Sup PCSI 2 — Colle n◦ 13 et 14 — Quinzaine du 9/1 au 20/1
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Limites et continuit´ e
•D´efinition de la continuit´e ; exemples, contre-exemples.
•Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e.
•Prolongement par continuit´e.
•Fonctions continues sur un intervalle I; notationC(I,R) ; op´erations dans cet ensemble ; composition de fonctions continues.
• D´efinition de la limite en a ∈ I d’une fonction f : I 7→ R o`u I est un intervalle de R. La limite est n´ecessairement ´egale `af(a).
•Caract´erisation s´equentielle de la limite.
•Op´erations sur les limites.
•Passage `a la limite dans les in´egalit´es.
•Th´eor`eme de la limite monotone.
•Extensions : limite `a droite, limite `a gauche ; limite en ±∞; limite ena∈I; lim
a
f =±∞.
•Relations de comparaisons ; r`egles de comparaison usuelles ; ´equivalents usuels.
ICalculs de limites, d’´equivalents ; d´etermination de d´eveloppements asymptotiques simples.
•Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (preuve non exigible). L’image continue d’un intervalle est un inter- valle.
•Toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes (preuve non exigible).
2 D´ eriv´ ees
•D´efinitions ´equivalentes de la d´eriv´ee ena∈I def ∈ F(I,R) : avec la limite du taux d’acroissement, avec leDL1(a) (la notion deDLn’est pas `a ce programme).
•La d´erivabilit´e de f enaimplique la continuit´e def ena. La r´eciproque est fausse.
•Fonction d´eriv´ee ; d´eriv´ees successives.
•D´eriv´ee de la somme, du produit, du quotient de deux fonctions d´erivables. Formule deLeibniz.
•D´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions d´erivables.
•Condition pour quef−1soit d´erivable, expression de f−10.
•Th´eor`eme deRolle; n´ecessit´e de chaque hypoth`ese.
•Th´eor`eme des accroissements finis ; in´egalit´e des accroissements finis.
•Th´eor`eme ditde la limite de la d´eriv´ee.
•Lien entre sens de variation def et signe def0; en particulier, CNS pour quef ∈ D(I,R) soit strictement monotone surI.
•Une fonctionf d´erivable estk-lipschitzienne ssif0 est born´ee park.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : AC : 15 CP : 130 FT : 23
