1 Int´ egrale d’une fonction continue sur un segment

XV. Int´egration

1 Int´ egrale d’une fonction continue sur un segment

D´efinition 1.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ^ra;b^s. Le plan est muni d’un rep`ere orthogonal. L’aire (exprim´ee en unit´es d’aire) du domaine d´elimit´e par la courbe repr´esentative C_f de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’´equations xaet xb est appel´ee int´egrale de la fonction f entrea et bet est not´ee :

»b a

f^px^qdx

C_f

a b

Remarque 1.

»b a

0 dx0 et

»a a

f^px^qdx0

Remarque 2. Une fonction continue et positive sur un intervalle ^ra;b^s est nulle si et seulement si son int´egrale entre aet b est nulle.

Exercice 1. Calculer

»3 2

p2x 1^qdx en utilisant la d´efinition de l’int´egrale.

D´efinition 2. Pour une fonction f continue n´egative sur un intervalle ^ra;b^s on appelle int´egrale de la fonctionf entrea etb l’oppos´e de l’int´egrale de la fonction f entre aet b. Pour une fonction f continue sur un intervalle ^ra;b^s on appelle int´egrale de la fonction f entre a et b la somme des int´egrales de la fonctionf sur les intervalles o`u f est de signe constant.

Exercice 2. Calculer

»3

2

px1^qdx en utilisant la d´efinition de l’int´egrale.

D´efinition 3. Soit f une fonction continue sur un intervalle ^ra;b^s. On appelle valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle ^ra;b^s :

1 ba

»b a

f^px^qdx

Remarque 3. La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle ^ra;b^s correspond `a la valeur d’une fonction contante de mˆeme int´egrale entre aet b.

Exercice 3. Calculer la valeur moyenne de la fonction sinussur l’intervalle ^r0;π^s.

Propri´et´e 1. Croissance de l’int´egrale

On consid`ere deux fonctions f etg continues sur ^ra;b^savec f ^¤g, alors

»b a

f^px^qdx ^¤

»b a

g^px^qdx.

Propri´et´e 2. In´egalit´e triangulaire

On consid`ere une fonction f continue sur ^ra;b^s, alors

»b a

f^px^qdx

¤

»b a

|f^px^q| dx.

Exercice 4. Interpr´eter g´eom´etriquement l’in´egalit´e triangulaire.

Propri´et´e 3. Lin´earit´e de l’int´egrale On consid`eref, g^PC^pra;b^s,Rq et λ, µ^PR, alors

»b a

λf^px^q µg^px^qdxλ

»b a

f^px^qdx µ

»b a

g^px^qdx.

Propri´et´e 4. Relation de Chasles

On consid`ere une fonction f continue sur ^ra;c^set b^Pra;c^s, alors

»c a

f^px^qdx

»b a

f^px^qdx

»c b

f^px^qdx.

Remarque 4. On peut utiliser la relation de Chasles pour d´efinir l’int´egrale d’une fonction continue sur un intervalle^ra;b^s entreb et apar

»a b

f^px^qdx

»b a

f^px^qdx, les propri´et´es de l’int´egrale vues pr´ec´edemment demeurent valables `a l’exception de celles faisant intervenir l’ordre en particulier l’in´egalit´e triangulaire.

Propri´et´e 5. Sommes de Riemann

Sif est une fonction continue sur l’intervalle ^ra;b^s alors ba n

kn1

¸

k0

f

a kba n

ÝÝÝÝÑ

n^{Ñ 8}

»b a

f^px^qdx.

a b

Remarque 5. La propri´et´e demeure valable en consid´erant la somme ba n

kn

¸

k1

f

a kba n

.

Exercice 5. Calculer

»1 0

x²dx en utilisant les sommes de Riemann.

Exercice 6. Montrer que ba n

f^pa^q f^pb^q 2

kn1

¸

k1

f

a kba n

ÝÝÝÝÑ

n^{Ñ 8}

»b a

f^px^qdx en approchant l’int´egrale def au moyen de trap`ezes.

2 Calcul int´ egral

D´efinition 4. On consid`ere une fonctionf ^PFpI,Rq, une fonctionF ^PDpI,Rq telle queF¹f est appel´ee uneprimitivede la fonction f sur l’intervalle I.

Exercice 7. Montrer que la fonction f : R Ñ R x ^ÞÑ

"

1 si x0 0 si x0

n’admet pas de primitive sur R.

Propri´et´e 6. Si F1 et F2 sont deux primitives d’une fonction f ^PF^pI,Rq alors il existe un r´eel k tel que F₂ F₁ k.

Th´eor`eme 1. Th´eor`eme fondamental de l’analyse

On consid`ere une fonction f ^PC^pI,Rq et x0, a, b^PI :

La fonctionF :x^ÞÑ

»x x0

f^pt^qdt est une primitive def sur I s’annulant enx₀.

Si F est une primitive def sur I alors

»b a

f^pt^qdt^rF^pt^qst_t^b

aF^pb^qF^pa^q. Exercice 8. Calculer l’aire du domaine plan d´elimit´e par l’axe des abscisses, la courbe repr´esentative de la fonction inverse ainsi que les droites d’´equationx1 et x2.

Corollaire 1. Si f ^PC^1pI,Rq et a, b^PI alors

»b a

f^1pt^qdtf^pb^qf^pa^q. Propri´et´e 7. Int´egration par parties

Si u, v^PC¹pI,Rq eta, b^PI alors

»b a

u^1pt^qv^pt^qdt^ru^pt^qv^pt^qst_t^b

a

»b a

u^pt^qv^1pt^qdt.

Exercice 9. Calculer

» π 2

0

tsintdtpar int´egration par parties.

Exercice 10. D´eterminer une primitive de la fonction x^ÞÑxe^x sur R par int´egration par parties.

Propri´et´e 8. Changement de variable

Si f ^PC^pI,Rq, ϕ^PC^1pJ,Rq et a, b^PJ

ϕ^pJ^q€I alors

»ϕ^pb^q ϕ^pa^q

f^px^qdx

»b a

f^pϕ^pt^qqϕ^1pt^qdt.

Remarque 6. En pratique, on note xϕ^pt^q et dxϕ^1pt^qdt.

Exercice 11. Calculer

»1

1

a

1x² dx puis interpr´eter graphiquement. (on pourra utiliser le changement de variablexcost)

Exercice 12. Calculer

» π 2

0

pcost^q2psint^q3 dt.(on pourra utiliser le changement de variable xcost)

Corollaire 2. On consid`ere f ^PC^pR,Rq et a, b^PR :

si f est impairealors

»a

a

f^pt^qdt0 et si f est pairealors

»a

a

f^pt^qdt2

»a 0

f^pt^qdt.

si f est T-p´eriodique alors

»b T a T

f^pt^qdt

»b a

f^pt^qdt.

Exercice 13. Calculer

»π 0

pcost^q3 dt. (on pourra utiliser le changement de variabletπx)

3 D´ eveloppements limit´ es

3.1 Formules de Taylor

Propri´et´e 9. Formule de Taylor-Lagrange avec reste int´egral On consid`ere f ^PC^{n 1}pI,Rq et a, b^PI alors :

f^pb^q

kn

¸

k0

f^pkqpa^q

k! ^pba^qk

»b a

f^{pn 1qp}t^q

n! ^pbt^qndt Corollaire 3. In´egalit´e de Taylor-Lagrange

On consid`eref ^PC^{n 1p}I,Rq et a, b^PI alors :

f^pb^q

kn

¸

k0

f^pkqpa^q

k! ^pba^qk

¤

|ba^{|n 1}

pn 1^q! max

r ò

a;b^s

|f^{pn 1q|}

Exercice 14. Appliquer l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange `a la fonction exponentielle poura0 etbx. En d´eduire lim

n^{Ñ 8} kn

¸

k0

x^k k!.

Corollaire 4. Formule de Taylor-Young On consid`eref ^PC^{n 1}pI,Rq et a, x^PI alors :

f^px^q

x^Ña kn

¸

k0

f^pkqpa^q

k! ^pxa^qk o^ppxa^qnq

Exercice 15.Appliquer la formule de Taylor-Young `a la fonction cosinus en z´ero. En d´eduire lim

x^Ñ0

1cosx x² . En fait, on peut ´enoncer une version plus forte de la propri´et´e :

Propri´et´e 10. Formule de Taylor-Young

On consid`ere f ^PCⁿpI,Rq et a, x^PI alors :

f^px^q

x^Ña kn

¸

k0

f^pkqpa^q

k! ^pxa^qk o^ppxa^qnq Propri´et´e 11. D´eveloppements limit´es usuels

e^x

x^Ñ0 1 x x² 2

x³

6

xⁿ

n! o^px^nq cosx

x^Ñ0 1x² 2

x⁴

24 ^p1^qn x²ⁿ

p2n^q! o^px^{2n 1q} sinx

x^Ñ0 x x³ 6

x⁵

120 ^p1^qn x^{2n 1}

p2n 1^q! o^px^{2n 2q} 1

1x ^xÑ0 1 x x² x³ xⁿ o^px^nq ln^p1 x^q

x^Ñ0 x x² 2

x³

3

x⁴

4 ^p1^{qn 1}xⁿ

n o^px^nq

p1 x^qα

x^Ñ0 1 αx ^αpα₂^1qx^{2 αpα1}₆^qpα2qx^{3 αpα1qpα}_n!^{2q...pαn 1q}xⁿ o^px^nq arctanx

x^Ñ0 x x³ 3

x⁵

5 ^p1^qn x^{2n 1}

2n 1 o^px^{2n 2q}

3.2 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es

D´efinition 5. On dit qu’une fonction f `a valeurs r´eelles d´efinie au voisinage de aadmet un d´eveloppe- ment limit´ed’ordre n^PNen asif^px^q

a c₀ c₁^pxa^q c₂^pxa^q2 c_n^pxa^qn o^ppxa^qnq avec c₀, c₁, . . . , c_n^PR.

Propri´et´e 12. Si une fonction f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n enaalors celui-ci est unique.

Exercice 16. Interpr´eter en termes de limites les coefficients du d´eveloppement limit´e d’ordren en0 de la fonctionx^ÞÑ 1

1x.

Corollaire 5. Si une fonction paire admet un d´eveloppement limit´e d’ordre nen0 alors les coefficients des termes de degr´e impair sont nuls, si une fonction impaire admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 alors les coefficients des termes de degr´e pair sont nuls.

On peut additionner et multiplier les d´eveloppements limit´es :

Exercice 17. Calculer le d´eveloppement limit´e d’ordre4en0des fonctionsx^ÞÑcosx sinxetx^ÞÑe^xsinx.

On peut d´eterminer le d´eveloppement limit´e d’une compos´ee :

Exercice 18. Calculer le d´eveloppement limit´e d’ordre 3 en0 des fonctions x^ÞÑe^sinx et x^ÞÑe^cosx. On peut d´eterminer le d´eveloppement limit´e d’un inverse ou d’un quotient en utilisant le d´eveloppement limit´e deu^ÞÑ 1

1u en 0 :

Exercice 19. D´eterminer le d´eveloppement limit´e d’ordre 5 en 0 de la fonction x ^ÞÑ 1

cosx, en d´eduire le d´eveloppement limit´e d’ordre 5 en0 de la fonction tangente.

Propri´et´e 13. D´eveloppement limit´e d’une primitive

On consid`ere une fonction f d´efinie sur un intervalle I et admettant une primitive F sur I telle que f^px^q

a o^ppxa^qnq avec a^PI alors F^px^q

a F^pa^q o^ppxa^{qn 1q}.

Exercice 20. D´eterminer le d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 de la fonction x^ÞÑln^p1x^q. Exercice 21. D´eterminer le d´eveloppement limit´e d’ordre 2n 1en 0 de la fonction arctangente.

Contre-exemple 1. On consid`ere la fonction f : R Ñ R x ^ÞÑ

# 0 si x0 x³sin1

x si x0 .

1. Montrer que f^px^q

0 o^px^2q.

2. Montrer que f est d´erivable surR. 3. Montrer que f^1px^q

0 o^px^q.

Sif est d´erivable et admet un d´eveloppement limit´e d’ordrenenaon ne peut donc pas affirmer quef¹ admet un d´eveloppement limit´e d’ordren1 ena, en revanche si on sait quef¹ admet un d´eveloppement limit´e d’ordren1 en aalors on peut l’obtenir par d´erivation du d´eveloppement limit´e d’ordren de f en ad’apr`es la propri´et´e 13.

Exercices suppl´ ementaires

Exercice 22

Calculer l’aire du domaine du plan situ´e entre les paraboles d’´equationyx² ety 1x². Exercice 23

Calculer la valeur moyenne de la fonction racine carr´ee sur l’intervalle ^r1; 3^s. Exercice 24 (^Æ)

Calculer la valeur moyenne de la fonctionx^ÞÑpsinx^q2 sur l’intervalle ^r0;π^s. Exercice 25 (^ÆÆ)

On consid`ere une fonctionf continue sur l’intervalle ^ra;b^s telle que

»b a

|f^px^q|dx

»b a

f^px^qdx

. Montrer quef est de signe constant. (on pourra consid´erer la fonctiong^|f^|f)

Exercice 26 (^ÆÆ)

On consid`ere une fonctionf continue sur l’intervalle ^ra;b^s telle que

»b a

f^pt^qdt0.

Montrer quef s’annule sur ^sa;b^r.(on pourra appliquer le th´eor`eme de Rolle)

Exercice 27 D´eterminer lim

n^{Ñ 8} kn

¸

k0

1

n k en ´etudiant les sommes de Riemann de la fonction f : x ^ÞÑ 1 1 x sur l’intervalle^r0; 1^s.

Exercice 28

Montrer queF :x^ÞÑln^|1 x^|est une primitive def :x^ÞÑ 1

1 x sur^s8;1^ret sur ^s1; ^8r. Exercice 29

D´eterminer une primitive sur^r0;^π₂^rde la fonction tangente.

Exercice 30

D´eterminer une primitive surR de la fonction f :x^ÞÑe^xsinx.

(on pourra la chercher sous la formeF :x^ÞÑpλsinx µcosx^qe^x)

Exercice 31 (^Æ)

D´eterminer une primitive surR de la fonction f :x^ÞÑe^xpsinx^q2.

(on pourra lin´eariser)

Exercice 32

D´eterminer une primitive surR de la fonction f :x^ÞÑ 1 x 1 x². Exercice 33 (^Æ)

On consid`ere la fonction f : x ^ÞÑ 1 x x²

1 x x² x³, montrer qu’il existe trois r´eels a, b et c tels que f^px^q ax b

1 x² c

1 x pour tout x^PRet en d´eduire une primitive def sur ^s8;1^ret sur ^s1; ^8r. Exercice 34

Calculer

» π 3

0

ptant^q2 dt.

Exercice 35 Calculer

»3 0

|t²3t 2^|dt.

Exercice 36 Calculer

»1 0

p1 t^q

?

t dt.

Exercice 37 (^ÆÆ)

Montrer que la fonctionφ:x^ÞÑ

»x² x

dt

lnt est d´efinie et d´erivable sur^s0; 1^ret d´eterminer sa d´eriv´ee.

Exercice 38 Calculer

» π 4

0

t

pcost^q2 dt.(on pourra effectuer une int´egration par parties)

Exercice 39 Calculer

»1 0

t³e^t2 dt.(on pourra effectuer une int´egration par parties)

Exercice 40

D´eterminer une primitive surR de la fonction arctangente. (on pourra effectuer une int´egration par parties)

Exercice 41 (^Æ) Calculer

»e 1

t^plnt^q4 dt.(on pourra effectuer des int´egrations par parties successives)

Exercice 42 Calculer

» π 2

0

psint^q2pcost^q3 dt.(on pourra utiliser le changement de variablexsint)

Exercice 43 (^Æ) Calculer

» π 2

0

dt

1 cost.(on pourra utiliser le changement de variablextan₂^t)

Exercice 44 (^Æ) Exprimer 1 tan

π

4 x en fonction de tanx et en d´eduireI

» π 4

0

ln^p1 tant^q dt.

(on pourra utiliser un changement de variable)

Exercice 45 (^Æ)

On consid`eref ^PCpR,Rq T-p´eriodique aveca^PR, montrer que

»a T a

f^pt^qdt

»T 0

f^pt^qdt.

(on pourra utiliser la relation de Chasles)

Exercice 46 (^Æ)

On consid`ere une fonctionf polynomiale de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.

Montrer que

»b a

f^px^qdx ba 6

f^pa^q 4f

a b 2

f^pb^q

.

Exercice 47 (^ÆÆ)

On consid`ere une fonctionf polynomiale de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.

Montrer que

»b a

f^px^qdx ba 2

f

?

3 1 2

?

3 a

?

31 2

?

3 b f

?

31 2

?

3 a

?

3 1 2

?

3 b

. Exercice 48 (^Æ)

D´emontrer quexx²

2 ^¤ln^p1 x^q¤xx² 2

x³

3 pourx^PR en utilisant la formule de Taylor-Lagrange avec reste int´egral `a l’ordre 2 pour f^pt^qln^p1 t^q,a0 et bx.

Exercice 49 (^Æ)

D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en x 0 de la fonction x ^ÞÑ 1

?

1x en utilisant la formule de Taylor-Young.

Exercice 50

D´eterminer un ´equivalent en 0 de la fonction f :x^ÞÑx^p2 cosx^q3 sinx.

Exercice 51

D´eterminer le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 6 de f :x^ÞÑ

?

1 x². Exercice 52

Etudier la limite en 0 de la fonction´ f :x^ÞÑ 1cosx 1

?

1 x².

Exercice 53

D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre nen x1 dex^ÞÑ1 x x² x³.

(on pourra utiliser le changement de variableXx 1)

Exercice 54

D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en x1 de x^ÞÑ 1 x³ 1 x x².

(on pourra utiliser le changement de variableXx1)

Exercice 55

Etudier la limite en 1 de la fonction´ f :x^ÞÑ lnx 1^?x.

(on pourra utiliser le changement de variableXx1)

Exercice 56 (^Æ)

Montrer que la courbe repr´esentative C de la fonction f :x^ÞÑx

x 1

x1 admet une asymptote oblique T en ⁸puis ´etudier les positions relatives de C etT au voisinage de ⁸.

(on pourra utiliser le changement de variableX 1

x et calculer un d´eveloppement limit´e)

Exercice 57

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ 1 sinx

1

x se prolonge par continuit´e en 0 en une fonction d´erivable en 0 et d´eterminerf^p0^q etf^1p0^q.

Exercice 58

D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en x0 de la fonction x^ÞÑ

?

1 sinx.

Exercice 59

D´eterminer une valeur approch´ee de arctan 1

10 en utilisant le d´eveloppement limit´e de la fonction arctan en 0 `a l’ordre 4.

Exercice 60

D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 de la fonction arccos en 0.

(on pourra proc´eder par int´egration)

Exercice 61 (^ÆÆ)

D´eterminer un d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3 de la fonctionf :x^ÞÑ 1

a

p16x^2qp25x^2q. En d´eduire une valeur approch´ee rationnelle de

»1 0

dt

a

p16t^2qp25t^2q.

R´ eponses

1) On calcule l’aire d’un trap`eze, on obtient 6.

2) On calcule l’aire de deux triangles, on obtient 2⁹₂ ⁵₂. 3) 2

π.

4) En termes d’aires, on a ^|a₁ a₂ a_n^|¤|a₁^{| |}a₂^{| |}a_n^|. 5) 1

n

kn

¸

k1

k n

2

n^pn 1^qp2n 1^q

6n^{3 nÝÑÑ8} 1 3. 6) On posex_ka k^b_n^a et on part de

kn1

¸

k0

ba

2n ^rf^px_k^q f^px_k 1^qs.

7) On auraitF^px^qC₁ six 0 etF^px^qC₂ si x^¡0, et commeF doit ˆetre d´erivable donc continue, n´ecessairement F Cted’o`u f 0 ce qui est contradictoire.

8) ln 2.

9) 1.

10) x^ÞÑpx1^qe^x. 11) π

2 ce qui correspond `a l’aire d’un demi-disque de rayon 1.

12) 2 15. 13) 0.

14) e.

15) ¹₂. 16) c0 lim

x^Ñ0f^px^q,c1 lim

x^Ñ0 f^px^qc0

x ,c1 lim

x^Ñ0

f^px^qc0c1x

x² , etc, d’o`uc_k lim

x^Ñ0 1 1x 1.

17) cosx sinx

0 1 x1

2x²1

6x³ 1

24x⁴ o^px^4q et e^xsinx

0 x x² 1

3x³ o^px^4q. 18) e^sinx

0 1 x 1

2x² o^px^3q et e^cosx

0 ee

2x² o^px^3q. 19) 1

cosx 0 1 1

2x² 5

24x⁴ o^px^5q et tanx

0 x 1

3x³ 2

15x⁵ o^px^5q. 20) ln^p1x^q

0

x1 2x²1

3x³ 1

nxⁿ o^px^nq. 21) arctanx

0 x1 3x³ 1

5x⁵1

7x^{7 p}1^qn

2n 1x^{2n 1} o^px^{2n 1q}. 22)

»

?

2 2

?

2 2

1x²dx

»

?

2 2

?

2 2

x²dx 2 3

?

2.

23)

?

31 3. 24) 1

2. 25) Si

»b a

f^px^qdx^¥0 alors la fonctiong^|f^|f positive est d’int´egrale nulle donc nulle etf ^|f^|¥0, si

»b a

f^px^qdx^¤0 alors la fonctiong^|f^| f positive est d’int´egrale nulle donc nulle etf ^|f^|¤0.

26) On applique le th´eor`eme de Rolle `a la fonction F :x^ÞÑ

»x a

f^pt^qdt sur l’intervalle^ra;b^s. 27) ln 2.

28) Six 1 alors F^px^qln^p1x^q d’o`uF^1px^q 1

1x f^px^q. 29) x^ÞÑln^pcosx^q.

30) F^px^q 1

2^psinxcosx^qe^x. 31) F^px^q 1

10^p5cos 2x2 sin 2x^qe^x. 32) F^px^qarctanx 1

2ln^p1 x^2q. 33) F^px^q 1

4ln^p1 x^2q 1

2arctanx 1

2ln^|1 x^|. 34)

?

3π 3. 35) 11

6 . 36) 16

15.

37) On aφ^px^qF^px^2qF^px^q avec F primitive de 1

ln d’o`uφ^1px^q x1 lnx . 38) π

4 1 2ln 2.

39) 1

2, en remarquant que t³e^t2 1

2t²2te^t2. 40) x^ÞÑx arctanx1

2ln^p1 x^2q. 41) e²3

4 en remarquant que I_n

»e 1

t^plnt^qn dtv´erifie la relation de r´ecurrenceI_n 1

2^pe²nI_n1^q. 42) 2

15. 43) 1.

44) En posant x ^π₄ t on obtientI 1

4πln 2I d’o`u I 1 8πln 2.

45)

»a T a

f^pt^qdt

»0 a

f^pt^qdt

»T 0

f^pt^qdt

»a T T

f^pt^qdt

»0 a

f^pt^qdt

»T 0

f^pt^qdt

»a 0

f^pt^qdt

»T 0

f^pt^qdt.

46) On prouve la formule pourf^px^q1,f^px^qx,f^px^qx² etf^px^qx³ puis on proc`ede par lin´earit´e de l’int´egrale.

47) On prouve la formule pourf^px^q1,f^px^qx,f^px^qx² etf^px^qx³ puis on proc`ede par lin´earit´e de l’int´egrale.

48) On remarque que ln^p1 x^qx x²

2

»x 0

pxt^q2

2 ln^p3qp1 t^qdt^¥0 et que ln^p1 x^qx x²

2

x³

3

»x 0

pxt^q3

6 ln^p4qp1 t^q dt^¤0.

49) 1

?

1x

0 1

kn

¸

k1

135^p2k1^q

k! 2^k x^k o^px^nq.

50) f^px^q

0

x⁵ 60. 51) 1 1

2x² 1

8x⁴ 1

16x⁶ o^px^6q. 52) lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q1.

53) 2^px 1^q2^px 1^{q2 p}x 1^q3 si n^¥3.

54) 2 3

1

3^px1^q 4

9^px1^q22

9^px1^q3 o^ppx1^q3q. 55) lim

x^Ñ1 x^¡1

f^px^q lim

x^Ñ1 x 1

f^px^q2.

56) On montre que f^px^q 1

X 1 1

2X o^pX^qx 1 1 2x o

1 x

. 57) 1

sinx 1 x ⁰

1

6x o^px^q doncf^p0^q0 et f^1p0^q 1 6. 58)

?

1 sinx

0 1 1

2x1

8x² 1

48x³ o^px^3q. 59) arctan 1

10 299 3000. 60) arccosx

0

π

2 xx³

6

3x⁵

40 o^px^6q. 61) f^px^q

0

1 20

41

16000x² o^px^3qd’o`u F^p1^qF^p0^q 2441 48000.