Sup PCSI 2 — Colles n◦ 11 et 12 — Quinzaine du 6/12/2010 au 17/12/2010
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Divers
Savoir d´eterminer l’ensemble de d´efinition d’une fonction, en particulier, faisant intervenir l’une des fonctions arcsin ou arccos.
Savoir calculer la d´eriv´ee d’une fonction (y compris le cas d’une fonction d´efinie par une int´egrale, fonction de ses bornes).
2 Limites et continuit´ e
•D´efinition de la continuit´e ; exemples, contre-exemples.
•Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e.
•Prolongement par continuit´e.
• Fonctions continues sur un intervalle I; notationC(I,R) ; op´erations dans cet ensemble ; composition de fonctions continues.
• D´efinition de la limite en a ∈ I d’une fonction f : I 7→ R o`u I est un intervalle de R. La limite est n´ecessairement ´egale `af(a).
•Caract´erisation s´equentielle de la limite (preuve non exigible).
•Op´erations sur les limites.
•Passage `a la limite dans les in´egalit´es.
•Th´eor`eme de la limite monotone (preuve non exigible).
•Extensions : limite `a droite, limite `a gauche ; limite en ±∞; limite en a∈I; lim
a f =±∞.
•Relations de comparaisons ; r`egles de comparaison usuelles ; ´equivalents usuels.
◮Calculs de limites, d’´equivalents ; d´etermination de d´eveloppements asymptotiques simples.
• Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (preuve non exigible). L’image continue d’un intervalle est un inter- valle.
•Toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes (preuve non exigible).
