Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 25
Semaine du 26/4/2021 au 1er/5/2021 Questions de cours :
1. Preuve de la propri´et´e born´ee et n’atteint pas forc´ement ses bornes d’une fonction continue par morceaux sur un segment.
2. Approximation uniforme d’une fonction continue sur un segment par une fonction en escalier.
3. Montrer qu’une fonction positive ou nulle, continue sur un segment et d’int´egrale nulle sur ce segment est identique- ment nulle sur ce segment.
4. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour les fonctions continues par morceaux et caract´erisation du cas d’´egalit´e pour les fonctions continues.
5. Th´eor`eme de convergence des sommes de Riemann pour une fonction continue sur un segment (pas le casf continue par morceaux).
6. | Z b
a
f(u)du| ≤ Z b
a
|f(u)|du pourf continue par morceaux `a valeurs complexes.
7. Construction de la primitive d’une fonction continuef qui s’annule en un point pr´ecis de l’intervalle de d´efinition de f. Existence et unicit´e.
8. Formule de Taylor avec reste int´egral. Application `a la preuve de l’in´egalit´e cosx≥1−x2
2 pour x∈h
−π 2,π
2 i. 9. Preuve de l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange pour f de classeCn+1 sur un intervalleI ayant une d´eriv´ee (n+ 1)-i`eme
born´ee surI.
Th` eme de la colle : Int´ egration.
1. Continuit´e uniforme.
2. Int´egrale de fonctions en escalier.
3. Int´egrale de fonctions continues par morceaux.
4. Propri´et´es de l’int´egrale des fonctions continues par morceaux : lin´earit´e, positivit´e (monotonie), relation de Chasles, .
5. Sommes de Riemann.
Liens entre int´ egration et d´ erivation. Calcul de primitives et application au calcul d’int´ egrales.
1. Primitive d’une fonction continue. Th´eor`eme fondamental du calcul int´egral.
2. R´evision des m´ethodes de calcul d’int´egrales : int´egration par parties, changement de variables.
3. Formule de Taylor avec reste int´egral.
Consignes particuli`eres :
Vincent Bayle
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• par t´el´ephone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,
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