V − Continuit´e 1) D´efinition de la continuit´e

V − Continuit´ e

1) D´ efinition de la continuit´ e

D´efinition 14 (Continuit´e ponctuelle)

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle non vide ou une r´eunion d’intervalles non vide deR. 1. On dit que f est continue en un point x0∈ D^f si :

f(x)_x→x→

0

f(x0).

2. On dit que f est continue `a droite en un point x0∈ D^f si : f(x) →

x→x⁺₀

f(x0).

3. On dit que f est continue `a gauche en un point x0∈ D^f si : f(x) →

x→x⁻₀

f(x0).

On a par d´efinition :

f est continue en x0 ⇔





f est continue enx0 `a gauche et

f est continue enx0 `a droite.

✍

Exemple 33

1. ´Etudier la continuit´e en 0 de la fonction

f: [0,+∞[→R; x&→





 e^x−1

x six'= 0 1 six= 0 2. ´Etudier la continuit´e en1 de la fonction

f:R→R; x&→





x²+ 2x−3 six <1

0 six= 1

x−2 six >1 3. ´Etudier la continuit´e en0 de la fonction

f: R→R; x&→







 cos

Å1 x ã

six'= 0 1 six= 0

Th´eor`eme 35 (Points de continuit´e et de discontinuit´e de la fonction partie enti`ere) 1. La fonction partie enti`ere est continue en tout point x0∈R\Z.

2. Six0∈Z, alors la fonction partie enti`ere est : (a) continue `a droite enx0;

(b) discontinue `a gauche enx0.

✍

Preuve du th´eor`eme 35

D´efinition 15 (Continuit´e sur un intervalle ou sur une r´eunion d’intervalles)

1. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle non vide ou une r´eunion d’intervalles non vide deR. On dit quef est continue surD^f si elle est continue en tout pointx0 de D^f (cf. D´ef. 14).

2. SoitI un intervalle non vide deR. On noteC⁰(I,R)l’ensemble des fonctions d´efinies et continues surI.

✍

Remarque 8 (Interpr´etation graphique de la continuit´e sur un intervalle)

Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle non vide I de R. On fixe un rep`ere du plan et on consid`ere la repr´esentation graphique C^f de f. Alors on peut tracerC^{f "}sans lever le crayon^#.

Th´eor`eme 36 (Continuit´e des fonctions usuelles)

Toutes les fonctions usuelles, fonction partie enti`ere exclue, sont continues sur leurs ensembles de d´efinition.

✍

Remarque 9 (Prolongement d’identit´es grˆace `a la continuit´e)

Soit (a, b)∈R² tel quea < b. Soientf etg des fonctions continues sur [a, b]. Alors : (∀x∈]a, b] f(x) =g(x)) ⇒ (∀x∈ [a, b] f(x) =g(x)).

2) Op´ erations sur les fonctions continues

Th´eor`eme 37 (Composition de fonctions continues)

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleInon vide deRet soitgune fonction d´efinie sur un intervalle J non vide deR. On suppose que la compos´ee g◦f est bien d´efinie, i.e. que

∀x∈I f(x)∈J ce qui s’´ecrit encore f(I)⊂J. On a :

f est continue surI et

g est continue surJ



 ⇒ g◦f est continue surI.

✍

Preuve du th´eor`eme 37

✍

Exemple 34 Soit la fonction

f: R→R; x&→ln(x²+x+ 1).

Montrer que f est bien d´efinie et continue surR.

Th´eor`eme 38 (Op´erations alg´ebriques sur les fonctions continues) 1. Somme

Soientf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalle I non vide deR. On a : f est continue sur I

et

g est continue surI



 ⇒ f+g est continue surI.

2. Multiplication par un scalaire

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I non vide deRet soit λ∈R. On a : f est continue sur I ⇒ λf est continue sur I.

3. Produit

Soientf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalle I non vide deR. On a : f est continue sur I

et

g est continue surI



 ⇒ f×g est continue surI.

4. Quotient

Soientf etgdeux fonctions d´efinies sur un intervalleInon vide deR. On suppose quegne s’annule pas surI. On a :

f est continue sur I et

g est continue surI



 ⇒ f

g est continue surI.

✍

Preuve du th´eor`eme 38

✍

Exemple 35 Soit la fonction

f: ]1,+∞[→R; x&→ sin(x)e^−x

2 2

(ln(x) . Montrer que f est bien d´efinie et continue sur]1,+∞[.

Th´eor`eme 39 (Structure sur C<sup>0</sup>(I,R), o`uI est un intervalle non vide de R) Soit I un intervalle non vide deR. Alors C⁰(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R).

✍

Preuve du th´eor`eme 39

Th´eor`eme 40 (sup et inf de deux fonctions continues)

Soientf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalleI non vide deR. f est continue surI

et

g est continue surI



 ⇒ sup(f, g)etinf(f, g)sont continues surI.

Preuve du th´eor`eme 40 : En remarquant que sup(f, g) =f+g+|f −g|

2 et inf(f, g) = f+g− |f−g| 2

le r´esultat d´ecoule de la continuit´e def etgsurI, de la continuit´e de la fonction valeur absolue surRet des th´eor`emes 37 et 38.

3) Restrictions et prolongements de fonctions continues

Th´eor`eme 41 (Une restriction d’une fonction continue est continue)

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalleI non vide deR. SoitJ un intervalle non vide de Rinclus dansI. On a :

f est continue sur I ⇒ f|J est continue surJ .

Preuve du th´eor`eme 41 :L’assertion d´ecoule directement de la d´efinition d’une fonction continue sur un intervalle (cf. D´ef. 15).

D´efinition 16 (Fonction prolongeable par continuit´e et prolongement par continuit´e) Soit I un intervalle non vide deR d’un des"types# suivants :

]x0,?[ ; ]x0,?] ; ]?, x0[ ; [?, x0[ avec x0∈R. Soit f une fonction d´efinie et continue sur I .

1. On dit que f est prolongeable par continuit´e enx0 sif admet une limite finie enx0. 2. Sif est prolongeable par continuit´e en x0 et si l’on pose l = lim

x→x0

f(x)∈Ralors le prolongement par continuit´e def enx0 est la fonction

I ∪ {x0} →R; x&→

ß f(x) six∈I l six=x0

qui est continue sur l’intervalle I ∪ {x0}.

✍

Exemple 36

1. Soit la fonction

f: ]0,+∞[→R; x&→sin(x) x .

Montrer que la fonctionf est prolongeable par continuit´e en0 et ´ecrire le prolongement par conti- nuit´e def en 0.

2. Soit la fonction

f: ]0,+∞[→R; x&→e^−√1x x .

Montrer que la fonctionf est prolongeable par continuit´e en0 et ´ecrire le prolongement par conti- nuit´e def en 0.

4) Fonctions continues sur un intervalle

Th´eor`eme 42 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (TVI)) 1. Premi`ere formulation du TVI

Sif est une fonction continue sur un intervalle I non vide de R, alors f(I) ={f(x) : x∈I}

est un intervalle.

2. Deuxi`eme formulation du TVI

Soit f une est une fonction continue sur un intervalle I non vide de R. Pour tout (a, b)∈I² tel quea < b, pour tout nombre r´eely0 compris entref(a)etf(b), il existe x0∈[a, b]tel que :

f(x0) =y0. 3. Troisi`eme formulation du TVI

Soitf une fonction continue sur un intervalle I non vide deR. Pour tout(a, b)∈I² tel quea < b, pour tout nombre r´eely0 compris entref(a)etf(b), l’´equation

f(x) =y0

d’inconnuex∈[a, b]poss`ede une solution.

Preuve du th´eor`eme 42 : Les trois formulations du TVI sont ´equivalentes. Pour une preuve de la troisi`eme, par dichotomie, on renvoie `a l’exercice 181 de la feuille de TD n˚19Limite et continuit´e (partie 2).

✍

Remarque 10

1. Illustrer graphiquement le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (la deuxi`eme formulation).

2. Donner un contre-exemple au TVI, dans le cas o`u f est une fonction continue sur une partie deR non vide, qui n’est pas un intervalle.

3. Donner un contre-exemple au TVI, dans le cas o`uf est d´efinie sur un intervalleI non vide deR, mais non continue surI.

✍

Exemple 37

1. Montrer que l’´equation

x⁵+x= cos(x) poss`ede une solution sur[0,1].

2. Montrer que l’´equation

sin¹⁸(x) +x−1 = 0 poss`ede une solution surR.

5) Fonctions continues sur un segment

Rappel :Un segment deRest un intervalle ferm´e born´e, i.e. un intervalle^"du type^#: [a, b]

o`u (a, b)∈R²est tel quea < b.

Th´eor`eme 43 (Image d’un segment par une fonction continue) 1. Premi`ere formulation

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

2. Deuxi`eme formulation

Soit (a, b)∈R² est tel que a < b. Soit f: [a, b]→Rune fonction continue sur[a, b]. Alors f([a, b]) ={f(x) : x∈[a, b]}

est un segment, i.e. il existe(m, M)∈R² tel quem < M et : f([a, b]) = [m, M].

Sur la preuve du th´eor`eme 43 : Les deux formulations sont bien sˆur ´equivalentes. Ce r´esultat est admis.

✍

Remarque 11

1. Illustrer graphiquement le th´eor`eme sur l’image d’un segment par une fonction continue (la deuxi`eme formulation).

2. Donner un contre-exemple au th´eor`eme sur l’image d’un segment par une fonction continue, dans le cas o`u f est une fonction continue sur un intervalle non vide de Rqui n’est pas un segment.

3. Donner un contre-exemple au th´eor`eme sur l’image d’un segment par une fonction continue, dans le cas o`u f est d´efinie sur un segment de R, mais non continue sur ce segment.

Th´eor`eme 44 (Une fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes) Soit (a, b)∈R² est tel que a < b. Soitf: [a, b]→R une fonction continue sur [a, b]. Alorsf admet un minimum et un maximum.

✍

Preuve du th´eor`eme 44

✍

Exemple 38

Soit I un intervalle non vide deR. Soit f ∈ C⁰(I,R)telle que : (∗) ∀x∈I f(x)<1.

1. Interpr´eter graphiquement la condition (∗).

2. Montrer que siI est segment, alors :

(∗∗) ∃k∈]− ∞,1[ ∀x∈I f(x)≤k et interpr´eter graphiquement ce r´esultat.

3. Montrer, `a l’aide d’un contre-exemple, que le r´esultat(∗∗)peut ˆetre mis en d´efaut siI n’est pas un segment.

6) Fonctions continues et monotones (resp. strictement monotones) sur un intervalle

Th´eor`eme 45 (Image d’une fonction continue et monotone sur un intervalle) Soit f une fonction telle que :

(i) f est d´efinie sur un intervalleI deR; (ii) f est continue surI;

(iii) f est monotone sur I.

Alors on a les r´esultats suivants.

1. Siaetb sont les extr´emit´es de I, alors il existe A, B∈Rtels que : f(x)_x→a→ A et f(x) →

x→bB.

De plus, sia∈I (resp.b∈I), alors A=f(a)(resp. B=f(b)).

2. L’intervalle f(I) est donn´e par le tableau suivant.

f 11surI f 22surI

I= [a, b] f(I) = [A, B] f(I) = [B, A]

I=]a, b] f(I) =]A, B] f(I) = [B, A[

I= [a, b[ f(I) = [A, B[ f(I) =]B, A]

I=]a, b[ f(I) =]A, B[ f(I) =]B, A[

✍

El´^´ ements de preuve du th´eor`eme 45

✍

Exemple 39

D´eterminer l’image de la fonction

f: [−1,1]→R; x &→x³−x+ 1.

Th´eor`eme 46 (Th´eor`eme de la bijection) Soit f une fonction telle que :

(i) f est d´efinie sur un intervalleI deR; (ii) f est continue surI;

(iii) f est strictement monotone sur I.

Alors f r´ealise une bijection de I sur f(I) (intervalle que l’on peut d´eterminer grˆace au th´eor`eme 45), i.e. la fonction

f):I→f(I) ; x&→f(x) d´eduite de f en restreignant son ensemble d’arriv´ee, est bijective.

✍

Preuve du th´eor`eme 46

✍

Exemple 40

Montrer que l’´equation

sin(x) =xcos(x) poss`ede une unique solution sur [π; 2π].

Th´eor`eme 47 (Un crit`ere de continuit´e d’une bijection r´eciproque) Soit f une fonction telle que :

(i) f est d´efinie sur un intervalleI deR; (ii) f est continue surI;

(iii) f est strictement monotone sur I.

La fonction

f):I→f(I) ; x&→f(x)

´etant bijective (cf. Thm 46), on peut consid´erer sa bijection r´eciproque f)⁻¹ d´efinie par : f)⁻¹:f(I) → I

y &→ l’unique solution de l’´equation f(x) =y d’inconnuex∈I.

Alors, la fonctionf)⁻¹est bijective, continue sur l’intervallef(I)(cf. TVI) et de mˆeme stricte monotonie quef.

Sur la preuve du th´eor`eme 47 :L’assertion sur le caract`ere bijectif def)⁻¹ a d´ej`a ´et´e ´etablie. Celle sur la continuit´e de f)<sup>−1</sup> sur l’intervalle f(I) est admise. Il reste `a montrer le r´esultat sur le sens de variation def)⁻¹.

✍

Exemple 41

Jusitifier la continuit´e de la fonction arcsinsur[−1,1].