Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Semestre 3
Rappels de d´erivation et d’int´egration La d´erivation est lin´eaire :
(u+v)0 =u0+v0, (λu)0=λu0. D´eriv´ee d’un produit :
(uv)0 =u0v+uv0. D´eriv´ee d’une inverse :
1 u
0
=−u0 u2. D´eriv´ee d’un quotient :
u v
0
= u0v−uv0 v2 . D´eriv´ees des fonctions usuelles.
(xα)0 =αxα−1 (ln|x|)0 = 1
x (ex)0 =ex (sinx)0= cosx (cosx)0 =−sinx (tanx)0= 1
cos2x = 1 + tan2x (arcsinx)0 = 1
√
1−x2 (arccosx)0 =− 1
√
1−x2 (arctanx)0 = 1 1 +x2 D´eriv´ee des fonctions compos´ees.
(f◦u)0= (f0◦u)u0 (uα)0 =αuα−1u0 (ln|u|)0= u0
u (eu)0 =euu0 (sinu)0= (cosu)u0 (cosu)0=−(sinu)u0 (tanu)0 = u0
cos2u = (1 + tan2u)u0 (arcsinu)0 = u0
√
1−u2 (arccosu)0 =− u0
√
1−u2 (arctanu)0 = u0 1 +u2 Deux primitives d’une mˆeme fonctionf diff`erent par une constante : siF1etF2sont deux primitives de f, alors il existe une constante C telle que F2(x) = F1(x) +C pour tout x. On notera par une int´egrale R
sans borne une primitive quelconque. Dans la suite C d´esignera une constante r´eelle quelconque.
Primitives des fonctions usuelles.
Z
xαdx= xα+1
α+ 1+C (α6=−1)
Z 1
xdx= ln|x|+C Z
cosxdx= sinx+C
Z
sinxdx=−cosx+C Z
eβxdx= 1
βeβx+C (β 6= 0)
Z 1
cos2xdx= Z
(1 + tan2x)dx= tanx+C
Z 1
√
1−x2dx= arcsinx+C
Z 1
1 +x2dx= arctanx+C
1
Primitives des fonctions compos´ees. Soituune fonction continˆument d´erivable,ϕune fonction continue et Φ une primitive de ϕ. Alors une primitive de (ϕ◦u)u0 est Φ◦u+C :
Z
ϕ(u(x))u0(x)dx= Φ(u(x)) +C.
Z
uαu0dx= u(x)α+1
α+ 1 +C (α6=−1)
Z u0
udx= ln|u(x)|+C Z
(cosu)u0dx= sinu(x) +C
Z
(sinu)u0dx=−cosu(x) +C Z
eβuu0dx= 1
βeβu(x)+C (β 6= 0)
Z u0
cos2udx= Z
(1 + tan2u)u0dx= tanu(x) +C Z u0
√
1−u2dx= arcsinu(x) +C
Z u0
1 +u2dx= arctanu(x) +C Op´erations usuelles. F etG d´esignent des primitives respectives def et g.
(α6= 0) g(x) =f(αx)−→G(x) = 1
αF(αx) +C g(x) =βf(x)−→G(x) =βF(x) +C g(x) =f(x+γ)−→G(x) =F(x+γ) +C Exemples.
Z
sin2xcosxdx= 1
3sin3x+C
Z
7x2e4x3dx= 7
12e4x3 +C Z
5xsin(2x2+ 3)dx=−5
4cos(2x2+ 3) +C Z
tanxdx=
Z sinx cosxdx=
Z
−cos0x
cosxdx=−ln|cosx|+C
Int´egration par parties. Siu etv sont des fonctions continˆument d´erivables, alors Z
u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)− Z
u0(x)v(x)dx+C.
Exemple 1 : calcul d’une primitive de ln(x). On pose u(x) = ln(x) etv0(x) = 1, d’o`u u0(x) = 1x et v(x) =x (plus une constante que l’on peut choisir nulle), et on obtient
Z
ln(x)dx=xln(x)− Z
dx=xln(x)−x+C.
Exemple 2 : calcul d’une primitive de xex. On pose u(x) = x et v0(x) = ex, d’o`u u0(x) = 1 et v(x) =ex (plus une constante que l’on peut choisir nulle), et on obtient
Z
xexdx=xex− Z
exdx=xex−ex+C.
Lien entre primitive et int´egrale. SiF d´esigne une primitive def, alors Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)−F(a).
Ceci ne d´epend pas du choix de la primitive def.
