilité : Par construction,expest dérivable surR, donc continue.

• Dérivée :exp⁰(x) =e^xcomme solution de l'équation diérentielle.

• Variations : Commee^x>0, la fonction est strictement croissante surR.

• Limites : Par comparaison avec e^x ≥ x, on trouve que lim

x→+∞e^x = +∞ et par changement de variable, lim

x→−∞e^x= lim

X→+∞e^−X = lim

X→+∞

1 e^X = 0.

• Tangente en0 : On applique la formule de la tangente :y−e⁰=e⁰(x−0) ⇔ y=x+ 1 .

• Convexité : Commeexp⁰⁰(x) =e^x, la fonction est convexe.

•Comportement asymptotique : On commence par calculer lim

x→+∞

e^x

x. On a une forme indéterminée.

Si l'on utilise la convexité et la tangente en 0, on a donc que e^x≥x+ 1 pour tout x ∈ R. Donc e^x

x ≥1 + 1

x. Ce qui donne que la limite cherchée est supérieure à1. Pas palpitant.

La ruse est énorme ! Nous la nommerons ruse colossale : On écrit e^x

x = e^x2

√x ²

.

On applique encore notre idée de minoration par la tangente :e^x2 ≥ x

2+1, ce qui implique e^x2

√x ≥

√x 2 + 1

√x. Ainsi, e^x

x ≥ √

x 2 + 1

√x ²

. Et par comparaison,

x→+∞lim e^x

x = +∞ . On peut même en déduire une limite intéressante : lim

x→−∞xe^x= 0 .(obtenue en faisant le changement de variableX =−x).

• Courbe :

Exercice 9.

ˇ “(

Etudier la fonctionf :x7−→(x+ 2)²e^−x. Exercice 10.

ˇ “

Etudier les limites aux bornes de l'ensemble de dénition def :x7−→ x 1−e^x.

III Retour aux équations diérentielles

III.1 L'équation diérentielle y

= ky

La notation y⁰ est ambiguë. En eet, pour nous, y est un nombre, mais il y a peu encore, on écrivait y:x7−→f(x)en remplacement def. On trouvait sur les tableaux de variationsy⁰ ety à la place def⁰x)et f...

On a gardé cette notation en mémoire.

Revenons à cette équation diérentielle y⁰=y .

On a démontré que si l'on impose la condition initiale y(0) = 1, alors seule l'exponentielle est solution.

Mais quelles sont les solutions si l'on ne met pas de condition initiale ? On va montrer que seules les fonctions du typex7−→λe^kx avecλ∈Rsont solutions.

Toute l'originalité, vient du fait que l'on va utiliser la relation fonctionnelle pour ça. On va montrer que les solutions de la relation fonctionnelle sont aussi solution de l'équation diérentielle.

Mais commençons par un petit lemme :

Lemme 8.12 Pour toutk∈R, les fonctions dérivables solutions de l'équation diérentielley⁰ =kysont les fonctions de la formef :x7−→λe^kx avecλ∈R.

Démonstration: Sif est solution dey⁰ =ky, alors on revient à la ruse sempiternelle en posantϕ(x) = f(x)e^−kx. On a alorsϕ⁰(x) =f⁰(x)e^−kx−kf(x)e^−kx= 0. Ainsi,ϕ(x) =λest une constante etf(x) =λe^kx. Théorème 8.13 Une fonctionf, dérivable surR, vérie l'équation fonctionnelle f(x+y) =f(x)×f(y) pour tout(x, y)∈R²,

si et seulement si

f est solution de l'équation diérentielle (S)

f⁰(x) =k×f(x) k=f⁰(0)

Démonstration: • Condition nécessaire : Soit a ∈ R, on utilise encore la ruse sempiternelle en posant ϕa(x) = f(x+a)−f(x)f(a) = 0. Donc, ϕ⁰_a(x) = f⁰(x+a)−f⁰(x)f(a) = 0 et en spécialisant en x= 0, on obtientf⁰(a) =f⁰(0)f(a). Ainsi,f est solution du système annoncé.

• Condition susante : D'après le lemme, f(x) =λe^kx. De plus, comme f⁰(x) =kλe^kx, on a bien λ= 1.

III.2 Equations diérentielles du type y

= ay + b

L'astuce est d'étudier en deux phases l'équation :

• On commence par chercher les solutions dey⁰=ay. On parle de l'équation homogène. D'après le lemme qui précède, on sait que les solutions sont de la formey1:x7−→λe^ax avecλ∈R.

• On cherche ensuite une solution particulière dey⁰=ay+b. Il ne faut pas chercher bien loin. Une constante devrait sure.y0:x7−→ ^−b_a .

Bon. C'était pas trop dur, mais à quoi cela mène-t-il ?

Eh bien on arme que les solutions générales de l'équation d'originey⁰ =ay+b sont les y=y0+y1

Mais pourquoi cela fonctionne-t-il ?

En voici la preuve : Imaginons quezsoit une autre solution et montrons qu'elle est malgré tout de cette forme pour unλconvenable.

On a

y⁰ =ay+b

z⁰ =az+b . Doncy⁰−z⁰=a(y−z) ⇔ (y−z)⁰ =a(y−z). Mais d'après le lemme,y−z=µe^ax. Ainsi,

z=y−µe^ax=y₀+ (λ−µ)

| {z }

grosλ

e^ax

III.3 Changements de variables

Plus dur, attaquons-nous à y⁰ =y(1−y). A ce niveau, il faut avoir du air et posery= 1

z (en supposant que la fonctionyne s'annule pas...).

Là, il convient d'être précis :y⁰= −z⁰

z² et l'équation diérentielle devient

−z⁰ z² = 1

z

1−1 z

⇔ z⁰=−z+ 1.

que l'on résout de la même façon que précédemment :z=λe^−x+ 1 (λ∈R), donc y= 1 λe^−x+ 1 . Ne pas oublier que y= 0est aussi solution.

Exercice 11.

Résoudrey⁰ = 2y+ 1

2y en posanty=√ z.

Solutions des exercices

Exercice 3.

1) M0(0,1),M1(1,2),M2(2,4), M3(3,8)et plus généralement,Mn(n,2ⁿ). 2) M0(0,1),M¹

2(¹₂,³₂),M1(1,⁹₄),M³

2(³₂,²⁷₈)et plus généralement,Mⁿ

2(ⁿ₂,³₂ⁿn).

3) On trouveMkδ(kδ, uk)avec la relation de récurrenceuk+1=uk+δuketu0= 1. Doncuk= (1+δ)^k. Exercice 4.

1) On a par construction avec la méthode d'Euler queexp(x)≥xpour tout x≥0. D'où la limite par comparaison.

2) Changement de variableX=−x. Exercice 5.

exp(x)>0. Exercice 6.

On trouve0. La fonction est donc constante.

Exercice 7.

Elle est impaire.

Exercice 8.

1) On poseX =e^xet on trouveX ∈ {−2; 1}. Maise^x>0, donce^x=−2 n'a pas de solution. Quant àe^x= 1, on sait que la seule solution est0. DoncS={0}.

2) Avec la même idée, on trouve∆ = 9−4e <0. Pas de solution donc.