Chapitre 07 Fonctions_derivees

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Fonctions d ´eriv ´ees

Transmath 2011 p.75 et 94. Objectifs :

– Définir la fonction dérivée

– Connaˆıtre les fonctions d´eriv´ees des fonctions usuelles

– Savoir utiliser les formules donnant la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient – Étudier les dérivées de fonctions plus composées à l’aide de ces formules

1. Fonction d ´eriv ´ee

Soit f une fonction définie et dérivable en tout a d’un intervalle I. L’hypothèse “dérivable” signifie que pour a ∈ I, limh→0f (a+h)−f (a)_h existe.

On a appelé cette limitenombre dérivé de f en aau chapitre 4 et on l’a noté f0(a).

D éfinition 7.1 Soit f une fonction d érivable en tout x d’un intervalle I, alors la fonction qui à x associe f0(x)est appel ée fonction d ériv ée de f sur I. On la note f0.

Exemple : Si l’on considère la fonction ”position”, notée t 7→ s(t) (on considère dans ce cas une ”abscisse curviligne”), qui à un instant t associe la position d’un solide sur sa trajectoire, alors :

– la fonction dérivée de s(t) correspond à la vitesse du solide, on la note donc v(t) au lieu de s0(t)

– on peut même chercher la fonction dérivée de v(t), celle-ci correspond à l’accélération du solide, et on la note a(t) plutôt que v0(t) ou que s00(t).

(2)

2. D ´eriv ´ees des fonctions usuelles

A. Fonction constante

Soit k ∈ R et f : x 7→ k, pour x ∈ R. pour h 6= 0, f (x+h)−f (x)h = k−k

h = 0.

Donc f est d´erivable sur R et pour tout x ∈ R, f0(x) = 0.

Propri ét é 7.1 La d ériv ée d’une fonction constante est la fonction nulle.

B. La fonction x 7→ x

n

, n ∈ N

∗

Propri ´et ´e 7.2 Soient n ∈ N∗

et f la fonction d ´efinie sur R par f (x) = xn. Alors f est d ´erivable sur R et pour x ∈ R, on a f0(x) = nxn−1_.

D émonstration Id ée de la d émonstration :

Soit x ∈ R et h un r ´eel non nul. Calculons le quotientf (x+h)−f (x)h . On a d’abord f (x + h) = (x + h)

n_{. En d ´eveloppant}

cette expression on va obtenir des termes en xn, en xn−1× h, en xn−2_{× h}2

, . . . et en hn. En observant attentivement la mani `ere de d ´evelopper le produit (x + h)(x + h) . . . (x + h), on remarque que le terme xn_{apparaˆıtra une seule fois et le}

terme xn−1_{× h apparaˆıtra n fois. On a donc :}

(x + h)n= xn+ n × xn−1h + . . . xn−2h2+ · · · + hn Donc : f (x + h) − f (x) h = n × xn−1_{h + . . . x}n−2_h2_{+ · · · + h}n h = nx n−1 + hQ(x, h)

avec Q(x, h) une expression polynomiale d ´ependant de x et de h : sa limite lorsque h tend vers 0 existe donc. Ainsi, on obtient : lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limx→0 nx n−1_{+ hQ(x, h) = nx}n−1

Remarque : On a donc les r´esultats suivants : – si f (x) = x alors pour x ∈ R, on a f0(x) = 1 ; – si f (x) = x2 alors pour x ∈ R, on a f0(x) = 2x ; – si f (x) = x3 alors pour x ∈ R, on a f0(x) = 3x2; – . . ..

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3. Déterminer l’équation de la tangente àCf au point

d’abscisse 1.

Le coefficient directeur de la tangente `aCf au point d’abscisse 1 deC est f0(1). Pour calculer f0(1) on peut utiliser

deux m´ethodes :

– la définition du nombre dérivé : c’est la limite lorsque h tend vers 0 du quotient f (1+h)−f (1)_h ; – ou, et c’est plus rapide, la fonction dérivée de f : on a pour tout x ∈ R, f0(x) = 3x2_{; donc f}0

(1) = 3 × 12_{= 3.}

De plus, on a f (1) = 13= 1. L’´equation de T1 est donc : y = f0(1)(x − 1) + f (1), soit y = 3(x − 1) + 1 ou encore, en

r´eduisant : T1: y = 3x − 2.

C. Fonction inverse

Propri ét é 7.3 Soit f la fonction d éfinie sur R∗

par f (x) =1_x. Alors f est d ´erivable sur R∗et pour x 6= 0, f0(x) = −1

x2.

D ´emonstration Pour x 6= 0 et h 6= 0 tels que x + h 6= 0, on a :

f (x + h) − f (x) h = 1 x+h− 1 x h = x−(x+h) x(x+h) h = −h x(x + h)h = − 1 x(x + h) On a donc : lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 − 1 x(x + h) = − 1 x2

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Exemple : Soit f la fonction inverse : pour x 6= 0, f (x) = 1_x. Déterminer une équation de la tangente àCf au point

d’abscisse 1.

Cette tangente T1 a pour ´equation y = f0(1)(x − 1) + f (1).

Pour la d´eterminer nous avons besoin de f0(1) et de f (1) = 1 1 = 1. On a pour tout x 6= 0, f0(x) = −1 x2 donc f 0 (1) = −1 12 = −1. Ainsi T1 a pour ´equation y = −1 × (x − 1) + 1 soit T1: y = −x + 2.

D. Fonction racine carr ´ee

Propri ét é 7.4 Soit f la fonction d éfinie sur R+par f (x) =

√ x. Alors f est d ´erivable sur R∗

+et pour x ∈ R∗+, on a f0(x) =₂√1_x.

Attention : f n’est pas d ´erivable en 0

D ´emonstration Pour x ∈ R∗+et h ∈ R ∗ +on a : f (x + h) − f (x) h = √ x + h −√x h = √ x + h2−√x2 h(√x + h +√x)= h h(√x + h +√x) = 1 √ x + h +√x On a donc : lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 1 √ x + h +√x = 1 2√x Si x = 0, pour h > 0, on af (0+h)−f (0)_h = √ h h = 1 √

h. Ainsi, lorsque h tend vers 0,

√

haussi donc √1

hprend des valeurs de

plus en plus grandes. Donc la limite lorsque h tend vers 0 du quotientf (0+h)−f (0)_h n’existe pas : la fonction racine carr ´ee n’est pas d ´erivable en 0.

Application au trac´e de la courbe :

Pour tracer la courbe représentant la fonction racine carrée on dresse un tableau de valeurs et pour chaque point de ce tableau on calcule le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point, puis on détermine l’équation de la tangente : a 1 4 1 2 f (a) 1 2 1 √ 2 f0(a) 1 1 2 1 2√2

– en a =1₄, l’´equation de la tangente est : y = 1 × (x −1 4) + 1 2 soit y = x + 1 4;

– en a = 1, l’´equation de la tangente est : y = 1 2(x − 1) + 1 soit y = 1 2x + 1 2;

– en a = 2, l’´equation de la tangente est : y = 1 2√2(x − 2) + √ 2 soit y = x√2 4 + √ 2 2 . ~i ~j A B C

E. Fonctions trigonom ´etriques

Propri ét é 7.5 Les fonctions sinus et cosinus sont d érivables sur R et on a pour x ∈ R, cos0(x) = − sin(x) et sin0(x) = cos(x).

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3. Op ´erations sur les fonctions d ´erivables

A. D ´eriv ´ee d’une somme

Propri ét é 7.6 Soient u et v deux fonctions d érivables sur un intervalle I.

On note f la fonction d ´efinie sur I par f (x) = u(x) + v(x) (on note aussi f = u + v sur I). Alors la fonction f est d ´erivable sur I et pour x ∈ I, f0(x) = u0(x) + v0(x). On note f0= u0+ v0.

Exemple : Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x3_{+ x}2_{+ 3.}

f est d´erivable sur R comme somme de fonctions d´erivables sur R, et pour x ∈ R, on a : f0(x) = 3x2+ 2x

B. Produit par un r ´eel

Propri ét é 7.7 Soient u une fonction d érivable sur un intervalle I, et λ un r éel quelconque.

On note f la fonction d ´efinie sur I par f (x) = λu(x) (on note f = λu sur I).

Alors la fonction f est d ´erivable sur I et pour x ∈ I, f0(x) = λu0(x). On note f0= λu0.

Exemple : Soit f d´efinie sur R par f (x) = 2x2_{, et g d´}

efinie sur R par g(x) = 4x3_{− 2x.}

Alors, f0(x) = 2 × 2x et g0(x) = 4 × 3x2− 2.

Cons´equence :

Les fonctions polynômes sont donc dérivables sur leur ensemble de définition.

C. D ´eriv ´ee d’un produit

Propri ét é 7.8 Soient u et v deux fonctions d érivables sur un intervalle I.

Soit f la fonction d ´efinie sur I par f (x) = u(x)v(x).

Alors, f est d ´erivable sur I et pour x ∈ I, f0(x) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x). On note f0= u0v + uv0.

D émonstration (Id ée de la d émonstration) Pour a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I on a :

(uv)(a + h) − (uv)(a)

h =

u(a + h).v(a + h) − u(a).v(a) h

= u(a + h).v(a + h) − u(a).v(a + h) + u(a).v(a + h) − u(a).v(a) h

= v(a + h) ×u(a + h) − u(a)

h + u(a) × v(a + h) − v(a) h Or on a lim h→0v(a + h) = v(a), lim h→0 u(a+h)−u(a) h = u 0 (a), et lim h→0 v(a+h)−v(a) h = v 0 (a).

En admettant que (sous certaines conditions remplies ici) la limite d’un produit est le produit des limites (et de m ˆeme pour la somme) on obtient donc :

lim

h→0

(uv)(a + h) − (uv)(a)

h = v(a) × u

0

(a) + u(a) × v0(a)

Ceci est vrai pour tout a ∈ I donc sur I on a f0= u0v + uv0.

Exemple : Soit f la fonction d´efinie sur R+par f (x) = x3

√ x.

f est dérivable sur R∗+ comme produit de fonctions dérivables : f s’écrit u × v avec

u(x) = x3

v(x) =√x , où u est dérivable sur R et v dérivable sur R∗+.

On a donc : u0(x) = 3x2 v0(x) = ₂√1 x .

(5)

Avec ces notations, on a f0= u0v + uv0donc : Pour x > 0, f0(x) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x) = (3x2)√x + x3× 1 2√x= 3x 2√ x + x 3 2√x. En simplifiant, on obtient mˆeme :

f0(x) = 3x2√x +1 2x 3 × √ x √ x√x = x 2√ x +1 2x 2√ x = 7 2x 2√ x

Remarque : Dans le cas de cet exemple, la propriété 7.8 permet d’affirmer que f est dérivable sur R∗+, mais elle ne

permet pas de conclure sur la d´erivabilit´e de f en 0.

Pour cela, revenons à la définition du nombre dérivé : f est dérivable en 0 si le quotient f (0+h)−f (0)_h admet une limite réelle lorsque h → 0. On a : f (0 + h) − f (0) h = h3√h h = h 2√ h Donc : lim h→0 f (0 + h) − f (0) h = limh→0h 2√ h = 0 Donc f est dérivable en 0 et f0(0) = 0.

Propri ét é 7.9 (Cons équence) Soit u une fonction d érivable sur un intervalle I.

Soit f la fonction d ´efinie sur I par f (x) = (u(x))2.

Alors la fonction f est d ´erivable sur I et pour tout x ∈ I, on a f0(x) = 2 × u(x) × u0(x). On ´ecrit :

u20 = 2uu0

D. D ´eriv ´ee d’un quotient

Propri ét é 7.10 Soient u et v deux fonctions d érivables sur un intervalle I, avec v(x) 6= 0 pour x ∈ I.

Soit f la fonction d ´efinie sur I par f (x) =u(x)_v(x).

Alors, f est d ´erivable sur I et pour x ∈ I, f0(x) = u0(x)v(x)−u(x)v_(v(x))2 0(x). On note f

0

=u0v−uv_v2 0.

D émonstration (Id ée de la d émonstration) Pour a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I on a :

f (a + h) − f (a) = u(a + h) v(a + h)−

u(a) v(a)

= u(a + h).v(a) − u(a).v(a + h) v(a + h).v(a)

= u(a + h).v(a) − u(a).v(a) + u(a).v(a) − u(a).v(a + h) v(a + h).v(a)

= 1

v(a + h).v(a)× (v(a) × (u(a + h) − u(a)) + u(a) × (v(a) − v(a + h)))

On divise le tout par h, on obtient : f (a + h) − f (a)

h =

1

v(a + h).v(a)×

v(a) × (u(a + h) − u(a)) + u(a) × (v(a) − v(a + h)) h

= 1

v(a + h).v(a)×

v(a) ×u(a + h) − u(a)

h + u(a) × v(a) − v(a + h) h Or on a lim h→0v(a + h) = v(a), lim h→0 u(a+h)−u(a) h = u 0 (a), et lim h→0 v(a+h)−v(a) h = v 0 (a).

En admettant que (sous certaines conditions remplies ici) la limite d’un produit est le produit des limites (et de m ˆeme pour la somme et le quotient) on obtient donc :

lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h =

v(a) × u0(a) − u(a) × v0(a) (v(a))2

Ceci est vrai pour tout a ∈ I donc sur I on a f0

(6)

Exemple : Soit f la fonction d´efinie sur R, par f (x) = 3x−4x2₊₃.

f est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas : on a f = u v avec u(x) = 3x − 4 v(x) = x2+ 3 . On a donc : u0(x) = 3 v0(x) = 2x . Et ainsi, f 0 = u0v−uv0 v2 . Donc : Pour x ∈ R, f0(x) = 3 × (x 2 + 3) − (3x − 4) × (2x) x2_{+ 3}2 = −3x2 + 8x + 9 x2_{+ 3}2 Conséquence :

Les fonctions rationnelles (quotients de deux polynômes) sont dérivables sur leur ensemble de définition.

Propri ét é 7.11 (Cons équence) Soit u une fonction d éfinie, d érivable et qui ne s’annule pas sur un intervalle I.

Soit f la fonction d ´efinie sur I par f (x) = 1 u(x).

Alors f est d ´erivable sur I et pour x ∈ I on a f0(x) = −_u(x)u0(x)2. On ´ecrit :

1 u 0 = −u 0 u2

4. Formulaire

Dans la suite de ce formulaire, k est un r´eel quelconque fix´e et n est un entier naturel non nul.

Fonction f D´eriv´ee f0 Ensemble de

d´erivabilit´e de f x 7→ k x 7→ 0 _R x 7→ x x 7→ 1 _R x 7→ x2 _{x 7→ 2x} R x 7→ xn x 7→ nxn−1 R x 7→√x x 7→ 1 2√x R ∗ + x 7→ 1 x x 7→ − 1 x2 R ∗ x 7→ cos(x) x 7→ − sin(x) R x 7→ sin(x) x 7→ cos(x) R Quelques rappels :

– si u et v sont dérivables sur I, alors u + v est dérivable sur I et (u + v)0= u0+ v0; – si f est dérivable sur I, alors, kf est dérivable sur I, et (kf )0= kf0;

– si u et v sont dérivables sur I, alors uv est dérivable sur I et (uv)0= u0v + uv0; – si u et v sont dérivables sur I, avec pour x ∈ I, v(x) 6= 0, alors u

v est d´erivable sur I et ( u v)

0

=u0v−uv0 v2 .